【解析】（人教版）2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊21.1一元二次方程 同步分層訓(xùn)練（培優(yōu)卷）

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（人教版）2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊21.1一元二次方程同步分層訓(xùn)練（培優(yōu)卷）

一、選擇題

1．設(shè)a，b是方程的兩個實數(shù)根，則的值為（）

A．2024B．2023C．2023D．2022

2．（2023·來安模擬）已知，，若，則下列等式成立的是（）

A．B．C．D．

3．（2022·番禺模擬）如圖1，矩形ABCD中，點E為BC的中點，點P沿BC從點B運動到點C，設(shè)B，P兩點間的距離為x，PA﹣PE＝y(tǒng)，圖2是點P運動時y隨x變化的關(guān)系圖象，則BC的長為（）

A．4B．5C．6D．7

4．（2023九上·江岸月考）下列說法：

若一元二次方程

有一個根是

，則代數(shù)式

的值是

若

，則

是一元二次方程

的一個根

若

，則一元二次方程

有不相等的兩個實數(shù)根

當(dāng)m取整數(shù)

或1時，關(guān)于x的一元二次方程

與

的解都是整數(shù).其中正確的有()

A．1個B．2個C．3個D．4個

5．（2023·河北模擬）歐幾里得的《原本）記載，形如x2+ax=b2的方程的圖解法是：畫Rt△ABC，∠ACB=90°，BC=，AC=b,再在斜邊AB上截取BD=，則該方程的一個正根是（）

A．AC的長B．AD的長C．BC的長D．CD的長

6．（2023·深圳模擬）如圖，某校勞動實踐課程試驗園地是長為，寬為的矩形，為方便活動，需要在園地中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道．如果園地余下的面積為，則小道的寬為多少？設(shè)小道的寬為，根據(jù)題意，可列方程為（）

A．B．

C．D．

7．（2023·賀州模擬）如圖，某校生物興趣小組用長為18米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為11米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，為了方便出入，建造籬笆花圃時在邊留了寬為1米的兩個進(jìn)出口（不需材料），若花圃的面積剛好為40平方米，設(shè)的長為x米，則可列方程為（）

A．B．

C．D．

8．（2023·灞橋模擬）關(guān)于x的一元二次方程一個實數(shù)根為2022，則方程一定有實數(shù)根（）

A．2022B．C．2022D．

9．（2023·蘇州模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程（m，h，k均為常數(shù)且）的解是，，則關(guān)于x的一元二次方程的解是（）

A．，B．，

C．，D．，

10．（2023·婺城模擬）如果關(guān)于x的一元二次方程的一個解是x＝1，則代數(shù)式2022－a－b的值為（）

A．－2022B．2023C．2022D．2023

二、填空題

11．（2023九上·達(dá)拉特旗月考）等腰三角形的三邊的長是a、b、4，其中a、b是方程x2-6x+c=0兩個根，則此三角形的三邊長是．

12．（2023·邛崍模擬）若邊長為5的菱形的兩條對角線的長分別是關(guān)于x的一元二次方程兩根的2倍，則m的值為．

13．（2023九下·衡水期中）已知關(guān)于x的一元二次方程的兩根x1和x2，且，則k的值是.

14．（2023·河南模擬）若關(guān)于x的三個方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+（2m+1）x+m2=0，（m﹣1）x2+2mx+m﹣1=0中至少有一個方程有實根，則m的取值范圍是．

15．（2023八下·包河期中）關(guān)于x的方程（1-m2）x2+2mx-1=0的所有根都是比1小的正實數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是．

三、解答題

16．（2023九上·中山期末）已知關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2+2x+1﹣a2＝0有一個根為﹣1，求a的值．

17．（2023·北京）關(guān)于x的方程有實數(shù)根，且m為正整數(shù)，求m的值及此時方程的根．

18．（2023九上·丹陽月考）已知m是方程x2﹣x-2=0的一個根，求代數(shù)式的值.

19．（2023九上·犍為期末）已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣6x+m2﹣9＝0的常數(shù)項為0，求m的值及此方程的解.

四、綜合題

20．（2023九上·吉安期中）如圖，在△ABD中，AB=AD,AO平分∠BAD,過點D作AB的平行線交AO的延長線于點C,連接BC

（1）求證：四邊形ABCD是菱形．

（2）如果OA,OB(OA>OB)的長（單位：米）是一元二次方程的兩根，求AB的長以及菱形ABCD的面積．

（3）若動點M從A出發(fā)，沿AC以2m/S的速度勻速直線運動到點C,動點N從B出發(fā)，沿BD以1m/S的速度勻速直線運動到點D，當(dāng)M運動到C點時運動停止．若M、N同時出發(fā)，問出發(fā)幾秒鐘后，△MON的面積為？

21．（2023·南平模擬）已知m，n分別是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a與ax2+bx+c＝b的一個根，且m＝n+1．

（1）當(dāng)m＝2，a＝﹣1時，求b與c的值；

（2）用只含字母a，n的代數(shù)式表示b；

（3）當(dāng)a＜0時，函數(shù)y＝ax2+bx+c滿足b2﹣4ac＝a，b+c≥2a，n≤﹣，求a的取值范圍．

22．（2023·香洲模擬）小明解關(guān)于的一元二次方程時，在解答過程中寫錯了常數(shù)項，因而得到方程的兩個根是4和2．

（1）求的值；

（2）若菱形的對角線長是關(guān)于的一元二次方程的解，求菱形的面積．

23．（2023九下·牡丹開學(xué)考）

（1）已知m是方程x2-x-1=0的一個根，求m（m+1）2-m（m+3）+4的值；

（2）一次函數(shù)y=2x+2與反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象都經(jīng)過點A（1，m），y=2x+2的圖象與x軸交于點B。

①求點B的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；

②點C（0，-2），若四邊形ABCD是平行四邊形，請在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出ABCD，直接寫出點D的坐標(biāo)，并判斷D點是否在此反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由。

24．（2022八下·道外期末）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊、分別在x軸的正半軸、y軸的正半軸上，且、的長是方程的兩個根．

（1）如圖1，求點C坐標(biāo)；

（2）如圖2，點D在上，點E在的延長線上，且．連接，過點O作交于點G，垂足為點F．設(shè)長為m，點G的橫坐標(biāo)為n，求n與m的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量m的取值范圍）；

（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時，求直線的解析式．

答案解析部分

1．【答案】D

【知識點】一元二次方程的定義及相關(guān)的量；一元二次方程的根

【解析】【解答】∵a是方程x2+x-2023=0的實數(shù)根，

∴a2+a-2023=0，

∴a2=-a+2023，

∴a2+2a+b=-a+2023+2a+b=2023+a+b

∵a，b是方程x2+x-2023=0的兩個實數(shù)根，

∴a+b=-1，

∴a2+2a+b=2023+(-1)=2022

故答案選D。

【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到a2=-a+2023，則a2+2a+b可化為2023+a+b，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=-1，然后利用整體代入的方法計算。

2．【答案】B

【知識點】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵，，

∴，，

∴a、b相當(dāng)于是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，

∴，

故答案為：B．

【分析】先求出，，再求解即可。

3．【答案】C

【知識點】一元二次方程的根；一次函數(shù)的實際應(yīng)用；勾股定理的應(yīng)用；一次函數(shù)圖象、性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】由函數(shù)圖象知：當(dāng)x＝0，即P在B點時，BA﹣BE＝1．

利用三角形兩邊之差小于第三邊，得到PA﹣PE≤AE．

∴y的最大值為AE，

∴AE＝5．

在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，

設(shè)BE的長度為t，

則BA＝t+1，

∴（t+1）2+t2＝25，

即：t2+t﹣12＝0，

∴（t+4）（t﹣3）＝0，

由于t＞0，

∴t+4＞0，

∴t﹣3＝0，

∴t＝3．

∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．

故答案為：C．

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象知：當(dāng)x＝0，即P在B點時，BA﹣BE＝1．

利用三角形兩邊之差小于第三邊，得到PA﹣PE≤AE．

∴y的最大值為AE，(這是做題關(guān)鍵)

根據(jù)等量關(guān)系式寫出等量關(guān)系式：BA2+BE2＝AE2＝25，解得BE=3，BC=6

4．【答案】B

【知識點】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：①若一元二次方程x2+bx+a=0有一個根是-a（a≠0），則a2+b×（-a）+a=0

整理得出：a（a-b+1）=0，則代數(shù)式a-b=-1，正確；

②若a+b+c=0，則x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根，不正確；

③若b=2a+3c，那么△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=（2a+2c）2+5c2，

當(dāng)a≠0，c=-a時，△＞0；當(dāng)a≠0，c=0時，△＞0；當(dāng)a≠c≠0時，△＞0，

∴△＞0，正確；

④∵關(guān)于x的一元二次方程mx2-4x+4=0與x2-4mx+4m2-4m-5=0有解，

則m≠0，

∴△≥0

mx2-4x+4=0，

∴△=16-16m≥0，即m≤1；

x2-4mx+4m2-4m-5=0，

△=16m2-16m2+16m+20≥0，

∴4m+5≥0，m≥-

；

∴-

≤m≤1，而m是整數(shù)，

所以m=1，m=0（舍去），m=-1（一個為x2-4x+4=0，另一個為x2+4x+3=0，沖突，故舍去），

當(dāng)m=1時，mx2-4x+4=0即x2-4x+4=0，方程的解是x1=x2=2；

x2-4mx+4m2-4m-5=0即x2-4x-5=0，方程的解是x1=5，x2=-1；

當(dāng)m=0時，mx2-4x+4=0時，方程是-4x+4=0不是一元二次方程，故舍去.

故m=1，故不符合題意；

故正確的有2個，

故答案為：B.

【分析】①根據(jù)方程根的定義將x=a代入方程得出ab的值即可；

②利用a＋b＋c＝0，即x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一個根得出答案，③利用b＝2a＋3c，算出方程根的判別式的值，分析判別式的值得出即可；

④根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程mx2-4x+4=0與x2-4mx+4m2-4m-5=0有解，得出根與判別式△≥0，且m≠0，從而列出關(guān)于m不等式，求解求得m的范圍，再根據(jù)m是整數(shù)，即可得到m的可能取到的幾個值，然后對每個值進(jìn)行檢驗，是否符合使兩個一元二次方程的解都是整數(shù)即可確定m的值，綜上所述即可得出答案.

5．【答案】B

【知識點】一元二次方程的根；勾股定理

【解析】【解答】解：設(shè)AD=x，∴AB=x+

,

∵AC2+BC2=AB2，

∴b2+（

）2=(x+

)2,

整理得x2+ax=b2，

∴該方程的一個正根是AD的長.

故答案為：B.

【分析】設(shè)AD=x,可得AB=x+

,利用勾股定理可得出x2+ax=b2，據(jù)此判斷即可.

6．【答案】A

【知識點】矩形的性質(zhì)；列一元二次方程

【解析】【解答】解：∵小道的寬為x米，

∴種植部分可合成長為（20-2x）米，寬為（18-x）米的矩形，

∴根據(jù)題意，可列方程為：（20-2x)（18-x）=306，

故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意先求出種植部分可合成長為（20-2x）米，寬為（18-x）米的矩形，再列方程求解即可。

7．【答案】D

【知識點】列一元二次方程

【解析】【解答】解：∵AB的長為x米，

∴BC的長為(18-3x+2)=(20-3x)米.

∵花圃的面積剛好為40平方米，

∴x(20-3x)=40.

故答案為：D.

【分析】由題意可得BC的長為(20-3x)米，然后根據(jù)矩形的面積公式結(jié)合題意就可列出方程.

8．【答案】D

【知識點】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵2022是一元二次方程一個實數(shù)根，

∴，

兩邊同時除以得：，即：，

∴一定有實數(shù)根.

故答案為：D

【分析】將x=2022是代入方程中，可得，兩邊同時除以得，根據(jù)方程根的定義即得結(jié)論.

9．【答案】C

【知識點】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：方程、，均為常數(shù)且的解是，，

對于關(guān)于的一元二次方程的解，

即或，

即，，

關(guān)于的一元二次方程的解是，.

故答案為：C.

【分析】由題意可得：方程的解為x+1=2或x+1=5，求解即可.

10．【答案】D

【知識點】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程的一個解是x＝1，

∴，

∴，

∴，

故答案為：D.

【分析】根據(jù)方程解的概念可得a+b=-1，將待求式變形為2022-(a+b)，然后代入進(jìn)行計算.

11．【答案】2，4，4或3，3，4

【知識點】一元二次方程的根；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：是方程的兩個根，

，

由等腰三角形的定義，分以下三種情況：（1）若，這個三角形是等腰三角形，

則，

此時三角形的三邊長是，滿足三角形的三邊關(guān)系定理；（2）若，這個三角形是等腰三角形，

則，

此時三角形的三邊長是，滿足三角形的三邊關(guān)系定理；（3）若，這個三角形是等腰三角形，

則，

此時三角形的三邊長是，滿足三角形的三邊關(guān)系定理；

綜上，此三角形的三邊長是或，

故答案為：或．

【分析】先根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得a+b=6，再根據(jù)等腰三角形的定義、三角形的三邊關(guān)系求解即可。

12．【答案】-4

【知識點】菱形的判定與性質(zhì)；列一元二次方程

【解析】【解答】a+b＝﹣2m﹣1，ab＝m2﹣4．

∵2a、2b為邊長為5的菱形的兩條對角線的長，

∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣2m﹣1）2﹣2（m2﹣4）＝2m2+4m+9＝52＝25，

解得：m＝﹣4或m＝2．

∵a＞0，b＞0，

∴a+b＝﹣2m﹣1＞0，

∴m＝﹣4．

若邊長為5的菱形的兩條對角線的長分別為方程兩根的2倍，則m的值為﹣4，

故答案為：﹣4

【分析】設(shè)方程的兩根分別為a、b，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合菱形的性質(zhì)，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根據(jù)a+b＝﹣2m﹣1＞0，即可確定m的值．

13．【答案】或.

【知識點】一元二次方程的根

【解析】【解答】∵，∴或.

∵關(guān)于x的一元二次方程的兩根x1和x2，

∴若，則；

若，則方程有兩相等的實數(shù)根，

∴.

∴或.

故答案為：-2或-.

【分析】先由可得或，則需分兩種情況考慮，第一種x1=2，將x1=2代入方程得到關(guān)于k的方程，求解即可；第二種，則△=0，同樣得到關(guān)于k的方程，求解即可.

14．【答案】m≤﹣或m≥﹣

【知識點】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：設(shè)關(guān)于x的三個方程都沒有實根．

對于方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，則有△1＜0，即△1=16m2﹣4（4m2+2m+3）＜0，解得：m＞﹣；

對于方程x2+（2m+1）x+m2=0，則有△2＜0，即△2=（2m+1）2﹣4m2=4m+1＜0，解得：m＜﹣；

對于方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣1=0，當(dāng)m=1時，方程變?yōu)?x=0，方程有解，所以m≠1，則有△3＜0，即△3=4m2﹣4（m﹣1）2=8m+4＜0，解得：m＜．

綜合所得：當(dāng)﹣＜m＜﹣，且m≠1時，關(guān)于x的三個方程都沒有實根．

所以若關(guān)于x的三個方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+（2m+1）x+m2=0，（m﹣1）x2+2mx+m﹣1=0中至少有一個方程有實根，則m的取值范圍是m≤﹣或m≥﹣．

故答案為：m≤﹣或m≥﹣．

【分析】對于至少或至多的問題我們都從它們的反面來求解，所以先求得三個方程都沒有實根時m的取值范圍，那么m在這個范圍之外則為三個方程至少有一個實根時m的取值范圍.

15．【答案】m=1或m>2

【知識點】一元二次方程的定義及相關(guān)的量

【解析】【解答】①當(dāng)1-m2=0時，m=±1，

當(dāng)m=1，可得出2x-1=0，x=，符合題意，

當(dāng)m=-1，可得出-2x-1=0，x=，不符合題意，

②當(dāng)1-m2≠0時，

（1-m2）x2+2mx-1=0，可解出

x1=，x2=

根據(jù)題意可得出，

0＜＜1，解得m＞0，

0＜＜1，解得m＞2，

綜上，m=1或m＞2.

【分析】分別討論1-m2是否等于0的情況，根據(jù)根的條件，可解出m的取值范圍。

16．【答案】解：將x＝﹣1代入原方程，得（a+1）﹣2+1﹣a2＝0，

整理得：a2﹣a＝0，

即：a（a﹣1）＝0

解得：a＝0或a＝1．

【知識點】一元二次方程的根

【解析】【分析】根據(jù)題意求出（a+1）﹣2+1﹣a2＝0，再解方程求解即可。

17．【答案】解：∵關(guān)于x的方程x2-2x+2m-1=0有實數(shù)根，

∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0，

解得：m≤1，

∵m為正整數(shù)，

∴m=1，

∴此時二次方程為：x2-2x+1=0，

則（x-1）2=0，

解得：x1=x2=1．

【知識點】一元二次方程的根

【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程有實數(shù)根，根據(jù)求根公式即可得到m的范圍，求出方程的根即可。

18．【答案】解：∵m是方程x2-x-2=0的一個根，

∴m2-m-2=0，

∴m2-m=2，m2-2=m，

∴

=

把m2-m=2，m2-2=m代入

原式=2×(1+1)=4.

【知識點】分式的化簡求值；一元二次方程的根

【解析】【分析】把x=m代入方程中得到關(guān)于m的一元二次方程，由方程分別表示出m2-m和m2-2，分別代入所求的式子中即可求出值.

19．【答案】解：由題意，得m29＝0，且m3≠0，

解得m＝－3.

當(dāng)m＝－3時，代入（m﹣3）x2﹣6x+m2﹣9＝0，

得－6x2－6x＝0，

－6x（x＋1）＝0

解得x1＝0，x2＝1.

【知識點】一元二次方程的定義及相關(guān)的量

【解析】【分析】直接利用常數(shù)項為0，進(jìn)而得出關(guān)于m的等式，計算后可求出m的值，利用所求m的值則求出方程的解.

20．【答案】（1）證明：∵AO平分∠BAD，AB∥CD

∴∠DAC=∠BAC=∠DCA

∴△ACD是等腰三角形，AD=DC

又∵AB=AD

∴AB=CD，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

又∵AB=AD，∴ABCD是菱形

（2）解：解方程x2-7x+12=0，得

OA=4，OB=3，

利用勾股定理AB==5，

S菱形ABCD=AC×BD=×8×6=24平方米

（3）解：在第（2）問的條件下，設(shè)M、N同時出發(fā)x秒鐘后，△MON的面積為m2，

當(dāng)點M在OA上時，x≤2，S△MON=（4-2x）（3-x）=；

解得x1=，x2=（大于2，舍去）；

當(dāng)點M在OC上且點N在OB上時，2＜x＜3，S△MON=（3-x）（2x-4）=，

解得x1=x2=；

當(dāng)點M在OC上且點N在OD上時，即3≤x≤4，S△MON=（2x-4）（x-3）=；

解得x1=，x2=（小于3，舍去）．

綜上所述：M，N出發(fā)秒，秒，秒鐘后，△MON的面積為m2

【知識點】一元二次方程的根；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；菱形的性質(zhì)；菱形的判定

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”先判定平行四邊形，再用鄰邊相等證明菱形；（2）解方程可得OA、OB的長，用勾股定理可求AB，根據(jù)“菱形的面積對應(yīng)對角線積的一半”計算連線面積；（3）根據(jù)點M、N運動過程中與O點的位置關(guān)系，分三種情況分別討論．

21．【答案】（1）解：∵m＝2，且m＝n+1，

∴n＝1，

∵a＝﹣1，且m，n分別是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a與ax2+bx+c＝b的一個根，

∴，

解得：b＝1，c＝1

（2）解：∵m，n分別是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a與ax2+bx+c＝b的一個根，

∴am2+bm+c＝a，an2+bn+c＝b，

兩式相減得：a（m2﹣n2）+b（m﹣n）＝a﹣b，

∵m＝n+1，

∴b＝﹣na

（3）解：將b＝﹣an代入ax2+bx+c＝b得，

ax2﹣anx+c＝b，

∴an2﹣an2+c＝b，

∴b＝c＝﹣na，

∵b+c≥2a，

∴c≥a，

∴﹣na≥a，

當(dāng)a≤0時，n≥﹣1；

∴﹣1≤n≤﹣，

∵b2﹣4ac＝n2a2+4na2＝a，

∴＝（n+2）2﹣4，

∴﹣≤a≤﹣

【知識點】一元二次方程的根

【解析】【分析】（1）現(xiàn)根據(jù)已知條件求出n的值，然后再將m，n，a代入兩個方程建立關(guān)于b、c的二元一次方程組，解該方程組即可得b、c的值；

（2）將m，n分別代入兩個方程，兩式相減，即可得出結(jié)論。

22．【答案】（1）解：由題意得，設(shè)看錯的常數(shù)為，

，

∴．

（2）解：原方程為，

解方程得，．

由菱形面積公式可得：．

【知識點】一元二次方程的根；菱形的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）設(shè)看錯的常數(shù)為，列出方程組，解之即可；

（2）解方程得出x的值，即可求出菱形面積。

23．【答案】（1）解：∵m是方程x2-x-1=0的一個根，

∴m2-m=1，

∴m（m+1）-m（m+3）+4=-m+m+4=-（m-m-4）=3

（2）解：①在y=2x+2中令y=0，則x=-1，

∴B的坐標(biāo)是（-1，0），

∵A在直線y=2x+2上，

∴A的坐標(biāo)是（1，4）．

∵A（1，4）在反比例函數(shù)y=圖象上

∴k=4

∴反比例函數(shù)的解析式為：y=

②∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴D的坐標(biāo)是（2，2），

∴D（2，2）在反比例函數(shù)y=的圖象上。

【知識點】一元二次方程的根；平行線的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）由m是方程x-x-1=0的一個根，將x=m代入方程得到關(guān)于m的等式，變形后即可求出所求式子的值；（2）①在y=2x+2中令y=0，求得B的坐標(biāo)，然后求得A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式；

②根據(jù)平行線的性質(zhì)即可直接求得D的坐標(biāo)，然后代入反比例函數(shù)的解析式判斷即可。

24．【答案】（1）解：，

∴，

∴，

∴，

（2）解：延長交于H，

∵∠AFO=∠B=∠OAB=，

∴∠OAF+∠BAD=∠AOH+∠OAF=，

∴∠AOB=∠BAD，

∵OA=AB，

∴，

∴，又，

∴，

∴，

∴G為中點，

過E作交CO延長線于M，取中點N，連接，

∴是的中位線，

∴GNEM，即，

∵，

∴，

（3）解：∵，

設(shè)，

∴，

由（2）知，

∴，

∴，

∴，

連接，

，

，

∴解得，

∵，

∴，

∴，

中，，

∴，

∴；

設(shè)直線的解析式為，

∵，

∴，

∴，

∴直線解析式為：．

【知識點】一元二次方程的根；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；三角形全等的判定；三角形的中位線定理

【解析】【分析】（1）解方程得，即得點C坐標(biāo)；

（2）延長交于H，根據(jù)ASA證明△AOH≌△BAD，可得，又，再證，可得EG=GC，過E作交CO延長線于M，取中點N，連接，利用三角形中位線定理可得GNEM，即，由即得結(jié)論；

（3）由，可設(shè)，，可得，連接，根據(jù)可求出，即得AD=5，由勾股定理求出BD=5，從而求出CD=5，即得D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式即可.

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（人教版）2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊21.1一元二次方程同步分層訓(xùn)練（培優(yōu)卷）

一、選擇題

1．設(shè)a，b是方程的兩個實數(shù)根，則的值為（）

A．2024B．2023C．2023D．2022

【答案】D

【知識點】一元二次方程的定義及相關(guān)的量；一元二次方程的根

【解析】【解答】∵a是方程x2+x-2023=0的實數(shù)根，

∴a2+a-2023=0，

∴a2=-a+2023，

∴a2+2a+b=-a+2023+2a+b=2023+a+b

∵a，b是方程x2+x-2023=0的兩個實數(shù)根，

∴a+b=-1，

∴a2+2a+b=2023+(-1)=2022

故答案選D。

【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到a2=-a+2023，則a2+2a+b可化為2023+a+b，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=-1，然后利用整體代入的方法計算。

2．（2023·來安模擬）已知，，若，則下列等式成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵，，

∴，，

∴a、b相當(dāng)于是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，

∴，

故答案為：B．

【分析】先求出，，再求解即可。

3．（2022·番禺模擬）如圖1，矩形ABCD中，點E為BC的中點，點P沿BC從點B運動到點C，設(shè)B，P兩點間的距離為x，PA﹣PE＝y(tǒng)，圖2是點P運動時y隨x變化的關(guān)系圖象，則BC的長為（）

A．4B．5C．6D．7

【答案】C

【知識點】一元二次方程的根；一次函數(shù)的實際應(yīng)用；勾股定理的應(yīng)用；一次函數(shù)圖象、性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】由函數(shù)圖象知：當(dāng)x＝0，即P在B點時，BA﹣BE＝1．

利用三角形兩邊之差小于第三邊，得到PA﹣PE≤AE．

∴y的最大值為AE，

∴AE＝5．

在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，

設(shè)BE的長度為t，

則BA＝t+1，

∴（t+1）2+t2＝25，

即：t2+t﹣12＝0，

∴（t+4）（t﹣3）＝0，

由于t＞0，

∴t+4＞0，

∴t﹣3＝0，

∴t＝3．

∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．

故答案為：C．

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象知：當(dāng)x＝0，即P在B點時，BA﹣BE＝1．

利用三角形兩邊之差小于第三邊，得到PA﹣PE≤AE．

∴y的最大值為AE，(這是做題關(guān)鍵)

根據(jù)等量關(guān)系式寫出等量關(guān)系式：BA2+BE2＝AE2＝25，解得BE=3，BC=6

4．（2023九上·江岸月考）下列說法：

若一元二次方程

有一個根是

，則代數(shù)式

的值是

若

，則

是一元二次方程

的一個根

若

，則一元二次方程

有不相等的兩個實數(shù)根

當(dāng)m取整數(shù)

或1時，關(guān)于x的一元二次方程

與

的解都是整數(shù).其中正確的有()

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】B

【知識點】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：①若一元二次方程x2+bx+a=0有一個根是-a（a≠0），則a2+b×（-a）+a=0

整理得出：a（a-b+1）=0，則代數(shù)式a-b=-1，正確；

②若a+b+c=0，則x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根，不正確；

③若b=2a+3c，那么△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=（2a+2c）2+5c2，

當(dāng)a≠0，c=-a時，△＞0；當(dāng)a≠0，c=0時，△＞0；當(dāng)a≠c≠0時，△＞0，

∴△＞0，正確；

④∵關(guān)于x的一元二次方程mx2-4x+4=0與x2-4mx+4m2-4m-5=0有解，

則m≠0，

∴△≥0

mx2-4x+4=0，

∴△=16-16m≥0，即m≤1；

x2-4mx+4m2-4m-5=0，

△=16m2-16m2+16m+20≥0，

∴4m+5≥0，m≥-

；

∴-

≤m≤1，而m是整數(shù)，

所以m=1，m=0（舍去），m=-1（一個為x2-4x+4=0，另一個為x2+4x+3=0，沖突，故舍去），

當(dāng)m=1時，mx2-4x+4=0即x2-4x+4=0，方程的解是x1=x2=2；

x2-4mx+4m2-4m-5=0即x2-4x-5=0，方程的解是x1=5，x2=-1；

當(dāng)m=0時，mx2-4x+4=0時，方程是-4x+4=0不是一元二次方程，故舍去.

故m=1，故不符合題意；

故正確的有2個，

故答案為：B.

【分析】①根據(jù)方程根的定義將x=a代入方程得出ab的值即可；

②利用a＋b＋c＝0，即x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一個根得出答案，③利用b＝2a＋3c，算出方程根的判別式的值，分析判別式的值得出即可；

④根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程mx2-4x+4=0與x2-4mx+4m2-4m-5=0有解，得出根與判別式△≥0，且m≠0，從而列出關(guān)于m不等式，求解求得m的范圍，再根據(jù)m是整數(shù)，即可得到m的可能取到的幾個值，然后對每個值進(jìn)行檢驗，是否符合使兩個一元二次方程的解都是整數(shù)即可確定m的值，綜上所述即可得出答案.

5．（2023·河北模擬）歐幾里得的《原本）記載，形如x2+ax=b2的方程的圖解法是：畫Rt△ABC，∠ACB=90°，BC=，AC=b,再在斜邊AB上截取BD=，則該方程的一個正根是（）

A．AC的長B．AD的長C．BC的長D．CD的長

【答案】B

【知識點】一元二次方程的根；勾股定理

【解析】【解答】解：設(shè)AD=x，∴AB=x+

,

∵AC2+BC2=AB2，

∴b2+（

）2=(x+

)2,

整理得x2+ax=b2，

∴該方程的一個正根是AD的長.

故答案為：B.

【分析】設(shè)AD=x,可得AB=x+

,利用勾股定理可得出x2+ax=b2，據(jù)此判斷即可.

6．（2023·深圳模擬）如圖，某校勞動實踐課程試驗園地是長為，寬為的矩形，為方便活動，需要在園地中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道．如果園地余下的面積為，則小道的寬為多少？設(shè)小道的寬為，根據(jù)題意，可列方程為（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知識點】矩形的性質(zhì)；列一元二次方程

【解析】【解答】解：∵小道的寬為x米，

∴種植部分可合成長為（20-2x）米，寬為（18-x）米的矩形，

∴根據(jù)題意，可列方程為：（20-2x)（18-x）=306，

故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意先求出種植部分可合成長為（20-2x）米，寬為（18-x）米的矩形，再列方程求解即可。

7．（2023·賀州模擬）如圖，某校生物興趣小組用長為18米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為11米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，為了方便出入，建造籬笆花圃時在邊留了寬為1米的兩個進(jìn)出口（不需材料），若花圃的面積剛好為40平方米，設(shè)的長為x米，則可列方程為（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知識點】列一元二次方程

【解析】【解答】解：∵AB的長為x米，

∴BC的長為(18-3x+2)=(20-3x)米.

∵花圃的面積剛好為40平方米，

∴x(20-3x)=40.

故答案為：D.

【分析】由題意可得BC的長為(20-3x)米，然后根據(jù)矩形的面積公式結(jié)合題意就可列出方程.

8．（2023·灞橋模擬）關(guān)于x的一元二次方程一個實數(shù)根為2022，則方程一定有實數(shù)根（）

A．2022B．C．2022D．

【答案】D

【知識點】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵2022是一元二次方程一個實數(shù)根，

∴，

兩邊同時除以得：，即：，

∴一定有實數(shù)根.

故答案為：D

【分析】將x=2022是代入方程中，可得，兩邊同時除以得，根據(jù)方程根的定義即得結(jié)論.

9．（2023·蘇州模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程（m，h，k均為常數(shù)且）的解是，，則關(guān)于x的一元二次方程的解是（）

A．，B．，

C．，D．，

【答案】C

【知識點】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：方程、，均為常數(shù)且的解是，，

對于關(guān)于的一元二次方程的解，

即或，

即，，

關(guān)于的一元二次方程的解是，.

故答案為：C.

【分析】由題意可得：方程的解為x+1=2或x+1=5，求解即可.

10．（2023·婺城模擬）如果關(guān)于x的一元二次方程的一個解是x＝1，則代數(shù)式2022－a－b的值為（）

A．－2022B．2023C．2022D．2023

【答案】D

【知識點】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程的一個解是x＝1，

∴，

∴，

∴，

故答案為：D.

【分析】根據(jù)方程解的概念可得a+b=-1，將待求式變形為2022-(a+b)，然后代入進(jìn)行計算.

二、填空題

11．（2023九上·達(dá)拉特旗月考）等腰三角形的三邊的長是a、b、4，其中a、b是方程x2-6x+c=0兩個根，則此三角形的三邊長是．

【答案】2，4，4或3，3，4

【知識點】一元二次方程的根；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：是方程的兩個根，

，

由等腰三角形的定義，分以下三種情況：（1）若，這個三角形是等腰三角形，

則，

此時三角形的三邊長是，滿足三角形的三邊關(guān)系定理；（2）若，這個三角形是等腰三角形，

則，

此時三角形的三邊長是，滿足三角形的三邊關(guān)系定理；（3）若，這個三角形是等腰三角形，

則，

此時三角形的三邊長是，滿足三角形的三邊關(guān)系定理；

綜上，此三角形的三邊長是或，

故答案為：或．

【分析】先根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得a+b=6，再根據(jù)等腰三角形的定義、三角形的三邊關(guān)系求解即可。

12．（2023·邛崍模擬）若邊長為5的菱形的兩條對角線的長分別是關(guān)于x的一元二次方程兩根的2倍，則m的值為．

【答案】-4

【知識點】菱形的判定與性質(zhì)；列一元二次方程

【解析】【解答】a+b＝﹣2m﹣1，ab＝m2﹣4．

∵2a、2b為邊長為5的菱形的兩條對角線的長，

∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣2m﹣1）2﹣2（m2﹣4）＝2m2+4m+9＝52＝25，

解得：m＝﹣4或m＝2．

∵a＞0，b＞0，

∴a+b＝﹣2m﹣1＞0，

∴m＝﹣4．

若邊長為5的菱形的兩條對角線的長分別為方程兩根的2倍，則m的值為﹣4，

故答案為：﹣4

【分析】設(shè)方程的兩根分別為a、b，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合菱形的性質(zhì)，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根據(jù)a+b＝﹣2m﹣1＞0，即可確定m的值．

13．（2023九下·衡水期中）已知關(guān)于x的一元二次方程的兩根x1和x2，且，則k的值是.

【答案】或.

【知識點】一元二次方程的根

【解析】【解答】∵，∴或.

∵關(guān)于x的一元二次方程的兩根x1和x2，

∴若，則；

若，則方程有兩相等的實數(shù)根，

∴.

∴或.

故答案為：-2或-.

【分析】先由可得或，則需分兩種情況考慮，第一種x1=2，將x1=2代入方程得到關(guān)于k的方程，求解即可；第二種，則△=0，同樣得到關(guān)于k的方程，求解即可.

14．（2023·河南模擬）若關(guān)于x的三個方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+（2m+1）x+m2=0，（m﹣1）x2+2mx+m﹣1=0中至少有一個方程有實根，則m的取值范圍是．

【答案】m≤﹣或m≥﹣

【知識點】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：設(shè)關(guān)于x的三個方程都沒有實根．

對于方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，則有△1＜0，即△1=16m2﹣4（4m2+2m+3）＜0，解得：m＞﹣；

對于方程x2+（2m+1）x+m2=0，則有△2＜0，即△2=（2m+1）2﹣4m2=4m+1＜0，解得：m＜﹣；

對于方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣1=0，當(dāng)m=1時，方程變?yōu)?x=0，方程有解，所以m≠1，則有△3＜0，即△3=4m2﹣4（m﹣1）2=8m+4＜0，解得：m＜．

綜合所得：當(dāng)﹣＜m＜﹣，且m≠1時，關(guān)于x的三個方程都沒有實根．

所以若關(guān)于x的三個方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+（2m+1）x+m2=0，（m﹣1）x2+2mx+m﹣1=0中至少有一個方程有實根，則m的取值范圍是m≤﹣或m≥﹣．

故答案為：m≤﹣或m≥﹣．

【分析】對于至少或至多的問題我們都從它們的反面來求解，所以先求得三個方程都沒有實根時m的取值范圍，那么m在這個范圍之外則為三個方程至少有一個實根時m的取值范圍.

15．（2023八下·包河期中）關(guān)于x的方程（1-m2）x2+2mx-1=0的所有根都是比1小的正實數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是．

【答案】m=1或m>2

【知識點】一元二次方程的定義及相關(guān)的量

【解析】【解答】①當(dāng)1-m2=0時，m=±1，

當(dāng)m=1，可得出2x-1=0，x=，符合題意，

當(dāng)m=-1，可得出-2x-1=0，x=，不符合題意，

②當(dāng)1-m2≠0時，

（1-m2）x2+2mx-1=0，可解出

x1=，x2=

根據(jù)題意可得出，

0＜＜1，解得m＞0，

0＜＜1，解得m＞2，

綜上，m=1或m＞2.

【分析】分別討論1-m2是否等于0的情況，根據(jù)根的條件，可解出m的取值范圍。

三、解答題

16．（2023九上·中山期末）已知關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2+2x+1﹣a2＝0有一個根為﹣1，求a的值．

【答案】解：將x＝﹣1代入原方程，得（a+1）﹣2+1﹣a2＝0，

整理得：a2﹣a＝0，

即：a（a﹣1）＝0

解得：a＝0或a＝1．

【知識點】一元二次方程的根

【解析】【分析】根據(jù)題意求出（a+1）﹣2+1﹣a2＝0，再解方程求解即可。

17．（2023·北京）關(guān)于x的方程有實數(shù)根，且m為正整數(shù)，求m的值及此時方程的根．

【答案】解：∵關(guān)于x的方程x2-2x+2m-1=0有實數(shù)根，

∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0，

解得：m≤1，

∵m為正整數(shù)，

∴m=1，

∴此時二次方程為：x2-2x+1=0，

則（x-1）2=0，

解得：x1=x2=1．

【知識點】一元二次方程的根

【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程有實數(shù)根，根據(jù)求根公式即可得到m的范圍，求出方程的根即可。

18．（2023九上·丹陽月考）已知m是方程x2﹣x-2=0的一個根，求代數(shù)式的值.

【答案】解：∵m是方程x2-x-2=0的一個根，

∴m2-m-2=0，

∴m2-m=2，m2-2=m，

∴

=

把m2-m=2，m2-2=m代入

原式=2×(1+1)=4.

【知識點】分式的化簡求值；一元二次方程的根

【解析】【分析】把x=m代入方程中得到關(guān)于m的一元二次方程，由方程分別表示出m2-m和m2-2，分別代入所求的式子中即可求出值.

19．（2023九上·犍為期末）已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣6x+m2﹣9＝0的常數(shù)項為0，求m的值及此方程的解.

【答案】解：由題意，得m29＝0，且m3≠0，

解得m＝－3.

當(dāng)m＝－3時，代入（m﹣3）x2﹣6x+m2﹣9＝0，

得－6x2－6x＝0，

－6x（x＋1）＝0

解得x1＝0，x2＝1.

【知識點】一元二次方程的定義及相關(guān)的量

【解析】【分析】直接利用常數(shù)項為0，進(jìn)而得出關(guān)于m的等式，計算后可求出m的值，利用所求m的值則求出方程的解.

四、綜合題

20．（2023九上·吉安期中）如圖，在△ABD中，AB=AD,AO平分∠BAD,過點D作AB的平行線交AO的延長線于點C,連接BC

（1）求證：四邊形ABCD是菱形．

（2）如果OA,OB(OA>OB)的長（單位：米）是一元二次方程的兩根，求AB的長以及菱形ABCD的面積．

（3）若動點M從A出發(fā)，沿AC以2m/S的速度勻速直線運動到點C,動點N從B出發(fā)，沿BD以1m/S的速度勻速直線運動到點D，當(dāng)M運動到C點時運動停止．若M、N同時出發(fā)，問出發(fā)幾秒鐘后，△MON的面積為？

【答案】（1）證明：∵AO平分∠BAD，AB∥CD

∴∠DAC=∠BAC=∠DCA

∴△ACD是等腰三角形，AD=DC

又∵AB=AD

∴AB=CD，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

又∵AB=AD，∴ABCD是菱形

（2）解：解方程x2-7x+12=0，得

OA=4，OB=3，

利用勾股定理AB==5，

S菱形ABCD=AC×BD=×8×6=24平方米

（3）解：在第（2）問的條件下，設(shè)M、N同時出發(fā)x秒鐘后，△MON的面積為m2，

當(dāng)點M在OA上時，x≤2，S△MON=（4-2x）（3-x）=；

解得x1=，x2=（大于2，舍去）；

當(dāng)點M在OC上且點N在OB上時，2＜x＜3，S△MON=（3-x）（2x-4）=，

解得x1=x2=；

當(dāng)點M在OC上且點N在OD上時，即3≤x≤4，S△MON=（2x-4）（x-3）=；

解得x1=，x2=（小于3，舍去）．

綜上所述：M，N出發(fā)秒，秒，秒鐘后，△MON的面積為m2

【知識點】一元二次方程的根；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；菱形的性質(zhì)；菱形的判定

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”先判定平行四邊形，再用鄰邊相等證明菱形；（2）解方程可得OA、OB的長，用勾股定理可求AB，根據(jù)“菱形的面積對應(yīng)對角線積的一半”計算連線面積；（3）根據(jù)點M、N運動過程中與O點的位置關(guān)系，分三種情況分別討論．

21．（2023·南平模擬）已知m，n分別是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a與ax2+bx+c＝b的一個根，且m＝n+1．

（1）當(dāng)m＝2，a＝﹣1時，求b與c的值；

（2）用只含字母a，n的代數(shù)式表示b；

（3）當(dāng)a＜0時，函數(shù)y＝ax2+bx+c滿足b2﹣4ac＝a，b+c≥2a，n≤﹣，求a的取值范圍．

【答案】（1）解：∵m＝2，且m＝n+1，

∴n＝1，

∵a＝﹣1，且m，n分別是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a與ax2+bx+c＝b的一個根，

∴，

解得：b＝1，c＝1

（2）解：∵m，n分別是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a與ax2+bx+c＝b的一個根，

∴a