高量2-算符的本征值問題課件

§2.2算符的代數運算在量子力學中，經常出現不可對易線性算符的代數運算。在這一節(jié)里舉幾個比較復雜的算例，并用代數方法證明兩個常用的算符等式。多重對易式設A,B為兩個線性算符,互不對易.定義多重對易式1§2.2算符的代數運算在量子力學中，經常出現不可對易顯然，對于型的多重對易式，有利用上式及其對易關系，容易得出對于型的多重對易式亦有類似的公式。例1證明：[證]利用數學歸納法1)當n=1時，上式變?yōu)檫@是顯然的。2顯然，對于型的多重對易式，有利用上2)若原式成立，即左邊用A作用，利用式有看上式右端第二項，我們希望這兩項能合并32)若原式成立，即左邊用A作用，利用式有看上式右端第二項，為此，令，則與第一項進行比較進行傀標代換，第二項變?yōu)橥瑯拥谝豁椧蚕鄳優(yōu)?為此，令，則與第一項進行比較進行傀這樣原式就變?yōu)榭紤]兩項求和符號后第一個分式的特點，可以將兩個求和上下限寫成一致，即5這樣原式就變?yōu)榭紤]兩項求和符號后第一個分式的特點，可以5從而有所以，若原式對n時成立，則n+1時也成立。3)已知n=1時成立，所以原式對任意整數n都成立。下面利用這個結論來證明一個常用的公式：[證]利用算符指數函數的定義，有所以6從而有所以，若原式對n時成立，則n+1時也成立。3)已知n利用上例結論，當時則﹟7利用上例結論，當時則﹟7下面我們把條件放寬一些：由此證明幾個關系.雖然，但下面規(guī)定一種符號，其意義是，不管A,B是否對易，中A一律寫在B前面所得的式子，如8下面我們把條件放寬一些：由此證明幾個關系.雖然顯然它符合普通代數中的二項式定理我們知道，根據定義當時，（利用定義式可以證明）現在規(guī)定可以證明（不再證）9顯然它符合普通代數中的二項式定理我們知道，根據定義當（1）令,則有（2）另外，與有如下關系例5證明Glauber公式[證]在一些公式證明過程中很有用。10（1）令,則有（2）證畢。﹟11證畢。﹟11定義：上面在右矢空間中定義了算符A由于在右矢空間中每一個算符A都對應著左矢空間中的某一個算符，這個左矢空間中與A對應的算符,我們稱作,稱為算符A的伴算符§2.3作用于左矢的算符一、伴算符的定義域和值域是的定義域和值域的左矢空間的對應區(qū)域。12定義：上面在右矢空間中定義了算符A由于在右矢空間中每一伴算符是相互的，下面予以證明。3.伴算符的性質2.運算規(guī)則一般表示，但可定義這樣就是右矢空間中一個確定的算符了,可省去括號。13伴算符是相互的，下面予以證明。3.伴算符的性質2.運算規(guī)[證]?。?）把上式看作左矢與右矢的內積，則（2）把上式看作左矢與右矢的內積，則比較（1）（2）有因為是各自在一定范圍內的任意矢量所以故伴算符的伴算符就是原算符本身。14[證]?。?）把上式看作左矢與右矢左矢和右矢是兩個互為對偶的空間:算符向右可以作用于右矢,向左可以作用于左矢.這種能左能右的性質是對偶空間優(yōu)于單一空間的主要之點.當然也可定義二、一條定理[證]（1）必要性：是明顯的定理：在復矢量空間中，若算符A對其定義域中的任意滿足，則必有（2）充分性：在A的定義域中取兩任意矢量,則15左矢和右矢是兩個互為對偶的空間:算符向右可以作用于右矢,向左由此得若對任意滿足，則上式右方為0所以有既然上式對任意成立，可將上式中的換為相應左矢為，則有16由此得若對任意滿足從而有由于是任意左矢，故有但是任意右矢，所以有﹟前面我們學習了作用于左右矢的算符的性質，即下面看單一空間的情況。17從而有由于是任意左矢，故有但是任意右矢，三、單一空間的情況對式右邊右矢與左矢的內積單一空間說法：右矢與右矢的內積這正是伴算符的定義式，即在單一空間中常被稱為的厄米共軛算符。即若已知算符，有存在滿足上式，則即的伴算符。﹟18三、單一空間的情況對式右邊右矢與左矢1.定義：§2.4厄米算符和幺正算符一、厄米算符若算符H滿足則算符H就是厄米算符，又稱自伴算符。在單一空間中稱為自軛算符。2.定理：算符H為厄米算符的充要條件是對其定義域中所有的矢量滿足[證]（1）必要性：對任意有191.定義：§2.4厄米算符和幺正算符一、厄米算符若算符H滿（2）充分性：若對任意，，則即因為上式對任意都成立，由上一節(jié)所介紹的定理，必有﹟20（2）充分性：若對任意，二、等距算符1.定義：若算符U滿足,則為等距算符。2.性質定理：以下三命題是等價的（1）（2）對任意和，U滿足（3）對任意都成立。[證]依次證明前一條是后一條的充分條件若，則21二、等距算符1.定義：若算符U滿足,則為等距令，則即三、幺正算符1.定義：若算符U滿足下列性質即，則該算符為幺正算符。顯然它是等距算符。22令，則即三、幺正算符1.定義：若算符U滿足下列2.性質定理除滿足等距算符的性質外，另有兩個性質定理。定理1在矢量空間中，若是一組基矢，則也是一組基矢。[證]只需證明正交歸一完備即可?！嗾粴w一滿足。又取任意兩個矢量，因為∴完備性滿足（Parseval等式）。232.性質定理除滿足等距算符的性質外，另有兩個性質定理。定理定理2若和是同一空間的兩組基矢，則兩者必能由一個幺正算符聯系起來。即存在一個幺正算符U，使得[證]兩組基矢的數目必定是相同的。定義一個算符A，使任取二矢量，由于都是完全的，滿足Parseval等式。故24定理2若和是同一空間的兩組基同樣，利用可以得到(因為總可以定義一個算符B，使得，這個B就是)得證。即所以聯系兩組基矢的算符A必然是幺正算符。25同樣，利用可以得到(因為總可以定義一個四、幺正變換1.矢量的幺正變換把一個矢量空間的全部矢量都用一個幺正算符作用，對其中每一個矢量和，各得一個新矢量和。這一操作稱為矢量的幺正變換。性質：由幺正算符的性質可知，幺正變換不改變矢量的模、內積及正交關系。因此一組基矢經過幺正變換后仍是這個空間的一組基矢。從這一點上看，在物理上有時稱矢量的幺正變換為矢量（在多維空間）的轉動。26四、幺正變換1.矢量的幺正變換把一個矢量空間的全部矢量都2.算符的幺正變換設有一個確定的算符A，它對空間中每一個矢量作用得到新矢量：現在用幺正算符U對空間中全部矢量幺正變換設聯系與的算符為，即，則為算符A的幺正變換。下面求與的關系。顯然272.算符的幺正變換設有一個確定的算符A，它對空間中每一個而∴對任意有故就是算符與矢量的幺正變換。上式與式由此可以看出：一個包含矢量和算符的關系式，經過幺正變換后其形式不變。因為28而∴對任意有故就是算符與矢量的幺正變換。上式與式由此§2.5投影算符一、定義將作用到右矢和左矢上：顯然得到的是新的右矢和左矢，故實際上是一個算符。但這類算符一般意義不大。有用的是由基右矢或基左矢構成的算符，叫投影算符。在空間中取一組基矢，其投影算符是29§2.5投影算符一、定義將作用到右矢和左這是基右矢乘以矢量在上的分量。作用到右矢上得若沿用三維位形空間的術語，這就是右矢在上的投影。稱為投向子空間的投影算符?！鴮λ惴?定義將其作用到任意右矢上得30這是基右矢乘以矢量在上的分量。作作用結果是在三個基右矢所張的子空間中的一個矢量。這是右矢投向這個子空間的投影。故稱為三維投影算符。二、性質1.投影算符是線性算符和厄米算符1）線性算符是顯然的2）厄米算符的證明（要求會證明）:對任意，設，有顯然是實數。利用算符厄米性充要條件,故是厄米算符。31作用結果是在三個2.投影算符的冪等性，即對和，顯然有﹟322.投影算符的冪等性，即對和，顯然有﹟32二、全投影算符若中的取和是對所有基矢的，則稱P為全投影算符。對任意矢量，有這是一個非常有用的關系，稱為基矢的完全性關系。根據完全性定理，上式中的取和正是本身，由此我們得出33二、全投影算符若中的取和是對所有基上式左方是一個向整個空間投影的投影算符，因而矢量投影后不會發(fā)生任何變化。上式的關鍵是基矢一個不能少，否則不能構成完全性關系。此關系很有用，在一些關系的證明中經常作為橋梁來使用。﹟34上式左方是一個向整個空間投影的投影算符，上式的關鍵是基矢一個§3本征矢量和本征值§3.1定義一、本征矢量和本征值對于算符A，若有非零矢量滿足下式式中a為常數。則稱為算符A的本征矢量，而a為相應的本征值。上式稱為本征值方程。本征值一般是復數，但也可以為0.算符A雖然可以不加限制，但是量子力學中用到的主要是厄米算符的本征值問題。35§3本征矢量和本征值§3.1定義一、本征矢量和本征值對于二、厄米算符本征值問題的兩個重要性質1.在復空間中，厄米算符的本征值都是實數[證]若A是厄米算符，用左乘式兩邊，有已經知道是實數所以a必為實數。2.厄米算符屬于不同本征值的本征矢量相互正交[證]設但36二、厄米算符本征值問題的兩個重要性質1.在復空間中，厄米算符則又由此得即但所以即厄米算符屬于不同本征值的本征矢量相互正交。37則又由此得即但所以即厄米算符屬于不同本征值的本征矢量相互正交若是A的一個本征矢量，則也是屬于同一個本征值的本征矢量；若都是

A

的本征矢量且本征值相同，則它們的線性疊加也是A的屬于同一本征值的本征矢量。三、本征矢量問題—簡并性厄米算符A屬于本征值a的本征矢量有多少個？這實際上是一個簡并度的問題。1.問題的提出38若是A的一個本征矢量，則也是屬于同一個所以算符A的屬于同一個本征值a的本征矢量全體構成Hilbert空間中的一個子空間。這個子空間稱為算符A的屬于本征值a的本征子空間。2.簡并本征子空間的維數s稱為所屬本征值的簡并度。這個本征值或這組本征矢量稱為是s重簡并的。當簡并度為1時，通常稱為無簡并。為了指出s維本征子空間，只需給出其中一組s個線性無關的本征矢量即可。39所以算符A的屬于同一個本征值a的本征矢量全2.則A,B有相同的本征值譜，且每一本征值都有相同的簡并度。3.相關的定理定理：若A,B兩算符相似，即對于有逆算符R，有[證]設已知A的全部本征值和相應的本征矢量，利用，用R從左作用上式兩邊，得即40則A,B有相同的本征值譜，且每一本征值都3.相關的定理定理：下面設A的一個本征值是s重簡并的，屬于這個本征值的s個線性無關本征矢量記為。由于R有逆，也必為線性無關。所以算符B的屬于本征值的本征矢量至少為s個，即簡并度不會比A小。另外利用用同樣的方法證明B的簡并度也不會比A大。證畢。因為R有逆，所以不為零所以所有也都是B的本征值。41下面設A的一個本征值是s重簡并的，屬于這個本所用反證法：如果線性相關，則存在，從而有比如由此可以得到因為R有逆，上式兩邊用作用后有這與線性無關相矛盾。命題得證。42用反證法：如果§3.2本征矢量的完全性一.問題的提出在一個確定的Hilbert空間中，一個厄米算符A的本征矢量的情況有兩種：1）不簡并的本征矢量是彼此正交的；2）s重簡并的本征值所對應的本征矢量構成一個s維的本征子空間，并與那些本征值為其它值的本征矢量正交。如在上述s維子空間中選出s個互相正交的本征矢作為代表，那么其線性疊加都是算符A的對應于同一本征值的本征矢量。43§3.2本征矢量的完全性一.問題的提出在一個確定在進行歸一化后,算符A的所有不簡并和簡并的本征矢量為代表就構成了一個正交歸一矢量集。若取不簡并的本征值的簡并度為1,則這個正交歸一矢量集里矢量總數是所有本征值簡并度之和。這個總數亦可能是無窮大。問題：一個厄米算符A的本征矢量正交歸一集在所在空間中是否完全？二、完全性和封閉性一個確定的空間中，一組正交歸一矢量集的完全性的含義是：空間內所有矢量都能表為這個矢量集的線性疊加。44在進行歸一化后,算符A的所有不簡并和簡并的問題：一組正交歸一矢量集的封閉性的含義是，這個空間中不存在其它與集內所有矢量都正交的矢量（否則此矢量集應再加一矢量）。二者的等價性是明顯的。對于一般的Hilbert空間，二者是等價的。對有限維空間予以證明：定理：在有限維空間中，厄米算符的全部本征矢量構成正交完全集。[證]：設空間是n維的，厄米算符為A。我們只需證明在A的本征矢量中有n個線性無關的即可。45一組正交歸一矢量集的封閉性的含義是，這個空間中不存在A的本征值方程為這組基矢共有n個。為求，在此空間中取一組已知的基矢將矢量按照這組基矢展開其中。知道了一組就知道了一個。將的展開式代入本征值方程，并用與方程兩邊作內積，得46A的本征值方程為這組基矢共有n個。為求，在此上式是關于未知數線性齊次方程組，可以寫成式中是復數，對于給定的A，它們是已知的，而是待求的。會展開(j=1)(j=2)…式中a是待定的本征值。這一方程有非零解的條件是系數行列式為0：47上式是關于未知數線性齊次方程組，可以寫成式中這是一關于a的n次方程，稱為久期方程，有n個根當這些根互不相同時，對于每一個根，上述方程有一組非零解；所求得的那些根，就是厄米算符A的本征值。當每個都不同時，可得線性方程組的n組解從而得到相應的n個本征矢量。48這是一關于a的n次方程，稱為久期方程，有n個根當這前面已經證明過，當本征值不同時，厄米算符的本征矢量互相正交。因此證明了A的這組本征矢量肯定可構成此空間的一組正交完全集?？傊?，在n維空間中，不論厄米算符A的本征值有無簡并，總有n個線性無關的本征矢量存在，總可以構成空間的一組正交完全集。當系數行列式有等根時，如是一個三重根，那么對于這個a值，不僅系數行列式本身為0，它的n-1,n-2階的全部子行列式也都為0；對于這樣的a，齊次方程也有3個線性無關的。于是對于這個三重簡并的本征值，空間中有3個線性無關的本征矢量存在，即有一個三維的本征子空間存在.49前面已經證明過，當本征值不同時，厄米算符的本征矢當A的本征值沒有簡并時,這組是完全確定的。而當有簡并時，就有許多組這樣的正交歸一完全集存在，因為在本征子空間中，選取n個互相正交的矢量作為代表(不要求歸一)，其選法是很多的。三、基矢的選擇可用它們作為這個空間的一組基矢。把一個厄米算符A的全部（彼此正交的）本征矢量編上一定的次序（通常是按照本征值由小到大的次序）,就可以構成這個空間的一組正交歸一完全集，它們滿足完全性關系50當A的本征值沒有簡并時,這組對于無窮維Hilbert空間，厄米算符具有離散本征值的情況，雖然沒有經過數學上的一一證明，在物理上總是認為，厄米算符的全部線性無關的本征矢量可以構成此空間的完全集。進行正交化以后，完全性關系成立。寫成通常的下標形式，有﹟在物理上，常常用厄米算符的本征矢量去確定一組基矢，甚至用厄米算符的本征矢量去“構造”一個Hilbert空間，原因在此。51對于無窮維Hilbert空間，厄米算符具有離散本征值對于一個Hilbert空間，每一個厄米算符的全部線性無關的本征矢量都可以用來構成空間的基矢,即正交歸一完全集（條件是厄米算符的定義域和值域都應是全空間）?！?.3厄米算符完備組一、基矢的選擇問題但是當此厄米算符的本征值有簡并時，對應于這一本征值的線性無關的本征矢量的數目與簡并度相同，這時由本征矢量所確定的基矢不是唯一的。在簡并的本征子空間中有多種選擇。下面的任務就是設法消除這一不確定性。52對于一個Hilbert空間，每一個厄米算符的全部線性無關1.定理：二、本征矢量完全性定理當且僅當兩個粒子的厄米算符互相對易時，它們有一組共同的本征矢量完全集。[證]設兩個算符是A和B.(1)必要性：完全集→對易設A和B有一組共同的本征矢量完全集，這時有則同樣所以對所有都成立。因為是完全的，所以有531.定理：二、本征矢量完全性定理當且僅當兩個粒子的厄米算(2)充分性：對易→完全集設AB-BA=0，且是A的一套正交歸一化的本征矢量完全集。我們將用它來構造同是A、B的共同本征矢量完全集。顯然即也是A的屬于本征值的本征矢量。下面分兩種情況討論。1°A的本征值無簡并這時與屬于同一個一維本征子空間，它們只能差一個常數倍：54(2)充分性：對易→完全集設AB-BA=0，且即也同是B的本征矢量，常數就是B的本征值。如果所有A的本征值都沒有簡并，則就是A和B的共同本征矢量完全集。2°A的本征值有簡并新的問題：在A的2D以上的本征子空間中隨便取一個矢量未必就是B的本征矢量。設A的本征值aj有m重簡并（無簡并的前面已經討論），在{|i>}中屬于這一本征值的本征矢量是|j1>,|j2>,…，|jm>（不見的相互正交,但可以化成正交的），它們是在m維子空間中互相正交m個矢量的代表。55即也同是B的本征矢量，常數就是B的本征式中{Cα}是一組疊加系數。這種矢量應該具有m個（總維數要求）?，F在要在這個m維本征子空間中尋找一些也是B的本征矢量的矢量。設這種矢量是用同上式作內積，利用得上述矢量成為B的本征矢量的條件是這是一個的線性齊次方程組，設其系數56式中{Cα}是一組疊加系數。這種矢量應該具有m個（總維數要求這一方程組有解的條件是系數行列式為0，即根據前面的討論，b有m個根（其中可能有相同的）,對每一個，有一組解，即一個矢量。于是我們求得了m個矢量,它們是A的本征矢量（本征值為），同時又是B的本征矢量（本征值為）。57這一方程組有解的條件是系數行列式為0，即根據前面的討論當b沒有等根時，所得的共同本征矢量完全集是完全確定的。當b有等根時，還有一個一維以上的本征子空間中的所有矢量都同時是A和B的本征矢量，共同