北京市西城區(qū)2023屆二模數(shù)學(xué)試題

2023北京西城高三二模數(shù)學(xué)2023.5本試卷共?6?頁，?150?分?？荚嚂r長?120?分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共?40?分）選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）復(fù)數(shù)的虛部為（A）（B）（C）（D）（2）已知集合，，則（A）（B）（C）（D）（3）已知拋物線與拋物線關(guān)，則的準(zhǔn)線方程是（A）（B）（C）（D）（4）在中，，則（A）（B）（C）（D）（5）設(shè)，，，則（A）（B）（C）（D）（6）將邊長為的正方形沿對角線折起，折起后點記為．若，則四面體的體積為（A）（B）（C）（D）（7）已知數(shù)軸上兩點的坐標(biāo)為，現(xiàn)兩點在數(shù)軸上同時相向運動．（A）（B）（C）（D）（8）已知函數(shù)．則“”是“為偶函數(shù)”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（9）某放射性物質(zhì)的質(zhì)量每年比前一年衰減，其初始質(zhì)量為，年后的質(zhì)量為，則下列各數(shù)中與最接近的是（A）（B）（C）（D）（10）在坐標(biāo)平面內(nèi)，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱為整點．點從原點出發(fā)，在坐標(biāo)平面內(nèi)跳躍行進，每次跳躍的長度都是且落在整點處．則點到達點所跳躍次數(shù)的最小值是（A）（B）（C）（D）第二部分（非選擇題共?110?分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）函數(shù)的定義域為．（12）設(shè)等比數(shù)列，，則；使成立的的最小值為．（13）在中，若，，，則．（14）已知兩點．點滿足，則的面積是；的一個取值為．（15）已知直線和曲線，給出下列四個結(jié)論：=1\*GB3①存在實數(shù)和，使直線和曲線沒有交點；=2\*GB3②存在實數(shù)，對任意實數(shù)，直線和曲線恰有個交點；③存在實數(shù)，對任意實數(shù)，直線和曲線不會恰有個交點；④對任意實數(shù)和，直線和曲線不會恰有個交點．其中所有正確結(jié)論的序號是．

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）如圖，在直三棱柱中，分別為的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值．（17）（本小題14分）已知函數(shù)，其中．再從=1\*GB3①、條件②、條件③中選擇一個作為已知，使存在，并完成下列兩個問題．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）=1\*GB3①：；條件②：是的一個零點；條件③：．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．（18）（本小題13分）體重指數(shù)（，簡稱）是國際上衡量人體胖瘦程度的一項常用指標(biāo)．已知，其中表示體重（單位：），表示身高（單位：）．對成人，若，則身體處于肥胖狀態(tài)．假設(shè)用頻率估計概率．（Ⅰ）該企業(yè)員工總數(shù)為人，試估計該企業(yè)員工身體處于肥胖狀態(tài)的人數(shù)；（Ⅱ）從該企業(yè)身體處于肥胖狀態(tài)的員工中隨機抽取人，設(shè)其中體重在以上的人數(shù)為，估計的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）（19）（本小題15分）已知橢圓的短軸長為，一個焦點為．（Ⅰ）求橢圓的方程和離心率；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于點點．當(dāng)（20）（本小題15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求在區(qū)間上的最大值和最小值；（Ⅱ）若恒成立，求實數(shù)的值．（21）（本小題15分）其中．設(shè)．將經(jīng)過變換得到，經(jīng)過變換得到，，經(jīng)過變換得到．記數(shù)陣中的個數(shù)為．（Ⅰ）當(dāng)時，設(shè)，，寫出，并求；（Ⅱ）當(dāng)時，對給定的數(shù)陣，證明：是的倍數(shù)；（Ⅲ）證明：對給定的數(shù)陣，總存在，使得．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分） （?1?）A （?2?）D （?3?）D （?4?）B （?5?）A （?6?）A （?7?）B （?8?）C （?9?）C （10）B二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分） （11） （12）（13） （14）（答案不唯一）（15）=1\*GB3①=2\*GB3②③（注：選對1個給2分，選對2個給3分，全對給5分；錯選0分）三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）連接．因為分別為的中點，所以． 在三棱柱中，．所以，四點共面． ………1分因為，，分別為的中點，所以，．所以四邊形為平行四邊形． ………4分所以． ………5分因為平面，平面，所以平面． ………6分（Ⅱ）由題設(shè)平面，所以，．因為，所以兩兩垂直．如圖建立空間直角坐標(biāo)系． ………7分所以．，，．設(shè)平面的法向量為，則即令，則，．于是． ………10分設(shè)直線與平面所成角為，則． ………13分（17）（共14分）解：選②．（Ⅰ）題設(shè)． ………1分所以． ………2分因為，所以． ………3分所以． ………4分所以． ………5分（Ⅱ）由（Ⅰ） ………7分． ………8分因為，所以． ………9分于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最大值； ………11分當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值． ………12分又，即時，． ………13分所以的取值范圍是． ………14分選③．（Ⅰ）． ………1分整理得． ………2分以下同選②．（18）（共13分）解：（Ⅰ）因為樣本中身體處于肥胖狀態(tài)的員工共人， ………2分所以估計該企業(yè)員工身體處于肥胖狀態(tài)的人數(shù)為． ………4分（Ⅱ）因為樣本中身體處于肥胖狀態(tài)的員工共人，且其中恰有人體重在以上，所以從該企業(yè)身體處于肥胖狀態(tài)的員工中隨機抽取人，估計其體重在以上的概率為． ………5分由題設(shè)，；的所有可能取值為．估計為；估計為；估計為；估計為．……9分所以的分布列為估計的數(shù)學(xué)期望． ………11分（Ⅲ）或． ………13分（19）（共15分）解：（Ⅰ）由題設(shè) ………3分解得 所以橢圓的方程為． ………4分的離心率為． ………5分（Ⅱ）設(shè)橢圓的另一個焦點為，則直線過點． ………6分由得． ………7分設(shè)，則，． ………9分由題設(shè)，點為線段的中點，所以點和點到直線的距離相等．所以倍． ………10分又，所以． ………12分所以． ………13分設(shè)，則．所以． ………14分當(dāng)且僅當(dāng)，即時，．所以． ………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）因為， ………2分所以在區(qū)間上單調(diào)遞增． ………3分所以的最小值為；的最大值為．……5分（Ⅱ）的定義域為．由（Ⅰ）知，且在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，． ………7分設(shè)．若恒成立，則當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以，即，解得． ………9分下面證明：當(dāng)時，恒成立．此時，，．當(dāng)時，．所以在上單調(diào)遞增，． ………11分當(dāng)時，設(shè)．因為，所以在上單調(diào)遞增．又，，所以存在唯一的，使得． ………13分所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因為，且，所以當(dāng)時，恒成立．綜上，． ………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）由題設(shè)，． ………2分所以，． ………4分（Ⅱ）設(shè)數(shù)陣中第行和第列中的個數(shù)均為，的個數(shù)均為．經(jīng)過變換，的第行和第列均有個變?yōu)?，有個變?yōu)椋裕词堑谋稊?shù)． ………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，．………10分設(shè)當(dāng)時，取得最小值，其中．