位移法原理、計(jì)算方法及應(yīng)用

建筑力學(xué)目錄14.1位移法的基本原理14.2位移法的基本未知量14.3等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程14.4用平衡條件建立位移法方程及應(yīng)用第14章位移法14.5位移法的基本結(jié)構(gòu)和典型方程第14章位移法學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）掌握位移法的基本概念及解題思路。（2）能夠準(zhǔn)確分析基本未知量。（3）能夠熟練寫出等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程。（4）能熟練用位移法計(jì)算超靜定梁和無側(cè)移剛架的內(nèi)力。第14章位移法

位移法與力法的根本區(qū)別在于：力法是以多余約束力作為基本未知量，先求出多余未知力，再計(jì)算結(jié)構(gòu)的內(nèi)力；而位移法是以某些結(jié)點(diǎn)位移作為它的基本未知量，先求出結(jié)點(diǎn)的位移，然后再求結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。第14章位移法P位移法是計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的基本方法之一.力法計(jì)算,9個(gè)基本未知量位移法計(jì)算,1個(gè)基本未知量第14章位移法14.1位移法的基本原理內(nèi)力計(jì)算的關(guān)鍵是求結(jié)點(diǎn)位移Z1結(jié)點(diǎn)A的轉(zhuǎn)角=+14.1位移法的基本原理解得（左側(cè)受拉）（右側(cè)受拉）（上側(cè)受拉）14.1位移法的基本原理

用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的基本思路是：把超靜定結(jié)構(gòu)的某些結(jié)點(diǎn)位移（角位移和線位移）作為基本未知量，在結(jié)點(diǎn)位移處假設(shè)相應(yīng)的約束，以單跨超靜定梁作為計(jì)算單元，然后根據(jù)其位移及荷載的疊加作用寫出各桿的彎矩的表達(dá)式，通過平衡方程求出基本未知數(shù)，最后求得結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。14.2位移法的基本未知量14.2.1結(jié)點(diǎn)角位移結(jié)點(diǎn)角位移數(shù)目就等于剛結(jié)點(diǎn)的數(shù)目。獨(dú)立角位移數(shù)目為1有4個(gè)角位移未知數(shù)

剛性結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)角位移和獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移?；疚粗?14.2.2結(jié)點(diǎn)線位移判斷獨(dú)立線位移數(shù)目的方法為鉸化結(jié)點(diǎn)法。（1）將結(jié)構(gòu)各剛結(jié)點(diǎn)（包括固端支座）都變成鉸結(jié)點(diǎn)，使整個(gè)結(jié)構(gòu)變成一個(gè)完全的鉸接體系；（2）如果此鉸接體系為幾何不變體系，則說明原結(jié)構(gòu)沒有獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移。（3）如果鉸接體系為幾何可變體系（包括瞬變體系），則需添加鏈桿約束使其成為幾何不變體系。所需添加的鏈桿數(shù)目，就是原結(jié)構(gòu)的獨(dú)立線位移數(shù)目。14.2位移法的基本未知量14.2.2結(jié)點(diǎn)線位移原結(jié)構(gòu)具有一個(gè)獨(dú)立線位移。原結(jié)構(gòu)具有兩個(gè)獨(dú)立線位移。14.2位移法的基本未知量14.3等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程1.位移法基本變形假定（3）（1）（2）.

忽略桿件的軸向變形和剪切變形，即各桿端之間的軸向長度尺寸在變形后保持不變。結(jié)構(gòu)的變形是微小的。

結(jié)點(diǎn)線位移的弧線可用垂直于桿件的切線來代替。14.3等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程2.內(nèi)力的正負(fù)規(guī)定

桿端彎矩對桿端而言以順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎▽Y(jié)點(diǎn)或支座而言，則以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎粭U端轉(zhuǎn)角以順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正；桿件兩端在垂直于桿軸方向上的相對線位移（也稱側(cè)移）以使整個(gè)桿件順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正。3.轉(zhuǎn)角位移方程14.3等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程位移法是以單跨超靜定梁作為它的計(jì)算單元

單跨超靜定梁的支承情況一般可以分為以下三種：14.3等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程1）兩端固定梁14.3等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程i稱為桿件的線剛度

只有荷載作用的情況，此時(shí)桿端所產(chǎn)生的彎矩、剪力稱為固端彎矩、固端剪力。14.3等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程2）一端固定一

端鉸支梁3）一端固定一端滑動(dòng)支承梁14.3等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程14.4用平衡條件建立位移法方程及應(yīng)用14.4.1根據(jù)結(jié)點(diǎn)及截面平衡條件建立位移法方程【例14-1】根據(jù)結(jié)點(diǎn)及截面平衡條件建立位移法方程，分析圖14-11(a)所示的剛架。圖14-1114.4用平衡條件建立位移法方程及應(yīng)用

解：14.4.1根據(jù)結(jié)點(diǎn)及截面平衡條件建立位移法方程14.4用平衡條件建立位移法方程及應(yīng)用

14.4.1根據(jù)結(jié)點(diǎn)及截面平衡條件建立位移法方程14.4用平衡條件建立位移法方程及應(yīng)用

14.4.1根據(jù)結(jié)點(diǎn)及截面平衡條件建立位移法方程14.4用平衡條件建立位移法方程及應(yīng)用14.4.2位移法方程的應(yīng)用1.無側(cè)移結(jié)構(gòu)的計(jì)算【例14-2】用位移法計(jì)算圖14-12(a)所示的連續(xù)梁，并作彎矩圖。圖14-1214.4用平衡條件建立位移法方程及應(yīng)用14.4.2位移法方程的應(yīng)用

解：14.4用平衡條件建立位移法方程及應(yīng)用14.4.2位移法方程的應(yīng)用

14.4用平衡條件建立位移法方程及應(yīng)用14.4.2位移法方程的應(yīng)用【例14-3】用位移法計(jì)算圖14-13(a)所示剛架，并作內(nèi)力圖。已知q=8kN/m，l=4m。圖14-1314.4用平衡條件建立位移法方程及應(yīng)用14.4.2位移法方程的應(yīng)用

解：14.4用平衡條件建立位移法方程及應(yīng)用14.4.2位移法方程的應(yīng)用

14.4用平衡條件建立位移法方程及應(yīng)用14.4.2位移法方程的應(yīng)用2.有側(cè)移結(jié)構(gòu)的計(jì)算全部結(jié)點(diǎn)或部分結(jié)點(diǎn)具有線位移的結(jié)構(gòu)，稱為有側(cè)移結(jié)構(gòu)。②在建立位移法方程時(shí)，除了考慮剛結(jié)點(diǎn)的平衡條件外（力矩平衡），還要考慮與結(jié)點(diǎn)線位移對應(yīng)的截面平衡條件（投影平衡）。注意兩點(diǎn)：①基本未知數(shù)中應(yīng)包含結(jié)點(diǎn)的獨(dú)立線位移；14.4用平衡條件建立位移法方程及應(yīng)用14.4.2位移法方程的應(yīng)用【例14-4】用位移法計(jì)算圖14-14(a)所示剛架，并作M圖。圖14-1414.4用平衡條件建立位移法方程及應(yīng)用14.4.2位移法方程的應(yīng)用

解：14.4用平衡條件建立位移法方程及應(yīng)用14.4.2位移法方程的應(yīng)用

14.4用平衡條件建立位移法方程及應(yīng)用14.4.2位移法方程的應(yīng)用【例14-5】試用位移法計(jì)算圖14-15(a)所示剛架，并作出M圖。已知q=12kN/m，l=3m，橫梁剛度為無窮大。圖14-1514.4用平衡條件建立位移法方程及應(yīng)用14.4.2位移法方程的應(yīng)用

解：14.4用平衡條件建立位移法方程及應(yīng)用

14.4.2位移法方程的應(yīng)用14.4用平衡條件建立位移法方程及應(yīng)用14.4.2位移法方程的應(yīng)用

14.5位移法的基本結(jié)構(gòu)和典型方程14.5.1位移法的基本結(jié)構(gòu)和典型方程在每個(gè)剛結(jié)點(diǎn)上加上附加剛臂，以控制結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)（但不能控制其移動(dòng)）；在每個(gè)產(chǎn)生獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移的結(jié)點(diǎn)上，沿位移的方向加上附加桿件，以控制結(jié)點(diǎn)的移動(dòng)（但不能控制其轉(zhuǎn)動(dòng)）?；窘Y(jié)構(gòu):增加附加約束后,使得原結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)不能發(fā)生位移的結(jié)構(gòu).(a)圖為原結(jié)構(gòu);(b)圖為基本結(jié)構(gòu).附加約束是指附加剛臂和附加桿件。14.5位移法的基本結(jié)構(gòu)和典型方程14.5.1位移法的基本結(jié)構(gòu)和典型方程如圖（a）所示剛架，其剛結(jié)點(diǎn)數(shù)目為7，獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移數(shù)目為3，共有10個(gè)基本未知數(shù)。其基本結(jié)構(gòu)如圖（b）所示。`14.5位移法的基本結(jié)構(gòu)和典型方程14.5.2位移法典型方程剛架有兩個(gè)基本未知數(shù)。結(jié)點(diǎn)B的角位移

結(jié)點(diǎn)B的水平位移

在結(jié)點(diǎn)B處加附加剛臂.在結(jié)點(diǎn)

C處加加一水平附加桿件.得基本結(jié)構(gòu)如圖（b）所示。

14.5位移法的基本結(jié)構(gòu)和典型方程14.5.2位移法典型方程附加剛臂上產(chǎn)生了反力矩

荷載作用下附加桿件上產(chǎn)生了反力

結(jié)點(diǎn)B產(chǎn)生轉(zhuǎn)角Z1附加剛臂上產(chǎn)生了反力矩

附加桿件上產(chǎn)生了反力

結(jié)點(diǎn)B產(chǎn)生移動(dòng)Z2附加剛臂上產(chǎn)生反力矩

附加桿件上產(chǎn)生了反力

14.5位移法的基本結(jié)構(gòu)和典型方程14.5.2位移法典型方程

設(shè)該剛架中附加剛臂上的總反力矩為R1

，附加桿件上的總反力為R2:又因原結(jié)構(gòu)并無附加剛臂和水平附加桿件，故應(yīng)有

Rik表示在附加約束上產(chǎn)生的反力（或反力矩），第一個(gè)下標(biāo)表示發(fā)生反力（或反力矩）的位置，第二個(gè)下標(biāo)表示產(chǎn)生此反力（或反力矩）的原因。

設(shè)位移法的基本方程為14.5位移法的基本結(jié)構(gòu)和典型方程14.5.2位移法典型方程得對于具有n個(gè)基本未知數(shù)的結(jié)構(gòu)，位移法的典型方程：結(jié)點(diǎn)的廣義位移，可以是線位移或角位移

rij(i=j)主系數(shù)>0rij=rji反力互等RiP荷載系數(shù)rij(i=j)副系數(shù)

原結(jié)構(gòu)無附加約束存在，因此基本結(jié)構(gòu)在荷載等外因和各結(jié)點(diǎn)位移的共同影響下所產(chǎn)生的附加約束的約束反力（反力或反力矩）的總和為零。14.5位移法的基本結(jié)構(gòu)和典型方程14.5.2位移法典型方程r11為基本結(jié)構(gòu)上當(dāng)

Z1=1時(shí)在附加剛臂

B處引起的反力矩，r21為基本結(jié)構(gòu)上當(dāng)

Z1=1時(shí)在附加桿件上產(chǎn)生的反力

r12為基本結(jié)構(gòu)上當(dāng)

Z2=1時(shí)在附加剛臂

B處引起的反力矩，r22為基本結(jié)構(gòu)上當(dāng)

Z2=1時(shí)在附加桿件上產(chǎn)生的反力

14.5位移法的基本結(jié)構(gòu)和典型方程力法、位移法對比力法基本未知量：多余約束力基本結(jié)構(gòu)：一般為靜定結(jié)構(gòu)。作單位和荷載內(nèi)力圖由內(nèi)力圖自乘、互乘求系數(shù)，主系數(shù)恒正。建立力法方程（協(xié)調(diào)）位移法基本未知量：結(jié)點(diǎn)獨(dú)立位移基本結(jié)構(gòu)：單跨梁系作單位和荷載內(nèi)力圖由內(nèi)力圖的結(jié)點(diǎn)、隔離體平衡求系數(shù)，主系數(shù)恒正。建立位移法方程（平衡）

解方程求多余未知力迭加作內(nèi)力圖用變形條件進(jìn)行校核

解方程求獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移迭加作內(nèi)力圖用平衡條件進(jìn)行校核不能解靜定結(jié)構(gòu)可以解靜定結(jié)構(gòu)14.5位移法的基本結(jié)構(gòu)和典型方程14.5.2位移法典型方程位移法典型方程與力法典型方程的區(qū)別:（1）基本未知數(shù)的性質(zhì)不同：前者為“位移”，而后者為“力”。（2）系數(shù)和自由項(xiàng)的物理意義不同：前者表示附加約束上的反力或反力矩，而后者則表示沿多余未知力方向的位移。

（3）典型方程的性質(zhì)不同：前者為靜力平衡方程，而后者為位移協(xié)調(diào)方程。14.5位移法的基本結(jié)構(gòu)和典型方程14.5.2位移法典型方程【例14-6】用位移法計(jì)算圖（a）所示的剛架。14.5位移法的基本結(jié)構(gòu)和典型方程14.5.2位移法典型方程

解：此剛架有一個(gè)結(jié)點(diǎn)角位移，即結(jié)點(diǎn)B的轉(zhuǎn)角。(1)確定基本未知量。取基本結(jié)構(gòu)。在結(jié)點(diǎn)B處加上附加剛臂，得基本結(jié)構(gòu)如圖（b）所示。

(3)建立位移法典型方程：

(4)計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。

分別作出基本結(jié)構(gòu)在Z1=1以及荷載單獨(dú)作用下的彎矩圖14.5位移法的基本結(jié)構(gòu)和典型方程14.5.2位移法典型方程

得同理，有解得14.5位移法的基本結(jié)構(gòu)和典型方程14.5.2位移法典型方程

(5)將求得的系數(shù)和自由項(xiàng)代入典型方程：解得(6)畫彎矩圖14.5位移法的基本結(jié)構(gòu)和典型方程14.5.2位移法典型方程【例14-6】用位移法計(jì)算圖（a）所示的剛架，并作彎矩圖。14.5位移法的基本結(jié)構(gòu)和典型方程14.5.2位移法典型方程

解：

此剛架有2個(gè)基本未知數(shù)，一個(gè)結(jié)點(diǎn)角位移和一個(gè)線位移。(1)確定基本未知量。取基本結(jié)構(gòu)。在結(jié)點(diǎn)C處加上附加剛臂，在結(jié)點(diǎn)D處加上一根水平附加桿件，所得基本結(jié)構(gòu)如圖（b）所示。

14.5位移法的基本結(jié)構(gòu)和典型方程

(3)建立位移法典型方程：

(4)計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。

14.5位移法的基本結(jié)構(gòu)和典型方程

由結(jié)點(diǎn)C的力矩平衡條件,分別求出:

14.5位移法的基本結(jié)構(gòu)和典型方程

同理可求出:(5)將求得的系數(shù)和自由項(xiàng)代入典型方程：14.5位移法的基本結(jié)構(gòu)和典型方程

解得

(6)畫彎矩圖14.5位移法的基本結(jié)構(gòu)和典型方程14.5.3用位移法典型方程求解超靜定結(jié)構(gòu)的步驟（1）確定基本未知量和基本結(jié)構(gòu)。