無(wú)窮級(jí)數(shù)-常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)（高等數(shù)學(xué)課件）

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與斂散性常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與斂散性

1.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念知識(shí)點(diǎn)講解2.

典型例題講解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念引例

用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正邊形，設(shè)表示內(nèi)接正三角形面積,表示邊數(shù)增加時(shí)增加的面積，

則圓內(nèi)接正邊形面積為當(dāng)

時(shí)，這個(gè)和逼近于圓的面積

.即常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念定義1給定數(shù)列稱無(wú)限和為常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)，或無(wú)窮級(jí)數(shù).稱為級(jí)數(shù)的部分和.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念定義2

若級(jí)數(shù)的部分和極限存在，即若不存在，則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散.則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，記為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念定理若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則稱差值為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂于,典型例題講解例1

判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂.解故級(jí)數(shù)收斂，且和為1.典型例題講解(1)當(dāng)時(shí)，(2)當(dāng)時(shí)，不存在，此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；例2

討論等比級(jí)數(shù)(也叫幾何級(jí)數(shù))的斂散性.解當(dāng)時(shí)，此時(shí)級(jí)數(shù)收斂，且和為典型例題講解此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.(3)當(dāng)時(shí)，不存在，此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；(4)當(dāng)時(shí)，不存在，課程小結(jié)1.介紹了常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及斂散性

2.兩種常見級(jí)數(shù)的斂散性

無(wú)窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與斂散性

1.無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)講解

2.典型例題講解無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)性質(zhì)1證明

令則說(shuō)明級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變.

若級(jí)數(shù)收斂于是任意常數(shù)，則也是收斂的，其和為無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)性質(zhì)2

若有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)證明

令則級(jí)數(shù)也收斂，其和為這說(shuō)明級(jí)數(shù)也收斂，其和為級(jí)數(shù)的性質(zhì)級(jí)數(shù)

收斂的充要條件是：推論1

若級(jí)數(shù)收斂，則

級(jí)數(shù)的柯西收斂準(zhǔn)則無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)（2）若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散，則它們的和、差必發(fā)散；（1）收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加減；（3）若兩級(jí)數(shù)都發(fā)散，它們的和、差不一定發(fā)散.

例如，取此時(shí)收斂；取此時(shí)發(fā)散.性質(zhì)2表明無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)推論2

若加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.

性質(zhì)3

在級(jí)數(shù)前面加上或減去有限項(xiàng)，不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.

性質(zhì)4

收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù).

典型例題講解證明

因?yàn)?/p>

所以級(jí)數(shù)是發(fā)散的.例1

證明級(jí)數(shù)

是發(fā)散的.典型例題講解例2

證明調(diào)和級(jí)數(shù)

是發(fā)散的.證明

因?yàn)?/p>

由推論1無(wú)法判斷級(jí)數(shù)是發(fā)散的.在柯西收斂準(zhǔn)則中，取

所以調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的.

典型例題講解例3

判斷級(jí)數(shù)

是否收斂；若收斂，求其和.解

因?yàn)榧?jí)數(shù)