【重點(diǎn)突圍】2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)專題提優(yōu)訓(xùn)練（人教版） 兩個(gè)三角形相似的判定方法(解析版)

兩個(gè)三角形相似的判定方法考點(diǎn)一兩角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形相似考點(diǎn)二兩邊成比例且夾角相等兩個(gè)三角形相似考點(diǎn)三三邊對(duì)應(yīng)成比例兩個(gè)三角形相似考點(diǎn)四補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似考點(diǎn)一兩角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形相似1．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖已知∠EAC＝∠DAB∠D＝∠B求證：△ABC∽△ADE．【答案】見解析【分析】由∠EAC＝∠DAB可推出∠BAC=∠DAE再由∠B=∠D即可證明△ABC∽△ADE．【詳解】解：∵∠EAC＝∠DAB∴∠EAC+∠DAC=∠DAB+∠DAC即∠BAC=∠DAE又∵∠B=∠D∴△ABC∽△ADE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定熟知相似三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．2．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖在△ABC中AD＝DB∠1＝∠2．求證：△ABC∽△EAD．【答案】見解析【分析】根據(jù)已知得出∠C＝∠ADE進(jìn)而利用相似三角形的判定方法得出答案．【詳解】證明：∵AD＝DB∴∠B＝∠BAD．∵∠BDA＝∠1+∠C＝∠2+∠ADE又∵∠1＝∠2∴∠C＝∠ADE．∴△ABC∽△EAD．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定：①有兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似；②有兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊的比相等且其夾角相等則兩個(gè)三角形相似；③三組對(duì)應(yīng)邊的比相等則兩個(gè)三角形相似掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖在正方形ABCD中P是BC上的點(diǎn)Q是CD上的點(diǎn)且AQ⊥PQ△ADQ與△QCP是否相似？并證明你的結(jié)論．【答案】相似見解析【分析】在所要求證的兩個(gè)三角形中已知的等量條件為：∠D＝∠C＝90°若證明兩三角形相似再得出∠DAQ＝∠PQC即可．【詳解】解：相似證明如下：∵四邊形ABCD是正方形∴∠D＝∠C＝90°∴∠DAQ+∠AQD＝90°∵AQ⊥PQ∴∠AQP＝90°∴∠AQD+∠PQC＝90°∴∠DAQ＝∠PQC∴△ADQ∽△QCP．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)相似三角形的判定垂直的定義解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相似三角形的判定條件．4．（2022·湖南婁底·九年級(jí)期末）如圖在中D為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)D作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)角分別相等的兩個(gè)三角形相似；即可證明；【詳解】證明∵∴又∵∴∵∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)相似三角形的判定；掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．5．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖平行四邊形ABCD中點(diǎn)E是BC上一線連接AE連接DEF為線段DE上一點(diǎn)且∠AFE=∠B．求證：△ADF∽△DEC；【答案】見解析【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠C+∠B=180°∠ADF=∠DEC由∠AFD+∠AFE=180°∠AFE=∠B可得∠AFD=∠C進(jìn)而可證△ADF∽△DEC．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB//CDAD//BC∴∠C+∠B=180°∠ADF=∠DEC∵∠AFD+∠AFE=180°∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C在△ADF與△DEC中∵∠AFD=∠C∠ADF=∠DEC∴△ADF∽△DEC．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定、平行線的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合角的計(jì)算找出∠ADF=∠DEC∠AFD=∠C．6．（2022·陜西咸陽(yáng)·九年級(jí)期末）如圖在中E為CD上一點(diǎn)連接AE在AE上取一點(diǎn)F使得．求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出然后根據(jù)補(bǔ)角性質(zhì)得出最后根據(jù)“AA”即可證明．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∴又∴又∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)判斷是解題的關(guān)鍵．7．（2022·山東·濟(jì)南世紀(jì)英華實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖在△ABC中AB=ACD為BC邊上一點(diǎn)E為AC邊上一點(diǎn)且∠ADE=∠B．(1)求證：△ABD∽△DCE；(2)若AC=12BC=11CE=2求BD的長(zhǎng).【答案】(1)見解析(2)3或8【分析】（1）由AB=AC可證得△ABD∽△DCE；（2）由（1）根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得△ABC的邊長(zhǎng)．（1）∵AB=AC∴∠B=∠C∵∠ADC=∠B+∠BAD

∠ADC=∠ADE+∠CDE∵∠ADE=∠B∴∠BAD=∠CDE∴△ABD∽△CDE（2）∵AB=ACAC=12∴AB=12由（1）知△ABD∽△CDE∴=即=∴BD=3或8【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)解題的關(guān)鍵是根據(jù)兩角相等兩三角形相似的判定定理證明即可．8．（2022·安徽·固鎮(zhèn)縣漢興學(xué)校九年級(jí)期中）如圖將矩形紙片沿著過(guò)點(diǎn)D的直線折疊使點(diǎn)A落在邊上落點(diǎn)為F折痕交邊于點(diǎn)E(1)求證：；(2)若求的長(zhǎng)；【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得從而得到再由根據(jù)折疊的性質(zhì)可得從而得到即可求證；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得再由勾股定理可得即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形∴∴根據(jù)折疊的性質(zhì)得：∴∴∴；（2）解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得：∵∴∵四邊形是矩形∴∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定矩形的性質(zhì)勾股定理折疊的性質(zhì)熟練掌握相似三角形的判定矩形的性質(zhì)勾股定理是解題的關(guān)鍵．9．（2022·上海市康健外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知：如圖梯形中AD//BC是對(duì)角線上一點(diǎn)(1)求證：(2)求證：【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）先由得到然后由得證；（2）先由得到再由得到從而得到再利用相似三角形的性質(zhì)可得答案．（1）解：∵∴又∵∴．（2）∵梯形中∴

又∵∴∵∴∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了梯形的性質(zhì)、等腰梯形的判定與性質(zhì)相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用等量代換得證．10．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖在中于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若點(diǎn)是邊上一點(diǎn)連接交于交邊于點(diǎn)求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）由得利用同角的余角相等推出即可；（2）兩次用同角的余角相等推出和即可．【詳解】（1）證明：；（2）證明：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似判定問(wèn)題掌握三角形相似的判定定理靈活運(yùn)用三角形相似的判定定理證明相似是解題關(guān)鍵．11．（2022·江蘇南京·九年級(jí)期末）如圖⊙O是△ABC的外接圓且AB＝AC四邊形ABCD是平行四邊形邊CD與⊙O交于點(diǎn)E連接AE．(1)求證△ABC∽△ADE；(2)求證：AD是⊙O的切線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形可得∠B＝∠D．再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠B＝∠AED．再由AB＝AC可得∠ACB＝∠AED．即可求證；（2）連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M連接OB、OC．根據(jù)AB＝ACOB＝OC可得AM垂直平分BC．從而得到∠DAO＝90°．即可求證．（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠B＝∠D．∵四邊形ABCE為⊙O的內(nèi)接四邊形∴∠B+∠AEC＝180°．∵∠AED+∠AEC＝180°．∴∠B＝∠AED．∵AB＝AC∴AB＝∠ACB∴∠ACB＝∠AED．∴△ABC∽△ADE．（2）解：如圖連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M連接OB、OC．∵AB＝ACOB＝OC∴AM垂直平分BC．∴∠AMC＝90°．∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC．∴∠DAO＝90°．∵點(diǎn)A在⊙O上∴AD是⊙O的切線．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)相似三角形的判定切線的判定等知識(shí)熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．12．（2021·浙江省常山育才中學(xué)九年級(jí)期中）【問(wèn)題提出】已知有兩個(gè)Rt△ABC和Rt△A'B′C'其中∠C＝∠C′＝90°∠A＝60°∠A′＝45°．（1）如圖1作線段CDC′D′分別交AB于點(diǎn)D交A'B′于點(diǎn)D′使得∠BCD＝45°∠B'C′D'＝30°問(wèn)△BCD與△B'C′D'△ACD與△A′C′D′是否相似？并選擇其中相似的一對(duì)三角形說(shuō)明理由．（2）如圖2作線段ADB'D′分別交BC于點(diǎn)D交A'C'于點(diǎn)D若△ACD與△B′C′D′、△ABD與△A′B'D'均相似求∠CAD∠C'B'D′的度數(shù)．【拓展思考】已知任意兩個(gè)不相似的直角三角形能否分別作一條直線對(duì)其進(jìn)行分割使其中一個(gè)三角形所分割得到的兩個(gè)三角形與另一個(gè)三角形所分割得到的兩個(gè)三角形分別對(duì)應(yīng)相似？如果可以請(qǐng)直接畫出一種分割示意圖；如果不能請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）相似見詳解；（2）∠CAD=∠C′B′D′=15°；【拓展思考】可以理由見詳解.【分析】（1）由題意可知如圖1中△BCD與△B′C′D′、△ACD與△A′C′D′相似理由同上；（2）由題意可知如圖2中當(dāng)∠CAD=∠C′B′D′=15°時(shí)△ACD與△B′C′D′、△ABD與△A′B′D′均相似；【拓展思考】根據(jù)題意運(yùn)用材料的方法結(jié)合相似三角形的判定進(jìn)行分析即可.【詳解】解：（1）如圖1中△BCD與△B′C′D′、△ACD與△A′C′D′相似理由如下．∵∠A=∠A′C′D′=60°∠ACD=∠A′=45°∴△ACD∽△C′A′D′∵∠B=∠B′C′D′∠BCD=∠B′∴△BCD∽△C′B′D′．（2）如圖2中當(dāng)∠CAD=∠C′B′D′=15°時(shí)△ACD與△B′C′D′、△ABD與△A′B′D′均相似．理由：∵∠C=∠C′=90°∠CAD=∠C′B′D′=15°∴△ACD∽△B′C′D′∵∠B=∠A′B′D′=30°∠DAB=∠A′=45°∴△BAD∽△B′A′D′．拓展思考:可以如下圖設(shè),作交AB于D作交A′B′于D′．則△ACD∽△C′A′D′△BCD∽△C′B′D′．理由：∵∠A=∠A′C′D′=∠ACD=∠A′=∴△ACD∽△C′A′D′∵∴△BCD∽△C′B′D′．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相似三角形的判定方法學(xué)會(huì)取特殊角解決問(wèn)題．考點(diǎn)二兩邊成比例且夾角相等兩個(gè)三角形相似1．（2021·山東省濟(jì)南中學(xué)九年級(jí)期中）如圖是的邊上的一點(diǎn)．求證：．【答案】見解析．【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法兩邊對(duì)應(yīng)成比例和夾角相等即可得出結(jié)論．【詳解】證明：．而．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的證明熟練其證明方法是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知如圖△ABC中AB＝4BC＝8D為BC邊上一點(diǎn)BD＝2．求證：△ABD∽△CBA．【答案】見解析；【分析】由AB＝4BC＝8BD＝2可知再由∠ABD＝∠CBA可得△ABD∽△CBA；【詳解】證明：∵AB＝4BC＝8BD＝2∴又∵∠ABD＝∠CBA∴△ABD∽△CBA．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定熟練掌握相似三角形的判定方法是解決本題的關(guān)鍵．3．（2021·湖南永州·九年級(jí)期中）如圖在△ABC中點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)且AD＝1AB＝3．求證：△ACD∽△ABC．【答案】見解析【分析】首先利用已知得出進(jìn)而利用相似三角形的判定方法得出即可．【詳解】證明：AD＝1AB＝3AC＝

又∽【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定正確把握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．4．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖是等邊三角形D、E在BC所在的直線上且．求證：．【答案】見解析【分析】先由等邊三角形的性質(zhì)推出∠ABD=∠ECA再由得到即可推出△ABD∽△ECA．【詳解】解；∵△ABC是等邊三角形∴∠ABC=∠ACB=60°∴180°-∠ABC=180°-∠ACB∴∠ABD=∠ECA又∵∴∴△ABD∽△ECA．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定等邊三角形的性質(zhì)熟知相似三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．5．（2022·廣東·深圳市福田區(qū)彩田學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖在△ABC中AC=BC在邊AB上截取AD=AC連接CD若點(diǎn)D恰好是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)且有AD>BD．(1)求證：△ABC與△BCD相似：(2)求∠A的度數(shù)【答案】(1)證明過(guò)程見解析(2)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)D恰好是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)且有AD>BD可知AD：AB=BD：AD根據(jù)題目給的條件可以推出BD：BC=BC：BA結(jié)合∠B=∠B即可證明出相似．（2）根據(jù)第一問(wèn)的相似得到∠BCD=∠A通過(guò)推角在中用內(nèi)角和為即可得到答案．（1）證明：∵AC=BC∴∠A=∠B∵AD=AC∴AD=BC∵點(diǎn)D恰好是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)且有AD>BD∴AD：AB=BD：AD∴BD：BC=BC：BA∵∠B=∠B∴△BDC△BCA（2）解：∵△BDC△BCA∴∠BCD=∠A∴∠BCD=∠B∵∠ADC是△BDC的外角∴∠ADC=∠B+∠BCD=2∠B=2∠A∵AD=AC∴∠ACD=∠ADC=2∠A∵∠A+∠ADC+∠ACD=∴∠A+2∠A+2∠A=∴∠A=∴∠A的度數(shù)為【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的性質(zhì)與判定黃金分割點(diǎn)的定義．使用黃金分割點(diǎn)推出三角形兩邊成比例是解題關(guān)鍵．6．（2021·山東·章丘雙語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖已知AB∥DC點(diǎn)E、F在線段BD上AB＝2DCBE＝2DF．（1）求證：△ABE∽△CDF．（2）若BD＝8DF＝2求EF的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）EF＝2．【分析】（1）根據(jù)AB∥DC可得∠B＝∠D再由AB＝2DCBE＝2DF可得AB：DC＝BE：DF＝2即可證得；（2）根據(jù)BE＝2DF可得即可求解．【詳解】（1）證明：∵AB∥DC∴∠B＝∠D∵AB＝2DCBE＝2DF∴AB：DC＝BE：DF＝2∴△ABE∽△CDF；（2）解：∵BE＝2DFDF＝2∴,∵BD＝8∴EF＝BD﹣DF﹣BE＝2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定熟練掌握兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵．7．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示△ABC中BD⊥AC于點(diǎn)DCE⊥AB于點(diǎn)EBD與CE相交于點(diǎn)F．（1）求證：△BEF∽△CDF；（2）求證：DE·BF＝EF·BC．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）由垂直的定義可得且即可證；（2）可證點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)四點(diǎn)共圓可得可證可得即可得結(jié)論．【詳解】證明：證明：（1）且；（2）如圖連接點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)四點(diǎn)共圓【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)熟練運(yùn)用相似三角形的判定是本題的關(guān)鍵．8．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖在的正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．和的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的格點(diǎn)上．(1)則_____°______；(2)判斷與是否相似．若相似請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)∽證明見解析【分析】（1）利用圖形以及勾股定理解決問(wèn)題即可．（2）結(jié)論：△ABC∽△DFE．根據(jù)兩邊成比例夾角相等兩三角形相似證明即可．【詳解】（1）解：觀察圖形可知∠ABC＝90°＋45°＝135°BC．故答案為：（2）結(jié)論：△ABC∽△DFE．理由：∵AB＝2BC＝2DFEF＝2∠DFE＝90°＋45°＝135°∴∵∠ABC＝∠DFE∴△ABC∽△DFE．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識(shí)解題的關(guān)鍵是理解題意靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．9．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖在梯形中E是的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）與有可能相似嗎？若相似請(qǐng)給出證明過(guò)程；若不相似請(qǐng)簡(jiǎn)述理由．【答案】（1）見解析；（2）相似理由見解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于F先證明四邊形ADCF是矩形得到AF=CD=1,AD=CFBF=AB-AF=1然后利用勾股定理求出即可得到再證明即可；（2）利用勾股定理求出,然后證明即可.【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于F∴∠A=∠CFA=∠CFB=90°∵AB∥CD∴∠A+∠D=180°∴∠D=90°∴四邊形ADCF是矩形∴AF=CD=1,AD=CF∴BF=AB-AF=1∴∵E是AD的中點(diǎn)∴∴∴又∵∠D=∠A=90°∴△CDE∽△EAB；（2）△CDE∽△CEB相似理由如下：∵,∴∴∴△CDE∽△CEB.【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定相似三角形的判定勾股定理平行的性質(zhì)解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.考點(diǎn)三三邊對(duì)應(yīng)成比例兩個(gè)三角形相似1．（2021·北京昌平·九年級(jí)期中）如圖在由邊長(zhǎng)均為1的小正方形組成的網(wǎng)格中有△ABC和△DEF．求證：△ABC∽△DEF．【答案】見解析【分析】分別求出兩個(gè)三角形的三邊根據(jù)三邊分別成比例的三角形相似即可判定．【詳解】解：∵在△ABC中AB=3BC=AC=在△DEF中DE=EF=2DF=∴∴

∴△ABC∽△DEF．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．2．（2022·陜西·西工大附中分校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖與的頂點(diǎn)均在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上．(1)判斷與是否相似并說(shuō)明理由；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）與相似利用勾股定理計(jì)算出、、、的長(zhǎng)利用三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似可證明結(jié)論成立；（2）連接AD求出即可得解．（1）解：（1）與相似．理由如下：∵∴∴；（2）解：連接AD如下圖∵由勾股定理得∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)利用勾股定理分別求出分別、、、的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．3．（2021·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件判斷與是否相似并說(shuō)明理由：（1）∠A=40°；（2）．【答案】（1）相似因?yàn)閮蛇叧杀壤龏A角相等；（2）相似因?yàn)槿叧杀壤痉治觥浚?）根據(jù)兩組邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等判定三角形相似的方法求解即可；（2）根據(jù)三組邊對(duì)應(yīng)成比例判定三角形相似的方法求解即可．【詳解】解：（1）∵∴又∵∴；（2）∵∴∴．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法：1.三組邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；兩組邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．4．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖中的兩個(gè)三角形是否相似？為什么？【答案】（1）相似因?yàn)槿叧杀壤?；?）相似因?yàn)閮蛇叧杀壤龏A角相等．【分析】（1）先標(biāo)字母再按大小順序?qū)?yīng)求出兩邊的比值根據(jù)相似三角形的判定定理進(jìn)行判斷即可；（2）先求兩對(duì)應(yīng)邊的比值可得兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角為對(duì)頂角根據(jù)相似三角形的判定定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：（1）相似理由如下：標(biāo)字母如圖∵∴∴∽；（2）相似理由如下：∵∴又∵∠ACB=∠ECD∴∽．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．5．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖每組中的兩個(gè)三角形是否相似？為什么？【答案】（1）不相似理由見解析；（2）相似理由見解析．【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：（1）不相似理由如下：∵∴∴與不相似；（2）相似理由如下：∵∴∴∽．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．6．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖在和中、分別是、上一點(diǎn)當(dāng)時(shí)求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)可得即可求證．【詳解】證明：∵∴∵∴∴．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定方法涉及了比例的性質(zhì)解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．7．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖△ABC與△DEF在5×7的長(zhǎng)方形網(wǎng)格中它們的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)位置試判斷△ABC與△DEF是否相似并說(shuō)明理由．【答案】△ABC△DEF理由見詳解【分析】先根據(jù)勾股定理求出三角形各邊長(zhǎng)從而得到兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)而即可得到結(jié)論．【詳解】解：△ABC△DEF理由如下：∵AB=AC=BC=5DE=1DF=EF=∴∴△ABC△DEF．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和勾股定理掌握對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似1．（2021·云南楚雄·九年級(jí)期中）如圖E、D是△ABC的邊AB、AC上一點(diǎn)請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件__________使得△ABC與△ADE相似．【答案】∠ADE=∠B或∠AED=∠C或【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法：兩角相等或者兩組對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等進(jìn)行解題即可．【詳解】解：如圖∵∴當(dāng)∠ADE=∠B或∠AED=∠C或時(shí)：△ABC∽△ADE；故答案為：∠ADE=∠B或∠AED=∠C或．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定方法．熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．2．（2022·黑龍江·肇源縣第四中學(xué)八年級(jí)期中）在△ABC和△DEF中AB=6BC=8DE=4∠B=∠E當(dāng)EF=_________時(shí)△ABC與△DEF相似.【答案】或3【分析】利用三角形相似的判定可以得到解答．【詳解】解：由題意可得：當(dāng)或時(shí)△ABC與△DEF相似∴或∴EF=或3故答案為或3．【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的應(yīng)用熟練掌握對(duì)應(yīng)線段成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似是解題關(guān)鍵．3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖已知＝若使△ABC∽△ADE成立_____（只添一種即可）．【答案】∠DAE=∠BAC（不唯一）【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理解答即可．【詳解】解：根據(jù)“兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”可得：∠DAE=∠BAC．故答案是∠DAE=∠BAC（不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定掌