劉徽割圓術課件

劉徽割圓術劉徽割圓術1（一）劉徽簡介（二）“割圓術”的含義（三）劉徽割圓術的主要內容和根據(jù)（四）劉徽“割圓術”的意義（一）劉徽簡介（二）“割圓術”的含義（三）劉徽割圓術的主要內2（一）劉徽簡介

劉徽（約公元225年—295年），漢族，山東臨淄人，魏晉期間偉大的數(shù)學家，中國古典數(shù)學理論的奠基者之一。是中國數(shù)學史上一個非常偉大的數(shù)學家，他的杰作《九章算術注》和《海島算經(jīng)》，是中國最寶貴的數(shù)學遺產(chǎn)。劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀．他是中國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數(shù)學命題的人．劉徽的一生是為數(shù)學刻苦探求的一生．他雖然地位低下，但人格高尚．他不是沽名釣譽的庸人，而是學而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財富。（一）劉徽簡介劉徽（約公元225年—2953（二）“割圓術”的含義所謂“割圓術”，是用圓內接正多邊形的周長去無限逼近圓周并以此求取圓周率的方法。這個方法，是劉徽在批判總結了數(shù)學史上各種舊的計算方法之后，經(jīng)過深思熟慮才創(chuàng)造出來的一種嶄新的方法。（二）“割圓術”的含義所謂“割圓術”，是用圓內4（三）劉徽“割圓術”的主要內容和根據(jù)第一，圓內接正六邊形每邊的長等于半徑。（三）劉徽“割圓術”的主要內容和根據(jù)第一，圓內接正六邊形每邊5

第二，作正十二邊形，從勾股定理出發(fā)，求得正十二邊形的邊長。根據(jù)勾股定理，從圓內接正n邊形每邊的長，可以求出圓內接正2n邊形每邊的長。第二，作正十二邊形，從勾股定理出發(fā)，求得正十二邊形的6

第三，從圓內接正n邊形每邊的長，可以直接求出圓內接正2n邊形面積。如圖所示，四邊形OADB的面積等于半徑OD和正n邊形邊長AB乘積的一半。第三，從圓內接正n邊形每邊的長，可以直接求出7第四，圓面積S滿足不等式S2n＜S＜S2n＋（S2n－Sn）。如圖所示，四邊形OADB的面積和△OAB的面積的差等于以AD和DB為弦的兩個直角三角形面積，而OADB的面積再加上這樣兩個直角三角形的面積，就有一部分超出圓周了。第四，圓面積S滿足不等式如圖所示，四邊形OAD8

第五，劉徽指出：“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！保ā毒耪滤阈g》方田章圓田術劉徽注）這就是說，圓內接正多邊形的邊數(shù)無限增加的時候，它的周長的極限是圓周長，它的面積的極限是圓面積。第五，劉徽指出：“割之彌細，所失彌少。割之又割，9劉徽根據(jù)割圓術從圓內接正六邊形算起，邊數(shù)逐漸加倍，相繼算出正十二邊形，正二十四邊形，……以至于正九十六邊形每邊的長，并且求出正一百九十二邊形的面積。這相當于求得π=3.141024。他在實際計算中，采用了π=157/50=3.14，不僅這樣，劉徽還繼續(xù)求到圓內接正三千零七十二邊形的面積，驗證了前面的結果，并且得出更精確的圓周率值π=3927/1250=3.1416劉徽根據(jù)割圓術從圓內接正六邊形算起，邊數(shù)10（四）劉徽“割圓術”的意義劉徽的割圓術，為圓周率研究工作奠定了堅實可靠的理論基礎，在數(shù)學史上占有十分重要的地位。他所得到的結果在當時世界上也是很先進的。劉徽的計算方法只用圓內接多邊形面積，而無須外切形面積，這比古希臘數(shù)學家阿基米德（前287—前212）用圓內接和外切正多邊形計算，在程序上要簡便得多，可以收到事半功倍的效果。同時，為解決圓周率問題，劉徽所運用的初步的極限概念和直曲轉化思想，這在一千五百年前的古代，也是非常難能可貴的。（四）劉徽“割圓術”的意義劉徽的割圓術，為圓11祖沖之的圓周率祖沖之的圓周率12

祖沖之（公元４２９——５００年）字文遠，范陽郡遒縣（今河北省保定市淶水縣）人，是我國南北朝時代一位成績卓著的科學家。他不僅在天文、數(shù)學等方面有過聞名世界的貢獻，而且在機械制造等方面也有許多發(fā)明創(chuàng)造。他的發(fā)明為促進社會生產(chǎn)的發(fā)展，建立了不可磨滅的功績，受到了中國人民和世界人民的尊敬。（一）祖沖之簡介祖沖之（公元４２９——５００年）字文遠，范13指平面上圓的周長與直徑之比。早在一千四百多年以前，我國古代著名的數(shù)學家祖沖之，就精密地計算出圓的周長是它直徑的3.1415926---3.1415927倍之間。這是當時世界上算得最精確的數(shù)值----圓周率。（二）圓周率的定義指平面上圓的周長與直徑之比。早在一千四百多年以前，我14

“圓周率”是說一個圓的周長同它的直徑有一個固定的比例。我們的祖先很早就有“徑一周三”的說法，就是說，假如一個圓的直徑是1尺，那它的周長就是3尺。后來，人們發(fā)現(xiàn)這個說法并不準確。東漢的大科學家張衡認為應該是3.162。三國到西晉時期的數(shù)學家劉徽經(jīng)過計算，求出了3.14159的圓周率，這在當時是最先進的，但是劉徽只算到這里就沒有繼續(xù)算。祖沖打算采用劉徽“割圓術”（在圓內做正6邊形，6邊形的周長剛好是直徑的3倍，然后再做12邊形、24邊形……邊數(shù)越多，它的周長就和圓的周長越接近）的方法算下去。（三）圓周率的發(fā)展“圓周率”是說一個圓的周長同它的直徑有一個固定的15在當時的情況下，不但沒有計算機，也沒有筆算，只能用長4寸，方3寸的小竹棍來計算。工作是艱巨的，這時祖沖之的兒子也能幫助他了。父子倆算了一天又一天，眼睛熬紅了，人也漸漸瘦了下來，可大圓里的邊形卻越畫越多，3072邊、6144邊……邊數(shù)越多，邊長越短。父子倆蹲在地上，一個認真地畫，一個細心地算，誰也不敢走神。最后，他們在那個大圓里畫出了24576邊形，并計算出它的周長是3.1415926。倆人看看擺在地上密密麻麻的小木棍，再看看畫在地上的大圓里的圖形，高興地笑了。后來，祖沖之推算出，49152邊形的周長不會超過3.1415927。所以，他得出結論，圓周率是在3.1415926和3.1415927這兩個數(shù)之間。祖沖之是世界上第一個計算圓周率精確到小數(shù)點后7位的人，比歐洲人早了1000多年，這是多么了不起的貢獻?。≡诋敃r的情況下，不但沒有計算機，也沒有筆算，只16祖率（密率）是圓周率十分精確的近似值，且又很好記，只要將113355一分為二，便是它的分母和分子了。張景中院士在《數(shù)學家的眼光》一書中指出：它與π精確值的誤差不超過0.000000267。在數(shù)學家看來，好的近似分數(shù)，既要精確，分母最好又不太大?，F(xiàn)今數(shù)學上己不難證明，在所有分母不超過16500的分數(shù)中，密率355/113是當之無愧的冠軍。

因為《綴術》失傳了，祖沖之究竟是用什么方法將π算到小數(shù)點后第七位，又是怎樣找到既精確又方便的密率的呢？這至今仍是困惑數(shù)學家的一個謎。祖率（密率）是圓周率十分精確的近似值，且又很好記，只要將1117祖沖之曾寫過一本數(shù)學著作《綴術》，記錄了他對圓周率的研究和成果。但當時“學官莫能究其深奧，是故廢而不理”，以致后來失傳。

很多人都知道用密率355/113表示π的近似值，是一項了不起的貢獻。密率355／113傳到了日本后，1913年日本數(shù)學史家三上一