生物統(tǒng)計(jì)附試驗(yàn)設(shè)計(jì)第九章協(xié)方差分析課件

第九章協(xié)方差分析

第一節(jié)協(xié)方差分析的意義第九章協(xié)方差分析第一節(jié)協(xié)方差分析的意義

生物試驗(yàn)?zāi)康氖球?yàn)證處理效應(yīng)是否真實(shí)存在，所以應(yīng)對(duì)試驗(yàn)誤差進(jìn)行控制，并對(duì)變異來(lái)源進(jìn)行刨析。其中試驗(yàn)條件的影響是最大因素。協(xié)方差分析有二個(gè)意義，一是對(duì)試驗(yàn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制，二是對(duì)協(xié)方差組分進(jìn)行估計(jì)。生物試驗(yàn)?zāi)康氖球?yàn)證處理效應(yīng)是否真實(shí)存在，所以應(yīng)對(duì)一、對(duì)試驗(yàn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制

為了提高試驗(yàn)的精確性和準(zhǔn)確性，對(duì)處理以外的一切條件都需要采取有效措施嚴(yán)加控制，使它們?cè)诟魈幚黹g盡量一致，這叫試驗(yàn)控制。但在有些情況下，即使作出很大努力也難以使試驗(yàn)控制達(dá)到預(yù)期目的。例如：研究幾種配合飼料對(duì)豬的增重效果，希望試驗(yàn)仔豬的初始重相同，因?yàn)樽胸i的初始重不同，將影響到豬的增重。一、對(duì)試驗(yàn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制研究發(fā)現(xiàn)：增重與初始重之間存在線性回歸關(guān)系。但是，在實(shí)際試驗(yàn)中很難滿足試驗(yàn)仔豬初始重相同這一要求。這時(shí)可利用仔豬的初始重（記為x）與其增重（記為y）的回歸關(guān)系，將仔豬增重都矯正為初始重相同時(shí)的增重，于是初始重不同對(duì)仔豬增重的影響就消除了。由于矯正后的增重是應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法將初始重控制一致而得到的，故叫統(tǒng)計(jì)控制。統(tǒng)計(jì)控制是試驗(yàn)控制的一種輔助手段。經(jīng)過(guò)這種矯正，試驗(yàn)誤差將減小，對(duì)試驗(yàn)處理效應(yīng)估計(jì)更為準(zhǔn)確。

研究發(fā)現(xiàn)：增重與初始重之間存在線性回歸關(guān)系。但是，在實(shí)際試驗(yàn)若y的變異主要由x的不同造成（處理沒(méi)有顯著效應(yīng)），則各矯正后的間將沒(méi)有顯著差異。若y的變異除掉x不同的影響外，尚存在不同處理的顯著效應(yīng)，則可期望各間將有顯著。此外，矯正后的和原y的大小次序也常不一致。所以，處理平均數(shù)的回歸矯正和矯正平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，能夠提高試驗(yàn)的準(zhǔn)確性和精確性，從而更真實(shí)地反映試驗(yàn)實(shí)際。這種將回歸分析與方差分析結(jié)合在一起，對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的方法，叫做協(xié)方差分析（analysisofcovariance）。若y的變異主要由x的不同造成（處理沒(méi)有顯著效應(yīng)），則各矯二、估計(jì)協(xié)方差組分

前章曾介紹過(guò)表示兩個(gè)相關(guān)變量線性相關(guān)性質(zhì)與程度的相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式：若將公式右端的分子分母同除以自由度（n-1），得（10-1）二、估計(jì)協(xié)方差組分右端除以（n-1）后

其中是x的均方MSx，它是x的方差的無(wú)偏估計(jì)量；是y的均方MSy，它是y的方差的無(wú)偏估計(jì)量；

右端除以（n-1）后

稱為x與y的平均的離均差的乘積和，簡(jiǎn)稱均積，記為MPxy，即

（10-2）稱為x與y的平均的

與均積相應(yīng)的總體參數(shù)叫協(xié)方差（covariance），記為COV（x,y）或。統(tǒng)計(jì)學(xué)證明了，均積MPxy是總體協(xié)方差COV（x,y）的無(wú)偏估計(jì)量，即EMPxy=COV（x,y）。于是，樣本相關(guān)系數(shù)r可用均方MSx、MSy，均積MPxy表示為：

（10-3）

相應(yīng)的總體相關(guān)系數(shù)ρ可用x與y的總體標(biāo)準(zhǔn)差、，總體協(xié)方差COV（x,y）或表示如下：

（10-4）相應(yīng)的總體相關(guān)系數(shù)ρ可用x與y的總體標(biāo)準(zhǔn)差均積與均方具有相似的形式，也有相似的性質(zhì)。在方差分析中，一個(gè)變量的總平方和與自由度可按變異來(lái)源進(jìn)行剖分，從而求得相應(yīng)的均方。統(tǒng)計(jì)學(xué)已證明：兩個(gè)變量的總乘積和與自由度也可按變異來(lái)源進(jìn)行剖分而獲得相應(yīng)的均積。這種把兩個(gè)變量的總乘積和與自由度按變異來(lái)源進(jìn)行剖分并獲得獲得相應(yīng)均積的方法亦稱為協(xié)方差分析。均積與均方具有相似的形式，也有相似的性質(zhì)。在方差分析中，

在隨機(jī)模型的方差分析中，根據(jù)均方MS和期望均方EMS的關(guān)系，可以得到不同變異來(lái)源的方差組分的估計(jì)值。同樣，在隨機(jī)模型的協(xié)方差分析中，根據(jù)均積MP和期望均積EMP

的關(guān)系，可得到不同變異來(lái)源的協(xié)方差組分的估計(jì)值。有了這些估計(jì)值，就可進(jìn)行相應(yīng)的總體相關(guān)分析。這些分析在遺傳、育種和生態(tài)、環(huán)保的研究上是很有用處的。在隨機(jī)模型的方差分析中，根據(jù)均方MS和期望均方第二節(jié)單因素試驗(yàn)資料的協(xié)方差分析

設(shè)有k個(gè)處理、n次重復(fù)的雙變量試驗(yàn)資料，每處理組內(nèi)皆有n對(duì)觀測(cè)值x、y，則該資料為具kn對(duì)x、y觀測(cè)值的單向分組資料，其數(shù)據(jù)一般模式如表10-1所示。第二節(jié)單因素試驗(yàn)資料的協(xié)方差分析設(shè)有k

表10-1kn對(duì)觀測(cè)值x、y的單向分組資料的一般形式表10-1kn對(duì)觀測(cè)值x、y的單向分組資料的

表10-1中的x和y變量的自由度和平方和的剖分參見(jiàn)單因素試驗(yàn)資料的方差分析方法一節(jié)。其乘積和的剖分則為：

總變異的乘積和SPT是xji與和yji與的離均差乘積之和，即：

（10-5）

=kn-1表10-1中的x和y變量的自由度和平方和的剖分參其中，其中，

處理間的乘積和SPt是與和與的離均差乘積之和乘以n，即：

處理內(nèi)的乘積和SPe是與和與的離均差乘積之和，即：

（10-7）

（10-6）=k（n-1）

處理間的乘積和SPt是與以上是各處理重復(fù)數(shù)n相等時(shí)的計(jì)算公式，若各處理重復(fù)數(shù)n不相等，分別為n1、n2、…、nk，其和為，則各項(xiàng)乘積和與自由度的計(jì)算公式為：（10-8）

以上是各處理重復(fù)數(shù)n相等時(shí)的計(jì)算公式，若各處=SPT-SPt

=-k=dfT-dft

（10-9）

有了上述SP和df，再加上x(chóng)和y的相應(yīng)SS，就可進(jìn)行協(xié)方差分析。有了上述SP和df，再加上x(chóng)和y的相應(yīng)SS【例10.1】為了尋找一種較好的哺乳仔豬食欲增進(jìn)劑，以增進(jìn)食欲，提高斷奶重，對(duì)哺乳仔豬做了以下試驗(yàn)：試驗(yàn)設(shè)對(duì)照、配方1、配方2、配方3共四個(gè)處理，重復(fù)12次，選擇初始條件盡量相近的長(zhǎng)白種母豬的哺乳仔豬48頭，完全隨機(jī)分為4組進(jìn)行試驗(yàn)，結(jié)果見(jiàn)表10-2，試作分析?！纠?0.1】為了尋找一種較好的哺乳仔豬食欲增進(jìn)劑，以增

表10-2不同食欲增進(jìn)劑仔豬生長(zhǎng)情況表（單位：kg）表10-2不同食欲增進(jìn)劑仔豬生長(zhǎng)情況表（單位：kg

此例，

=18.25+15.40+15.65+13.85=63.15=141.80+130.10+144.80+133.80=550.50

k=4，n=12，kn=4×12=48

此例，

協(xié)方差分析的計(jì)算步驟如下：（一）求x變量的各項(xiàng)平方和與自由度

1、總平方和與自由度

dfT（x）=kn-1=4×12-1=47

協(xié)方差分析的計(jì)算步驟如下：2、處理間平方和與自由度=k-1=4-1=33、處理內(nèi)平方和與自由度2、處理間平方和與自由度=k-1=4-1=33、處理內(nèi)平方

（二）求y變量各項(xiàng)平方和與自由度

1、總平方和與自由度（二）求y變量各項(xiàng)平方和與自由度2、處理間平方和與自由度

3、處理內(nèi)平方和與自由度

2、處理間平方和與自由度（三）

求x和y兩變量的各項(xiàng)離均差乘積和與自由度

1、總乘積和與自由度=kn-1=4×12-1=47（三）求x和y兩變量的各項(xiàng)離均差乘積和與自由度=kn-1

2、處理間乘積和與自由度=1.64=k-1=4-1=33、處理內(nèi)乘積和與自由度2、處理間乘積和與自由度=k-1=4-1=33、處理平方和、乘積和與自由度的計(jì)算結(jié)果列于表10-3。

表10-3x與y的平方和與乘積和表平方和、乘積和與自由度的計(jì)算結(jié)果列于表10

（四）

對(duì)x和y各作方差分析（表10-4）表10-4初生重與50日齡重的方差分析表

分析結(jié)果表明，4種處理的供試仔豬平均初生重間存在著極顯著的差異，其50日齡平均重差異不顯著。須進(jìn)行協(xié)方差分析，以消除初生重不同對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響，減小試驗(yàn)誤差，揭示出可能被掩蓋的處理間差異的顯著性。（四）對(duì)x和y各作方差分析（表10-4）表

1、誤差項(xiàng)回歸關(guān)系的分析

誤差項(xiàng)回歸關(guān)系分析的意義是要從剔除處理間差異的影響的誤差變異中找出50日齡重（y）與初生重（x）之間是否存在線性回歸關(guān)系。計(jì)算出誤差項(xiàng)的回歸系數(shù)并對(duì)線性回歸關(guān)系進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，若顯著則說(shuō)明兩者間存在回歸關(guān)系。這時(shí)就可應(yīng)用線性回歸關(guān)系來(lái)校正y值（50日齡重）以消去仔豬初生重（x）不同對(duì)它的影響。然后根據(jù)校正后的y值（校正50日齡重）來(lái)進(jìn)行方差分析。如線性回歸關(guān)系不顯著，則無(wú)需繼續(xù)進(jìn)行分析。（五）協(xié)方差分析1、誤差項(xiàng)回歸關(guān)系的分析（五）協(xié)方差分析

回歸分析的步驟如下：

（1）

計(jì)算誤差項(xiàng)回歸系數(shù)，回歸平方和，離回歸平方和與相應(yīng)的自由度從誤差項(xiàng)的平方和與乘積和求誤差項(xiàng)回歸系數(shù)：

（10-10）

誤差項(xiàng)回歸平方和與自由度

（10-11）

dfR（e）=1

誤差項(xiàng)離回歸平方和與自由度

=85.08-47.49=37.59

（10-12）回歸分析的步驟如下：誤差項(xiàng)離回歸平方（2）

檢驗(yàn)回歸關(guān)系的顯著性（表10-5）表10-5哺乳仔豬50日齡重與初生重的回歸關(guān)系顯著性檢驗(yàn)表F檢驗(yàn)表明，誤差項(xiàng)回歸關(guān)系極顯著，表明哺乳仔豬50日齡重與初生重間存在極顯著的線性回歸關(guān)系。因此，可以利用線性回歸關(guān)系來(lái)校正y，并對(duì)校正后的y進(jìn)行方差分析。（2）檢驗(yàn)回歸關(guān)系的顯著性（表10-5）表10-5哺乳2、對(duì)校正后的50日齡重作方差分析（1）求校正后的50日齡重的各項(xiàng)平方和及自由度利用線性回歸關(guān)系對(duì)50日齡重作校正，并由校正后的50日齡重計(jì)算各項(xiàng)平方和是相當(dāng)麻煩的，統(tǒng)計(jì)學(xué)已證明，校正后的總平方和、誤差平方和及自由度等于其相應(yīng)變異項(xiàng)的離回歸平方和及自由度，因此，其各項(xiàng)平方和及自由度可直接由下述公式計(jì)算。2、對(duì)校正后的50日齡重作方差分析①校正50日齡重的總平方和與自由度，即總離回歸平方和與自由度

（10-13）

=-=47-1=46②校正50日齡重的誤差項(xiàng)平方和與自由度，即誤差離回歸平方和與自由度

（10-14）

=-=44-1=43上述回歸自由度均為1，因僅有一個(gè)自變量x。①校正50日齡重的總平方和與自由度，即總離回歸③校正50日齡重的處理間平方和與自由度

=57.87-37.59=20.28（10-15）=k-1=4-1=3

（2）

列出協(xié)方差分析表，對(duì)校正后的50日齡重進(jìn)行方差分析（表10-6）表10-6表10-2資料的協(xié)方差分析表③校正50日齡重的處理間平方和與自由度表10-查F值：=4.275（由線性內(nèi)插法計(jì)算），由于F=7.63＞，P＜0.01，表明對(duì)于校正后的50日齡重不同食欲添加劑配方間存在極顯著的差異。故須進(jìn)一步檢驗(yàn)不同處理間的差異顯著性，即進(jìn)行多重比較。表10-6表10-2資料的協(xié)方差分析表查F值：=4.

3、根據(jù)線性回歸關(guān)系計(jì)算各處理的校正50日齡平均重誤差項(xiàng)的回歸系數(shù)表示初生重對(duì)50日齡重影響的性質(zhì)和程度，且不包含處理間差異的影響，于是可用根據(jù)平均初生重的不同來(lái)校正每一處理的50日齡平均重。校正50日齡平均重計(jì)算公式如下：（10-16）

3、根據(jù)線性回歸關(guān)系計(jì)算各處理的校正50日齡平均

公式中：為第i處理校正50日齡平均重；為第i處理實(shí)際50日齡平均重（見(jiàn)表10-2）；為第i處理實(shí)際平均初生重（見(jiàn)表10-2）；為全試驗(yàn)的平均數(shù)，為誤差回歸系數(shù)，=7.1848

將所需要的各數(shù)值代入（10-16）式中，即可計(jì)算出各處理的校正50日齡平均重（見(jiàn)表10-7）。公式中：

表10-7各處理的校正50日齡平均重計(jì)算表表10-7各處理的校正50日齡平均重計(jì)算表4、各處理校正50日齡平均重間的多重比較各處理校正50日齡平均重間的多重比較，即各種食欲添加劑的效果比較。

（1）

t檢驗(yàn)檢驗(yàn)兩個(gè)處理校正平均數(shù)間的差異顯著性，可應(yīng)用t檢驗(yàn)法：

（10-17）

（10-18）

4、各處理校正50日齡平均重間的多重比較

式中，為兩個(gè)處理校正平均數(shù)間的差異；為兩個(gè)處理校正平均數(shù)差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤；為誤差離回歸均方；

n

為各處理的重復(fù)數(shù)；為處理i的x變量的平均數(shù)；為處理j的x變量的平均數(shù)；

SSe（x）為x變量的誤差平方和

式中，為兩個(gè)處理校正平均數(shù)

=10.3514-12.0758=-1.7244=37.59/43=0.8742n=12=1.52,=1.28,SSe（x）=0.92將上面各數(shù)值代入（10-18）式得：

于是例如，檢驗(yàn)食欲添加劑配方1與對(duì)照校正50日齡平均重間的差異顯著性：=10.3514

查t值表，當(dāng)自由度為43時(shí)（見(jiàn)表10-6誤差自由度），t0.01（43）=2.70（利用線性內(nèi)插法計(jì)算），|t|＞t0.01（43），P＜0.01，表明對(duì)照與食欲添加劑1號(hào)配方校正50日齡平均重間存在著極顯著的差異，這里表現(xiàn)為1號(hào)配方的校正50日齡平均重極顯著高于對(duì)照。其余的每?jī)商幚黹g的比較都須另行算出，再進(jìn)行t檢驗(yàn)。查t值表，當(dāng)自由度為43時(shí)（見(jiàn)表10-6誤差自

（2）最小顯著差數(shù)法（LSD法）

利用t檢驗(yàn)法進(jìn)行多重比較，每一次比較都要算出各自的，比較麻煩。當(dāng)誤差項(xiàng)自由度在20以上，x變量的變異不甚大（即x變量各處理平均數(shù)間差異不顯著），為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，可計(jì)算一個(gè)平均的采用最小顯著差數(shù)法進(jìn)行多重比較。計(jì)算公式如下：（2）最小顯著差數(shù)法（LSD法）

（10-19）

公式中SSt（x）為x變量的處理間平方和。然后按誤差自由度查臨界t值，計(jì)算出最小顯著差數(shù)：（10-20）

本例x變量處理平均數(shù)間差異極顯著，不滿足“x變量的變異不甚大”這一條件，不應(yīng)采用此法，此處所介紹的最小顯著差數(shù)法進(jìn)行多重比較。為了便于讀者熟悉該方法，仍以本例的數(shù)據(jù)說(shuō)明之。此時(shí)由=43,查臨界t值得：

t0.05（43）=2.017，t0.01（43）=2.70于是LSD0.05=2.017×0.4353=0.8LSD0.01