2023數(shù)學(xué)高考中的填空題的解題策略

2023高考數(shù)學(xué)填空題的解題策略

1.直接法：

直接從題設(shè)條件出發(fā)，利用定義、性質(zhì)、定理、公式等，經(jīng)過(guò)變形、計(jì)算得出結(jié)論.這

是解填空題最常見的，也是最重要的方法，絕大多數(shù)的填空題使用該法求解.

（2x-；）9

例1、《的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.

解：設(shè)常數(shù)項(xiàng)為第r+1項(xiàng)，那么j=a（2x）i（-iy（x。、/?、澹?/孔令

5r=0,得r=6.所以常數(shù)項(xiàng)為。?2。（-1）,即672.答案：672

例2、假設(shè)函數(shù)y=，+（a+2k+3,xe|a⑹的圖象關(guān)于直線”1對(duì)稱，那么

a+2a^b.

x=-----/----=1,

解：由拋物線的對(duì)稱軸為2,得4=-4,而2,有方=6.答案：6

?。?竺里

例3、函數(shù)-X+2在區(qū)間（一二田）上為增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

..、ax+1\-2a.、1-2a

/（x）=----=。+------g（x）=-----/

解：x+2X+2,由復(fù)合函數(shù)的增減性可知，X+2在（一2>*0）

2

上為增函數(shù)，...1-為<0,.?一,5.答案：4>2

2.特殊化法

當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以把題中

變化的不定量用特殊值代替，即可以得到正確結(jié)果.

例4、在aABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c.假設(shè)a、b、c成等差數(shù)列，那

cosJ4+COSC

么］+cos/cosC

cosd=1,cosC=0

解：特殊化:令a=3,b=4,c=5,那么AABC為直角三角形,

33

從而所求值為5.答案：5

例5、Z^ABC的外接圓的圓心為0,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H,OH=m(0A+0B+0C)

那么實(shí)數(shù)m的值是.

解：由于此題對(duì)任意三角形結(jié)論成立，故可取特殊的等腰直角三角形ABC求解，

設(shè)/BAC=90°,AB=AC,那么H與A重合，0是BC邊的中點(diǎn)，此時(shí)08+0(7-5,

m=1.

注意：此題中的AABC不能取成等邊三角形，否那么有5+越+歷?3,此時(shí)m取

任意實(shí)數(shù)，值不唯一.

例6、過(guò)拋物線>二0/似>0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于p、Q兩點(diǎn)，假設(shè)線段PF、

1,1

-+—二

FQ的長(zhǎng)分別為p、q,那么P9。

分析：此拋物線開口向上，過(guò)焦點(diǎn)且斜率為k的直線與拋物線均有兩個(gè)交點(diǎn)P、Q,當(dāng)k

變化時(shí)PF、FQ的長(zhǎng)均變化，但從題設(shè)可以得到這樣的信息：盡管PF、FQ不定，但其倒

數(shù)和應(yīng)為定值，所以可以針對(duì)直線的某一特定位置進(jìn)行求解，而不失一般性。

〃】、1

(0—)y=

解：設(shè)k=0,因拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為‘4?！卑阎本€方程’4a代入拋物線方程得

1111〃

x=±—|PFH^CI=——+—=4。

2a,：.勿，從而P9.答案：4a

3.數(shù)形結(jié)合法

對(duì)于一些含有幾何背景的填空題，假設(shè)能數(shù)中思形，以形助數(shù)，那么往往可以簡(jiǎn)捷

地解決問(wèn)題，得出正確的結(jié)果.

例7、如果不等式也的解集為A,且4[{x|0<x<2),那么實(shí)數(shù)a

的取值范圍是.

解：根據(jù)不等式解集的幾何意義，作函數(shù)嘲=J4x-X和函數(shù)》=S一】)x的圖象(如

圖)，從圖上容易得出實(shí)數(shù)a的取值范圍是ae[2.*o).

y

例8、實(shí)數(shù)x、y滿足=3,那么；二工的最大值是.

y

解：口可看作是過(guò)點(diǎn)P(x,y)與M(1,0)的直線的斜率，其中點(diǎn)P的圓5-笏'+y’=3

上R

上，當(dāng)直線處于切線位置時(shí)，斜率X-1最大，最大值為tan6=J3.

例9、設(shè)P是曲線y2=4(x-1)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)B(0,1)的距離與點(diǎn)P

到y(tǒng)軸的距離之和的最小值是.

解：設(shè)y，=4x,那么焦點(diǎn)為(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-l,將拋物線V=4x向右平移1個(gè)單

位，其圖象的方程為歹=4(x-1),焦點(diǎn)為F(2,0),準(zhǔn)線方程為x=0(即y軸)，點(diǎn)P

到y(tǒng)軸的距離PG就等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離,所以|PB|+|PG|=|PB|+|PF|.由于P點(diǎn)

在拋物線上，所以，當(dāng)點(diǎn)B、P、F共線時(shí)，|PB|+|PF|的值最小，這個(gè)值是J2'+「?君.

4.等價(jià)轉(zhuǎn)化法

通過(guò)“化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化陌生為熟悉"，將問(wèn)題等價(jià)地轉(zhuǎn)化成便于解決的問(wèn)題，從

而得出正確的結(jié)果.

例10、不管k為何實(shí)數(shù)，直線＞=癡+1與曲線x'+y一241+&2-%-4=°恒有交

點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解：題設(shè)條件等價(jià)于點(diǎn)(0,1)在圓內(nèi)或圓上，或等價(jià)于點(diǎn)(0,1)到圓心的距離小

于或等于半徑，.??一lWa￡3.

例11.數(shù)丁=V4x-1+2單調(diào)遞減區(qū)間為。

解：易知“€牛刃，＞°「y與有相同的單調(diào)區(qū)間，而/=1l+W-4xJ+13x-3,

[—3]

.?.可得結(jié)果為8.

5.構(gòu)造模型法

有的填空題可根據(jù)題意構(gòu)造一些幾何模型快速求解，這種方法常稱為構(gòu)造法.

例12在球面上有4個(gè)點(diǎn)P、A、B、C,如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA=a、PB=2a、

PC=3a,那么這個(gè)球面的面積是.

解：由PA、PB、PC兩兩垂直可構(gòu)造球的內(nèi)接長(zhǎng)方體，使其同一頂點(diǎn)處的三條棱長(zhǎng)依

次為a、2a、3a,那么這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線恰好是球的直徑，所以有：

(2R)2=a2+(2a)2+(3a)2=14a2,所以有4nR=14n即球面面積為14na4

例13.知四面體的各面棱長(zhǎng)分別為4,5,6,那么此四面體的體積為.

解：以四面體的各棱為側(cè)面對(duì)角線，把原四面體補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)寬高分別為a、b、c的長(zhǎng)

方體，那么原四面體的體積V等于長(zhǎng)方體的體積減去四個(gè)相等的三棱錐的體積.

即V-abc-4-1-1abca1abc

323而由爐+d=16,a2+c2=25,a2+b-36,

竺后Labe誣

得abc=4,.,.V=34.

2023高考數(shù)學(xué)選擇題的解題策略

1、直接法：

直接從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法那么和公式等知識(shí)，通過(guò)嚴(yán)密的

推理和準(zhǔn)確的運(yùn)算，從而得出正確的結(jié)論，然后對(duì)照題目所給出的選擇支“對(duì)號(hào)入座”作出

相應(yīng)的選擇.涉及概念、性質(zhì)的辨析或運(yùn)算較簡(jiǎn)單的題目常用直接法.

例1.假設(shè)sin2x>cos2x,那么x的取值范圍是（）

,、inn,、7T、兀

(A){x\2k7r--<x<2kJi+—,keZ}⑻{x\2k+—<x<2k7t+一，keZ}

4444

,、兀,n,、,7i,57t

(C){x\k7T——<x<k7T+—,k&Z}(￡?{x\k7r+—<x<k7r+—,k&Z}

4444

解：（直接法）由sinOAcos%得cos1-sin^xVO,

兀3萬(wàn)

即cos2x<0,所以：---\-kK<2x<------\-kn,選￡）.

22

例2.七人并排站成一行，如果甲、乙兩人必需不相鄰，那么不同的排法的種數(shù)是（

（A）1440（8）3600（C）4320（。）4800

解一：（用排除法）七人并排站成一行，總的排法有A；種，其中甲、乙兩人相鄰的排法有

2義醴種.因此，甲、乙兩人必需不相鄰的排法種數(shù)有：A；—2X婕=3600,對(duì)照后應(yīng)選B；

解二：〔用插空法）父X4=3600.

2、特例法：

用特殊值（特殊圖形、特殊位置）代替題設(shè)普遍條件，得出特殊結(jié)論，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行檢

驗(yàn)，從而作出正確的判斷.常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊

角、特殊位置等.

例3.長(zhǎng)方形的四個(gè)項(xiàng)點(diǎn)A（0,0）,B（2,0）,C（2,1）和。（0,1）,一質(zhì)點(diǎn)從AB的

中點(diǎn)々沿與AB夾角為。的方向射到BC上的點(diǎn)Pi后，依次反射到CD、DA和AB上的點(diǎn)

尸2、凸和匕（入射解等于反射角），設(shè)孔坐標(biāo)為（/，0），若1<*4<2,貝亞211。的取值范圍

是（）

1122122

解：考慮由凡射到8c的中點(diǎn)上，這樣依次反射最終回到Po,止匕時(shí)容易求出tan6=L由

2

題設(shè)條件知，1<榻<2,那么tanOwl,排除A、B、D,應(yīng)選C.

2

例4.如果〃是正偶數(shù)，那么C：+C；+…+C；-2+c：=（）

⑷2"⑻2(C)2(D)(n-l)2

解：(特值法)當(dāng)〃=2時(shí)，代入得C；+C；=2,排除答案A、C：當(dāng)"=4時(shí)，代入得

C：+C：+C：=8,排除答案。.所以選員

3、篩選法：

從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用定理、性質(zhì)、公式推演，根據(jù)“四選一”的指令，逐步剔除干擾

項(xiàng)，從而得出正確的判斷.

例5.)，=/映〃(2—融)在［0,1］上是元的減函數(shù)，那么a的取值范圍是()

(A)(0,1)⑻(1,2)(C)(0,2)(D)12,+8)

解：：2—ar是在［0,1］上是減函數(shù)，所以排除答案A、C；假設(shè)a=2,由2—方>0

得x<l,這與x￡［0,1］不符合，排除答案D所以選B.

例6.過(guò)拋物線/=4x的焦點(diǎn)，作直線與此拋物線相交于兩點(diǎn)P和。，那么線段PQ中點(diǎn)

的軌跡方程是()

1A)y2=2x—1(B)y2^2x~2

(C)y2=-2x+l(D))，2=—2X+2

解：(篩選法)由可知軌跡曲線的頂點(diǎn)為(1,0),開口向右，由此排除答案A、C、D,所以

選&

4、代入法：

將各個(gè)選擇項(xiàng)逐一代入題設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，從而獲得正確的判斷.即將各選擇支分別作為條

件，去驗(yàn)證命題，能使命題成立的選擇支就是應(yīng)選的答案.

兀

例7.函數(shù)尸sin(1一2x)+sin2x的最小正周期是()

TC

(A)—(8)7t(C)244乃

2

兀兀兀冗

解：(代入法)人工+5)=sin一2(x+—)]+sin[2(x+~)]=—而

71

.”+n)=sin[1—2(x+五)]+sin[2O+兀)]=%).所以應(yīng)選&

V3171

另解：(直接法)y=~^-cos2x—Ksin2x+sin2x=sin(2r+1),T=n,選B

57r

例8.函數(shù)y=sin(2x+y)的圖象的一條對(duì)稱軸的方程是()

/、冗/、TC..TC..

（A）x=——⑻x=——（C）x=—（￡））x=——

2484

TTTT

解：（代入法）把選擇支逐次代入，當(dāng)*=一一時(shí)，y=-1,可見x=——是對(duì)稱軸，又因

22

為統(tǒng)一前提規(guī)定“只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合要求的"，應(yīng)選A

S775777T

另解：（直接法）?.?函數(shù)y=sin（2x+—）的圖象的對(duì)稱軸方程為2x+3=E+2，

222

k冗jr

即x=——一兀，當(dāng)上=1時(shí)，x=——,選A.

22

5、圖解法:

據(jù)題設(shè)條件作出所研究問(wèn)題的曲線或有關(guān)圖形,借助幾何圖形的直觀性作出正確的判斷.

習(xí)慣上也叫數(shù)形結(jié)合法.

例9.在（0,2））內(nèi)，使sinx>cosx成立的x的取值范圍是（）

，、,兀兀1?5兀..7T

（A）（丁，7T）U（1,一^）（8）（z7，萬(wàn)）

4244

.、,冗5萬(wàn)、,、,兀，5萬(wàn)3乃、

?㈤）U（—,—）

44442

解：（圖解法）在同一直角坐標(biāo)系中分別作出y=sinx與y=cosx的圖象，便可觀察選C.

47t

另解：（直接法）由sinx>COSX得sin（無(wú)一一）>0,即2E<x——<2E+TT,

44

取k=0所以選C.

例10.在圓/+>2=4上與直線41+3丫-12=0距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

686

(A)1⑻(-,—T)

86,、86

?（一寸『(O)(―-,—y)

解：1圖解法）在同一直角坐標(biāo)系中作出圓/+/=4和直線4x+3y-12=0后，由圖可知

距離最小的點(diǎn)在第一象限內(nèi)，所以選A

X

例11.設(shè)函數(shù)/*）=23~-1r<0，假設(shè)那么X。的取值范圍是（）

x2x>0

(A)[-1,1)⑻(-1,+oo)

(C)(—8,?—2)VJ(0,+oo)(D)(—co,—1)O(1,+co)

解：（圖解法）在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)

y=/（x）的圖象和直線y=l,它們相交于（一1,1）

和（1.1）兩點(diǎn)，由/（玉））>1,得玉）<一1或%>1.

6,割補(bǔ)法

“能割善補(bǔ)〃是解決幾何問(wèn)題常用的方法，巧妙地利用割補(bǔ)法，可以將不規(guī)那么的圖形

轉(zhuǎn)化為規(guī)那么的圖形，這樣可以使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化,從而縮短解題長(zhǎng)度.

例12.一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為行，

四個(gè)項(xiàng)點(diǎn)在同一球面上，那么此球的外表積為()

(A〕3n(B)47r(C)30>兀(￡?67r

解：如圖，將正四面體ABC。補(bǔ)形成正方體，那么正四面體、正方體

心與其外接球的球心共一點(diǎn).因?yàn)檎拿骟w棱長(zhǎng)為血，所以正方體棱長(zhǎng)為1,

V3

從而外接球半徑R=巨.故S現(xiàn)=37.

2

7、極限法：

從有限到無(wú)限，從近似到精確，從量變到質(zhì)變.應(yīng)用極限思想解決某些問(wèn)題，可以避開抽

象、復(fù)雜的運(yùn)算，降低解題難度，優(yōu)化解題過(guò)程.

JT

例13.對(duì)任意。w(0,—)都有()

2

(A)sin(sin0)<cos。<cos(cos6)(3)sin(sin。)>cos0>cos(cos0)

(C)sin(cos。)<cos(sin。)Vcos。(D)sin(cos。)<cos。<cos(sin。)

解：當(dāng)9—>0時(shí)，sin(sin0)—>0,cos?！?gt;1,cos(coscos1,故排除A,B.

TT

當(dāng)0—>萬(wàn)時(shí)，cos(sin0)—>cosl,cos0—>0,故排除C,因此選D

x>0

例14.不等式組<3—x|2—N的解集是()

3+x|2+x|

⑷[0,2)⑻(0,2.5)(C)(0,V6)(D)(0,3)

解：不等式的“極限”即方程，那么只需驗(yàn)證產(chǎn)2,2.5,6和3哪個(gè)為方程==—=

3+x2+x

的根，逐一代入，選C.

例15.在正〃棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是()

(A)(-~-Jt,n)(B)(-~-n,it)

nn

,、，乃、2n-1

(C)(0,—)3)(-------n,——Jt)

2nn