第四節(jié)-多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則課件

復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法呢？這主要是對于沒有具體給出式子的所謂抽象函數(shù)如它是由復(fù)合而成的由于f沒有具體給出一元復(fù)合函數(shù)的微分法則就無能為力了，為此還要介紹多元復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法。復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法呢？這主要是對于沒有具體給出1一、鏈?zhǔn)椒▌t證一、鏈?zhǔn)椒▌t證2第四節(jié)-多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則課件3上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況.如以上公式中的導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù).上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況.如以上公式中的導(dǎo)4鏈?zhǔn)椒▌t如圖示鏈?zhǔn)椒▌t如圖示5稱為標(biāo)準(zhǔn)法則或這個公式的特征：⑴函數(shù)有兩個自變量x和

y故法則中包含兩個公式；稱為標(biāo)準(zhǔn)法則或這個公式的特征：⑴函數(shù)6⑵由于在復(fù)合過程中有兩個中間變量u和

v故法則中每一個公式都是兩項之和，這兩項分別含有⑶每一項的構(gòu)成與一元復(fù)合函數(shù)的鏈導(dǎo)法則類似，即“函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)”多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則簡言之即：“分道相加，連線相乘”⑵由于在復(fù)合過程中有兩個中間變量u和v故法則中7第四節(jié)-多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則課件8特殊地其中即令兩者的區(qū)別區(qū)別類似特殊地其中即令兩者的區(qū)別區(qū)別類似9注此公式可以推廣到任意多個中間變量和任意多個自變量的情形如則從以上推廣中我們可以得出：所有公式中兩兩乘積的項數(shù)等于中間變量的個數(shù)，而與自變量的個數(shù)無關(guān)注此公式可以推廣到任意多個中間變量和任意多個自變量的情10關(guān)于多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問題這是一項基本技能，要求熟練掌握，尤其是求二階偏導(dǎo)數(shù)，既是重點又是難點。對求導(dǎo)公式不求強記，而要切實做到徹底理解。注意以下幾點將會有助于領(lǐng)會和理解公式，在解題時自如地運用公式①用圖示法表示出函數(shù)的復(fù)合關(guān)系②函數(shù)對某個自變量的偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)構(gòu)（項數(shù)及項的構(gòu)成）關(guān)于多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問題這是一項基本技能，要求熟練掌握，尤11的結(jié)構(gòu)是求抽象的復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵③弄清仍是復(fù)合函數(shù)且復(fù)合結(jié)構(gòu)與原來的f(u,v)完全相同即仍是以u,v為中間變量，以x,y為自變量的復(fù)合函數(shù)因此求它們關(guān)于x,y的偏導(dǎo)數(shù)時必須使鏈?zhǔn)椒▌t

12在具體計算中最容易出錯的地方是對再求偏導(dǎo)數(shù)這一步是與f(u,v)具有相同結(jié)構(gòu)的復(fù)合函數(shù)易被誤認(rèn)為僅是u的函數(shù)，從而導(dǎo)致漏掉原因就是不注意④求抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時，一定要設(shè)中間變量⑤注意引用這些公式的條件外層函數(shù)可微（偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)）內(nèi)層函數(shù)可導(dǎo)⑥的合并問題視題設(shè)條件在具體計算中最容易出錯的地方是對再求偏導(dǎo)數(shù)這一步13解解14解例3設(shè)均滿足復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的條件計算（兩重復(fù)合問題）解由鏈?zhǔn)椒▌t解例3設(shè)均滿足復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的條件計算（兩重復(fù)合問15故同理可得故同理可得16解令記同理有解令記同理有17于是二、全微分形式不變性于是二、全微分形式不變性18全微分形式不變形的實質(zhì)：無論是自變量的函數(shù)或中間變量的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.全微分形式不變形的實質(zhì)：19利用全微分形式不變性，在逐步作微分運算的過程中，不論變量間的關(guān)系如何錯綜復(fù)雜，都可以不加辨認(rèn)和區(qū)分，而一律作為自變量來處理且作微分運算的結(jié)果對自變量的微分來說是線性的從而為解題帶來很多方便，而且也不易出錯利用全微分形式不變性，在逐步作微分運算的過程中，不20例5設(shè)各函數(shù)滿足求導(dǎo)條件求解一變量間的關(guān)系如下圖所示例5設(shè)各函數(shù)滿足求導(dǎo)條件求解一變量間的關(guān)系如下圖所示21這里變量間的關(guān)系比較混亂用全微分來解由全微分定理注意到x,z是獨立自變量解二這里變量間的關(guān)系比較混亂用全微分來解由全微分定理注意到22由全微分定義注解法二在實際計算中顯得十分靈便且不易出錯故由全微分定義注解法二在實際計算中顯得十分靈便且不易出錯故23隱函數(shù)的求導(dǎo)法則一、一個方程的情形隱函數(shù)的求導(dǎo)法則一、一個方程的情形24解令則解令則25解令解令26則則27解令解令28則思路：則思路：29解令則整理得解令則整理得30整理得整理得整理得整理得31二、方程組的情形1、對于方程組怎樣求偏導(dǎo)數(shù)首先應(yīng)明確這個方程組確定了幾個幾元隱函數(shù)當(dāng)x給定以后相當(dāng)于解含關(guān)于y,z的方程組如果有解且唯一則對于不同的x就完全確定了y,z故方程組確定了兩個一元隱函數(shù)y=y(x),z=z(x)二、方程組的情形1、對于方程組32若則怎樣求兩邊對x

求導(dǎo)

注意左邊是復(fù)合函數(shù)（三個中間變量），同理若則怎樣求兩邊對x求導(dǎo)注意左邊是復(fù)合函數(shù)（三個332、2、34第四節(jié)-多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則課件35解1直接代入公式；解2運用公式推導(dǎo)的方法，將所給方程的兩邊對求導(dǎo)并移項解1直接代入公式；解2運用公式推導(dǎo)的方法，將所給方程的兩邊對36第四節(jié)-多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則課件37將所給方程的兩邊對y求導(dǎo)，用同樣方法得注這組公式不太好記，具體做題時應(yīng)用的是其基本思想將所給方程的兩邊對y求導(dǎo)，用同樣方法得注這組公式38關(guān)于隱函數(shù)求二階偏導(dǎo)數(shù)以為例，主要有三種方法：①公式法類似地可求得②直接法方程兩邊連續(xù)求導(dǎo)兩次關(guān)于隱函數(shù)求二階偏導(dǎo)數(shù)以為例，主要有三種方法：①公式法類似地39解得：兩種方法相比，法二較簡便，因為可避免商的求導(dǎo)運算，尤其是在求指定點的二階偏導(dǎo)數(shù)時，毋須解出一階