浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件一二章

概率論與數(shù)理統(tǒng)計

教材：浙江大學盛驟謝世千潘承毅編高等教育出版社數(shù)學與計算機學院1概率論與數(shù)理統(tǒng)計教材：浙江大學盛驟謝概率論--------研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學科。

序言概率論是研究什么的？?隨機現(xiàn)象：不確定性與統(tǒng)計規(guī)律性2概率論--------研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學科。

概率論3概率論3關鍵詞：

樣本空間 隨機事件 頻率和概率

古典概型 條件概率 事件的獨立性第一章概率論的基本概念4關鍵詞：第一章概率論的基本概念4§1隨機試驗確定性現(xiàn)象：結果可以預言。不確定性現(xiàn)象：結果事先不能預言自然界與社會生活中的現(xiàn)象按照結果能否預言分為兩類一類是確定性現(xiàn)象；一類是隨機現(xiàn)象。5§1隨機試驗自然界與社會生活中的現(xiàn)象按照結果能否預言分為一在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.

“太陽不會從西邊升起”,1.確定性現(xiàn)象

“可導必連續(xù)”,“水從高處流向低處”,實例確定性現(xiàn)象的特征:

條件完全決定結果在一定條件下必然發(fā)生“太陽不會從西邊升起”,1.確定性6在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象.實例1

“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現(xiàn)的情況”.2.隨機現(xiàn)象結果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象.實例17結果有可能為:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.實例3

“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)”.實例2

“用同一門炮向同一目標發(fā)射同一種炮彈多發(fā),觀察彈落點的情況”.結果:“彈落點會各不相同”.結果有可能為:“1”,“2”,“3”,實例38實例4

“從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個產(chǎn)品”.其結果可能為:

正品

、次品.實例5

“過馬路交叉口時,可能遇上各種顏色的交通指揮燈”.實例6“一只燈泡的壽命”可長可短.隨機現(xiàn)象的特征:條件不能完全決定結果實例4“從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個產(chǎn)品92.隨機現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結果具有偶然性,但在大量重復試驗或觀察中,這種結果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性

,概率論就是研究隨機現(xiàn)象這種本質規(guī)律的一門數(shù)學學科.隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的.問題什么是隨機試驗?如何來研究隨機現(xiàn)象?說明1.隨機現(xiàn)象揭示了條件和結果之間的非確定性聯(lián)系,其數(shù)量關系無法用函數(shù)加以描述.2.隨機現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結果具有偶然性,但在大量10§1隨機試驗隨機試驗的例子E1:拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況；E2:擲兩顆骰子，E3:記錄110報警臺一天接到的報警次數(shù)；在區(qū)間上任取一點，記錄它的坐標。E6:E5:記錄某物理量的測量誤差；E4:在一批燈泡中任意抽取一個，測試它的壽命；觀察出現(xiàn)的點數(shù)；§1隨機試驗隨機試驗的例子E1:拋一枚硬幣，觀察正面H、11

上述試驗的特點：1.試驗的可重復性——可在相同條件下重復進行；2.一次試驗結果的隨機性——一次試驗之前無法確定具體

是哪種結果出現(xiàn)，但能確定所有的可能結果。3.全部試驗結果的可知性——所有可能的結果是預先可知的。

在概率論中，將具有上述三個特點的試驗成為隨機試驗，簡稱試驗。隨機試驗常用E表示。

上述試驗的特點：12§2樣本空間·隨機事件(一)樣本空間

定義：隨機試驗E的所有可能結組成的集合稱為E的樣本空間，記為S.樣本空間的元素，即為E的每個結果，稱為樣本點

下面分別寫出§1上述各試驗所對應的樣本空間E1:拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況E2:擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)E3:記錄110報警臺一天接到的報警次數(shù)在區(qū)間上任取一點，記錄它的坐標E6:E5:記錄某物理量的測量誤差E4:在一批燈泡中任意抽取一個，測試它的壽命13§2樣本空間·隨機事件(一)樣本空間下面分別寫出§1上述(二)隨機事件

一般我們稱試驗E的樣本空間S的子集為E的隨機事件，簡稱事件.當且僅當這一子集所包含的一個樣本點出現(xiàn)時，稱這一事件發(fā)生.

S＝{0,1,2,…}；例：觀察221路公交車西華大學站候車人數(shù)，

如果將S亦視作事件，則每次試驗S總是發(fā)生，故又稱S為必然事件。記A＝{至少有10人候車}＝{10,11,12,…}S，A為隨機事件，A可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。為方便起見，記Φ為不可能事件，Φ不包含任何樣本點。

14(二)隨機事件S＝{0,1,2,…}；例：觀察221路公

我們把必然事件和不可能事件看成是隨機事件的極端情況，則基本事件、復雜事件、必然事件和不可能事件就是隨機事件。由前面得知：（1）基本事件的全體組成了樣本空間；（2）隨機事件由若干基本事件構成，它是樣本空間的子集；（3）樣本空間就是必然事件，都用Ω表示；（4）空集為不可能事件，都用φ表示。我們把必然事件和不可能事件看成是隨機事件的極端情況，15ΩBA如右圖：ΩBA如右圖：16ABA+B如圖所示:ABA+B如圖所示:17浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計ppt課件一二章18AB如圖所示：ABAB如圖所示：AB19浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計ppt課件一二章20A-BBA-B

A-BBA-B21ABAB=φAABAB=φA22浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計ppt課件一二章23也稱為對偶律也稱為對偶律24

“和”、“交”關系式2525例：甲、乙、丙三人各向目標射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標，試用A、B、C的運算關系表示下列事件：例：甲、乙、丙三人各向目標射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示26

§3頻率與概率

1.理解事件頻率的概念，了解概率的定義；2.熟練掌握概率的性質；3.掌握古典概型的計算。

§3頻率與概率

1.理解事件頻率的概念，了解概率的27

研究隨機現(xiàn)象，不僅關心試驗中會出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事件的概率.概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的度量

事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大！研究隨機現(xiàn)象，不僅關心試驗中會出現(xiàn)哪些事件，更重要的是28

了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度.了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度.29

了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小，對人們的生活有什么意義呢？

我先給大家舉幾個例子，也希望你們再補充幾個例子.了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小，對人們的生活有什么意30

例如，了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小,確定保險金額.例如，了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小,確定保險金額.31

了解來商場購物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，合理配置服務人員.了解來商場購物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，合理配置服務人員32(一)頻率的定義頻率：(一)頻率的定義頻率：33**頻率的性質：且隨n的增大漸趨穩(wěn)定，記穩(wěn)定值為p．

34**頻率的性質：34拋擲錢幣試驗記錄試驗者拋幣次數(shù)n

“正面向上”次數(shù)

頻率DeMorgan208410610.518Bufen404020480.5069Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005拋擲錢幣試驗記錄試驗者拋幣次數(shù)n“正面向上”次數(shù)頻率35

注意到不論是對概率的直觀理解，還是頻率定義方式，作為事件的概率，都應具有前述三條基本性質，在數(shù)學上，我們就可以從這些性質出發(fā)，給出概率的公理化定義注意到不論是對概率的直觀理解，還是頻率定義方式，作為36（二）概率的定義（二）概率的定義37(三)概率的性質(三)概率的性質38(三)概率的性質(三)概率的性質39例例40例例41例例42例

設A,B,C是三個事件，且求A,B,C至少有一個發(fā)生的概率.解已知由故得所求概率為例設A,B,C是三個事件，且求A,B,C至少有一個發(fā)生的43若某實驗E滿足：1.有限性：樣本空間含有有限個樣本點;2.等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的，即有則稱E為古典概型也叫等可能概型.它在概率論發(fā)展初期曾是主要的研究對象，所以也稱為古典概型§4等可能概型（古典概型）若某實驗E滿足：§4等可能概型（古典概型）44古典概型中事件概率的計算公式:根據(jù)概率的有限可加性知：于是對任意一個隨機事件A,如果A是r個基本事件的和，即古典概型中事件概率的計算公式:根據(jù)概率的有限可加性知：于是對45則有P(A)具有如下性質(1)0

P(A)1；(2)P()＝1；P()=0(3)AB＝，則P(AB

)＝P(A)＋P(B)也即則有P(A)具有如下性質(1)0P(A)1；也即46例1:有三個子女的家庭,設每個孩子是男是女的概率相等,則至少有一個男孩的概率是多少?解:設A--至少有一個男孩,以H表示某個孩子是男孩={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}A={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}例1:有三個子女的家庭,設每個孩子是男是女的概={H47浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計ppt課件一二章48浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計ppt課件一二章49

可解析為一個64人的班上，至少有兩人在同一天過生日的概率為99.7%．有許多問題和本例具有相同的數(shù)學模型例如：若取n＝64，N＝365

再如：一單位有5個員工，一星期共七天，讓每位員工獨立地挑一天休息，求不出現(xiàn)至少有2人在同一天休息的概率。

解：將5為員工看成5個不同的球，7天看成7個不同的盒子，記A={無2人在同一天休息}， 則由上例知：50 可解析為一個64人的班上，至少有兩人在同一天過有許多問例5:(抽簽問題)一袋中有a只紅球，b只白球，個人依次在袋中取一只球，（1）作放回抽樣；（2）作不放回抽樣，求第i(i=1,2,…,k)人取到白球（記為事件B）的概率（k=a+b）

解(1)：放回抽樣。顯然有

51例5:(抽簽問題)51解（2）不放回抽樣

①②…n可以是①號球，亦可以是②號球……是號球

n

可設想將a+b=n個球進行編號，其中前面a個為白球

視的任一排列為一個樣本點，每點出現(xiàn)的概率相等。

----------與k無關解1：設{第k人取到白球}，k＝1,2,…,a+b．52解（2）不放回抽樣①②…n可以是①號球，亦可以是②號球……解2

將第k次摸到的球號作為一樣本點：此值不僅與k無關，且與a，b都無關，若a＝0呢？對嗎？

為什么？原來這不是等可能概型①，②，…，nS＝{}，①，②，…，a{}{紅色}解3：記第k次摸到的球的顏色為一樣本點：

S＝{紅色,白色}，

53解2 將第k次摸到的球號作為一樣本點：此值不僅與k無關，浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計ppt課件一二章54

解：

假設接待站的接待時間沒有規(guī)定，而各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待來訪者都是在周二、周四的概率為

212/712=0.0000003.

例8：

某接待站在某一周曾接待12次來訪，已知所有這12次接待都是在周二和周四進行的，問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的?55 解：例8：55但是：切記：小概率事件是會發(fā)生的，小概率事件一旦發(fā)生后果“不堪設想”比如：中彩票和車禍，人生的大喜大悲呀

人們在長期的實踐中總結得到“概率很小的事件在一次試驗中實際上幾乎是不發(fā)生的”(稱之為實際推斷原理)。 現(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗中竟然發(fā)生了，因此有理由懷疑假設的正確性，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即認為其接待時間是有規(guī)定的。56但是：切記：小概率事件是會發(fā)生的， 人們在長期的實踐中總例1：箱中有同型的7件產(chǎn)品，其中4件正品，3件次品，無放回地取兩次，每次取1件。(1)求第2次取到次品的概率；(2)已知第1次取到的是正品，求第2次取到次品的概率。解:(1)設A=“第1次取到的是正品”B=“第2次取到次品”§5條件概率例1：箱中有同型的7件產(chǎn)品，其中4件正品，3件次品，無放回地57(2)因為已經(jīng)知道第1次取到正品，所以剩下的6件產(chǎn)品中有3件次品(2)因為已經(jīng)知道第1次取到正品，所以剩下的6件產(chǎn)品中有58例2已知一個人活到60歲的概率為0.8，能活到90歲的概率為0.3?，F(xiàn)在一個人已經(jīng)60歲了，問他能活到90歲的概率.例2已知一個人活到60歲的概率為0.8，能活到90歲的概59解：設A=“一個人能活到60歲”

B=“一個人能活到90歲時”則：B|A=“已活到60歲還能活到90歲”解：設A=“一個人能活到60歲”則：B|A=“已活到60歲還60“條件概率”是“概率”嗎？不難驗證，條件概率符合概率定義中的三個條件，

(1)非負性；對于每一個事件P(B|A)≥0；(2)規(guī)范性；對于必然事件S，有P(S|A)＝1;(3)可列可加性：設B1，B2，…,是一列兩兩互不相容的事件，則有P(B1

B2

…|A

)＝P(B1|A)＋P(B2|A

)+….既然符合，則概率中的一些重要結果都適用于條件概率例如：?“條件概率”是“概率”嗎？不難驗證，條件概率符合概率定義中的61

由上面討論知，P(B|A)應具有概率的所有性質。

例如：二、乘法公式

當下面的條件概率都有意義時：62 由上面討論知，P(B|A)應具有概率的所有性質。二、乘法公二、乘法公式（p16）設，P（A）>0,則

P(AB)＝P(A)P(B|A).(5.3）式(5.3）就稱為事件A、B的概率乘法公式。

還可推廣到三個事件的情形：P（AB）>0

P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).

一般地，有下列公式：P(A1A2…An-1)>0

P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1)二、乘法公式（p16）設，P（A）>0,則還可推63

例3袋中有r只紅球，t只白球,每次從袋中任取一只，觀察顏色后放回，再放入a只與所取球顏色相同的球，若從袋中連續(xù)取球4次,求第1、2次取到紅球且第3、4次取到白球的概率。解：設Ai為第i（i=1,2,3,4）次取球時取到紅球，則例3袋中有r只紅球，t只白球,每次從袋中任取一只，觀察顏64解：設Ai={這人第i次通過考核}，i=1,2,3 A={這人通過考核}，

例4：某行業(yè)進行專業(yè)勞動技能考核，一個月安排一次，每人最多參加3次；某人第一次參加能通過的概率為60%；如果第一次未通過就去參加第二次，這時能通過的概率為 80%；如果第二次再未通過，則去參加第三次，此時能通過的概率為90%。求這人能通過考核的概率。亦可：

65解：設Ai={這人第i次通過考核}，i=1,2,3

例5：從52張牌中任取2張，采用(1)放回抽樣，（2）不放回抽樣，求恰是“一紅一黑”的概率。利用乘法公式與不相容（1）若為放回抽樣：（2）若為不放回抽樣：

解： 設Ai={第i次取到紅牌}，i=1,2B={取2張恰是一紅一黑}66例5：從52張牌中任取2張，采用(1)放回抽樣，（2）不三、全概率公式與Bayes公式定義：設S為試驗E的樣本空間，B1,B2,…,Bn為E的一組事件。若：則稱B1,B2,…,Bn為S的一個劃分,B1B2BnS即：B1,B2,…,Bn至少有一發(fā)生是必然的，兩兩同時發(fā)生又是不可能的。67三、全概率公式與Bayes公式B1B2BnS即：B1,B2,

定理：設試驗E的樣本空間為S，A為E的事件。為S的一個劃分，則稱：

為全概率公式

證明:

A68定理：設試驗E的樣本空間為S，A為E的事件。為全概率公式浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計ppt課件一二章69

例：一單位有甲、乙兩人，已知甲近期出差的概率為80%，若甲出差，則乙出差的概率為20%；若甲不出差，則乙出差的概率為90%。(1)求近期乙出差的概率；2)

若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。

Bayes公式全概率公式解：設A={甲出差}，B={乙出差}70例：一單位有甲、乙兩人，已知甲近期出差的概率為Bay例：根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗具有如下的效果：若以A={試驗反應是陽性}，C={被診斷患有癌癥}則有： 現(xiàn)在對自然人群進行普查，設被試驗的人患癌的概率為0.005，即P(C)=0.005，試求解：已知由貝葉斯公式此例說明1000個陽性反應的人中大約有87人確患有癌71例：根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗具有如下的效果：若條件概率條件概率小結縮減樣本空間定義式乘法公式全概率公式貝葉斯公式條件概率條件概率小結縮減樣本空間定義式乘法公式全概72§6獨立性

例：有10件產(chǎn)品，其中8件為正品，2件為次品。從中取2次,每次取1件，設A={第1次取到正品}，B={第2次取到正品}不放回抽樣時，放回抽樣時，

即放回抽樣時，A的發(fā)生對B的發(fā)生概率不影響 同樣，A的發(fā)生對B的發(fā)生概率不影響

73§6獨立性例：有10件產(chǎn)品，其中8件為正品，2件定義1設A，B是兩事件，若則稱事件A與B相互獨立.一、兩個事件的獨立性定義1設A，B是兩事件，若則稱事件A與B相互獨立.一74

定理一設A、B是兩事件，P(A)≠0,若A與B相互獨立，則

P(B)＝P(B|A)反之亦然定理一設A、B是兩事件，P(A)≠0,若A與B相75例2：甲、乙二人射擊一目標，擊中概率分別為0.8和0.9,今個射擊一次，求目標被擊中的概率。解：設A={甲擊中目標}，B={乙擊中目標}，則A+B={目標被擊中}，且A與B相互獨立。

p(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB)=0.8+0.9-0.72=0.98例2：甲、乙二人射擊一目標，擊中概率分別為0.8和0.9,今76二、多個事件的獨立性注意：前三個等式不能推出第四個等式；這四個等式必須同時滿足，才能保證A,B,C相互獨立。二、多個事件的獨立性注意：前三個等式不能推出第四個等式；這四771：如果從n個事件相互獨立則其中任取k個事件（k≤n），都相互獨立。2：如果n個事件相互獨立，則其中任意k個事件（k≤n）換成它們的對立事件仍相互獨立。一般地，設A1，A2，…，An是n個事件，如果對任意k(1kn),任意的

，具有等式、則稱n個事件

相互獨立。兩個推論1：如果從n個事件相互獨立則其中任取k個事件（k≤n），都相78例：有4個獨立元件構成的系統(tǒng)(如圖)，設每個元件能正常運行的概率為p，求系統(tǒng)正常運行的概率。

143279例：有4個獨立元件構成的系統(tǒng)(如圖)，設每個元143279

例：甲、乙兩人進行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為

，

問對甲而言，采用三局二勝制有利，還是采用五局三勝制有利，設各局勝負相互獨立80例：甲、乙兩人進行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為80總結：81總結：81第二章隨機變量及其分布

關鍵詞：

隨機變量 概率分布函數(shù) 離散型隨機變量 連續(xù)型隨機變量隨機變量的函數(shù)82第二章隨機變量及其分布 關鍵詞：822.1隨機變量的概念

定義.

設S={e}是試驗的樣本空間，如果量X是定義在S上的一個單值實值函數(shù)即對于每一個eS，有一實數(shù)X=X(e)與之對應，則稱X為隨機變量。2.1隨機變量的概念定義.設S={e}是試驗83說明說明84例1：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正反面的情況，樣本空間是

以X記三次投擲得到正面H的總數(shù)，那么，對于樣本空間S={e}中的每一個樣本點e,X都有一個數(shù)與之對應。X是定義在樣本空間S上的一個實值單值函數(shù)，它的定義域在樣本空間S上，值域是實值函數(shù)集合{0,1,2,3}.使用函數(shù)記號可將X寫成例1：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正反面以X85隨機變量的取值隨隨機試驗的結果而定，而試驗的各個結果出現(xiàn)有一定的概率，因而隨機變量的取值有一定的概率.這也顯示了隨機變量和普通變量有著本質的區(qū)別。

例如在例1中X取值為2，記成{X=2}對應于樣本點的集合A={HHT,HTH,THH},這是一個事件，而且當且僅當事件A發(fā)生時有{X=2}則：隨機變量的取值隨隨機試驗的結果而定，而試驗的各個結果出現(xiàn)有一86例盒中有5個乒乓球,其中2個白球，3個黃球,從中任取3個,記X=“取到白球的個數(shù)”則X是一個隨機變量,且X的可能取值是0,1,2,且有例盒中有5個乒乓球,其中2個白球，3個黃87例

上午8:00～9:00

在某路口觀察，令Y：該時間間隔內通過的汽車數(shù)．則Y就是一個隨機變量．它的取值為0，1，…．

表示通過的汽車數(shù)小于100輛這一隨機事件；表示通過的汽車數(shù)大于

50輛但不超過100輛這一隨機事件．例上午8:00～9:00在某路口觀察，令表示通過的

關于隨機變量(及向量)的研究，是概率論的中心內容．這是因為，對于一個隨機試驗，我們所關心的往往是與所研究的特定問題有關的某個或某些量，而這些量就是隨機變量．

也可以說：隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點，一如數(shù)學分析中的常量與變量的區(qū)分那樣．

變量概念是高等數(shù)學有別于初等數(shù)學的基礎概念．同樣，概率論能從計算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個更高的理論體系，其基礎概念是隨機變量.關于隨機變量(及向量)的研究，是概率論的中心內89隨機變量的分類：隨機變量

對于隨機變量，主要介紹常見的兩大類：離散型和連續(xù)型隨機變量。隨機變量的分類：對于隨機變量，主要介紹常見的兩大類90定義1若r.v的所有可能取到值是有限個或可列無限個,則稱這樣的r.v為離散型r.v.

對于離散型r.v，主要討論它的所有可能取值以及取這些值的概率，即概率的分布情況。§2離散型隨機變量及其分布律定義1若r.v的所有可能取到值是有限個或可列無限個91

上述表中X值應該從小到大，沒有重復上述表中X值應該從小到大，沒有重復92

反之，具有以上性質的pk，一定可以作為某個離散型隨機變量的分布律。反之，具有以上性質的pk，一定可以作為某個離散型隨機變量93

例2

設一汽車在開往目的地的路上需經(jīng)過四盞信號燈,每盞信號燈禁止汽車通過的概率為p,以X表示汽車首次停下時已通過信號燈的盞數(shù),求X的分布律.例2設一汽車在開往目的地的路上需經(jīng)過四盞信號燈94同理可求得同理可求得951.(0-1)分布

若以X表示進行一次試驗事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從(0－1)分布(兩點分布)X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)k＝0，1或三、三種重要的離散型隨機變量1.(0-1)分布三、三種重要的離散型隨機變量96

兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩種可能結果的隨機現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點分布.說明兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩97例200

件產(chǎn)品中,有

196

件是正品,則服從參數(shù)為0.98的兩點分布.于是,4

件是次品,今從中隨機地抽取一件,若規(guī)定例200件產(chǎn)品中,有196件是正品,則服從參數(shù)為0.98

定義設將試驗獨立重復進行n次，每次試驗中，事件A發(fā)生的概率均為p，則稱這n次試驗為n重伯努利試驗.2.伯努利試驗、二項分布定義設將試驗獨立重復進行n次，每次試驗中，事件99

例：

1.獨立重復地拋n次硬幣，每次只有兩個可能的結果：正面，反面，

2.將一顆骰子拋n次，設A={得到1點}，則每次試驗只有兩個結果：

3.從52張牌中有放回地取n次，設A={取到紅牌}則每次只有兩個結果：100 例： 2.將一顆骰子拋n次，設A={得到1點}，則設X表示n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，設X表示n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，101二項分布的圖形特點:對于固定及當增加時,概率先是隨之增加直至達到最大值,隨后單調減少.二項分布的圖形特點:對于固定及當增加時,概率先是隨之增加直至102例2按規(guī)定,某種型號電子元件的使用壽命超過1500小時的為一級品.已知某批產(chǎn)品的一級品率為0.2,現(xiàn)在從中隨機地抽取20只,問20只元件中恰有k(k=0,1,2,…,20)只為一級品的概率為多少？記X為20只元件中一級品的只數(shù),解例2按規(guī)定,某種型號電子元件的使用壽命超過1500小時的103浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計ppt課件一二章104浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計ppt課件一二章105例4：

設有80臺同類型設備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺設備的故障能有一個人處理。 考慮兩種配備維修工人的方法，其一是由4個人維護，每人負責20臺；其二是由3個人共同維護80臺。試比較這兩種方法在設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小。106例4：106107107三、Poisson分布若r.v.X的分布律為:

則稱X服從參數(shù)為λ的泊淞(Poisson)分布記為X~P(λ)例如：一本書一頁中印刷的錯誤數(shù)、某地區(qū)在一天內郵遞遺失的信件數(shù)，車流量，車站單位時間內到達的乘客數(shù)，商店的顧客等都服從poisson分布三、Poisson分布若r.v.X的分布律為:則稱X服108泊松分布的背景及應用二十世紀初盧瑟福和蓋克兩位科學家在觀察與分析放射性物質放出的粒子個數(shù)的情況時,他們做了2608次觀察(每次時間為7.5秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質在規(guī)定的一段時間內,其放射的粒子數(shù)X服從泊松分布.泊松分布的背景及應用二十世紀初盧瑟福和蓋克兩位科學家在觀109電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)地震火山爆發(fā)特大洪水

在生物學、醫(yī)學、工業(yè)統(tǒng)計、保險科學及公用事業(yè)的排隊等問題中

,泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)地震火山爆發(fā)特大洪水110浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計ppt課件一二章111浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計ppt課件一二章112§3隨機變量的分布函數(shù)

一、分布函數(shù)的概念.

定義

設X是隨機變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)F(x)＝P{Xx}.記為F(x)，即稱為隨機變量X的分布函數(shù)0xxX幾何定義：§3隨機變量的分布函數(shù)

一、分布函數(shù)的概念.113對于任意實數(shù)因此，若已知變量的分布函數(shù)，我們就知道變量落在任意區(qū)間上的概率，從這個意義上說，分布函數(shù)完整的描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律.對于任意實數(shù)因此，若已知變量的分布函數(shù)，我們就知道變量落在任114分布函數(shù)的性質(1)(3)F(x)右連續(xù)，即

(2)對任意實數(shù)x，0F(x)1，且分布函數(shù)的性質(1)(3)F(x)右連續(xù)，即(2)對任115

如果一個函數(shù)具有上述性質，則一定是某個r.vX

的分布函數(shù).也就是說，性質(1)--(3)是鑒別一個函數(shù)是否是某r.v的分布函數(shù)的充分必要條件.如果一個函數(shù)具有上述性質，則一定是某個r.v116浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計ppt課件一二章117浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計ppt課件一二章118浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計ppt課件一二章1191-10231上題分布函數(shù)的圖形為：1-10231上題分布函數(shù)的圖形為：120其分布函數(shù)為即，當時，時，當當時，當時，一般的，對離散型隨機變量其分布函數(shù)為即，當時，時，當當時，當時，一般的，對離散型隨機121例判別下列函數(shù)是否為某隨機變量的分布函數(shù)?(2)(2)因在

上單調下降,不可能是分布函數(shù).所以解例判別下列函數(shù)是否為某隨機變量的分布函數(shù)?(2)(2)因在122

1.概率密度定義

對于隨機變量X的分布函數(shù)F(x)，若存在非負函數(shù)f(x)，(-<x<+)，使對任意實數(shù)x，都有則稱X為連續(xù)型隨機變量，f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù).§4連續(xù)型隨機變量及其概率密度1.概率密度定義對于隨機變量X的分布函數(shù)F(x123xf(x)xF(x)分布函數(shù)與密度函數(shù)幾何意義xf(x)xF(x)分布函數(shù)與密度函數(shù)幾何意義1242.密度函數(shù)的性質(1)非負性

f(x)0，(-<x<)；

(2)歸一性反之，滿足以上兩條性質的函數(shù)p(x)就可以作為某個連續(xù)型RV.的概率密度。2.密度函數(shù)的性質反之，滿足以上兩條性質的函數(shù)p(x)就125（3）對任意實數(shù)

，（3）對任意實數(shù)126

與物理學中的質量線密度的定義相類似注：連續(xù)r.v.在任何一點的概率都為0,但它不是不可能事件127與物理學中的質量線密度的定義相類似注：連續(xù)r.v浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計ppt課件一二章128浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計ppt課件一二章129浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計ppt課件一二章130浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計ppt課件一二章131三種重要的概率分布：均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布.1、均勻分布三種重要的概率分布：1、均勻分布13211133浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計ppt課件一二章134例

某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等時刻有汽車到達此站，如果乘客到達此站時間X

是7:00到7:30之間的均勻隨機變量,試求他候車時間少于5分鐘的概率.解依題意，

X

～U(0,30)以7:00為起點0，以分為單位例某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，即7135所求概率為：即乘客候車時間少于5分鐘的概率是1/3.

從上午7時起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30等時刻有汽車到達汽車站。為使候車時間X少于5分鐘，乘客必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達車站.所求概率為：即乘客候車時間少于5分鐘的概率是1/3.136（二）指數(shù)分布定義：設X的概率密度為 其中λ>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。（二）指數(shù)分布137指數(shù)分布的概率密度和分布函數(shù)圖像如下1指數(shù)分布的概率密度和分布函數(shù)圖像如下1138

服從指數(shù)分布的隨機變量X通?？山忉尀槟撤N壽命,如果已知壽命長于S年,則再活t年的概率與年齡S無關,亦稱指數(shù)分布具有“無記憶性”.服從指數(shù)分布的隨機變量X通?？山忉尀?39見P45（三）正態(tài)分布定義：X的概率密度為其中為常數(shù)，稱X服從參數(shù)為的正態(tài)分布或(Gauss分布)記為可以驗算：140見P45（三）正態(tài)分布定義：X的概率密度為其中為常數(shù)，稱X服正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征141浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計ppt課件一二章142浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計ppt課件一二章143正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)144標準正態(tài)分布的概率密度表示為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布的概率密度表示為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為標準145標準正態(tài)分布的圖形標準正態(tài)分布的圖形146標準正態(tài)分布具有如下特點標準正態(tài)分布具有如下特點147標準正態(tài)分布具有如下特點標準正態(tài)分布具有如下特點148例1=0.7517=1-0.9591=0.0409=0.8925=2*0.975-1=0.95=0.9591-1+0.7517=0.7108=2*(1-0.9671)=0.0658例1=0.7517=1-0.9591=0.0409=149一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關系一般正態(tài)隨機變量：X~N(,2)其分布函數(shù)作變量代換（1）一般正態(tài)隨機變量與標準正態(tài)隨機變量的分布函數(shù)之間的關系一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關系一般正態(tài)隨機變量：X~150浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計ppt課件一二章151引理：若，則證明：令，得到