曲面積分習(xí)題課課件

曲面積分習(xí)題課曲面積分習(xí)題課1則如果曲面方程為以下三種：則第一類曲面積分1.基本計算公式則如果曲面方程為以下三種：則第一類曲面積分1.基本計算2則計算的關(guān)鍵是看所給曲面方程的形式?。?！則計算的關(guān)鍵是看所給曲面方程的形式?。?！3

?若則有?若則有(前正后負(fù))(右正左負(fù))若注意:對坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).(上正下負(fù))則有第二類曲面積分?若則有?若則有(前正后負(fù))(右正左負(fù))若注意:對坐標(biāo)4兩類關(guān)系兩類關(guān)系5向量點積法兩類關(guān)系公式的另一種表達(dá)形式向量點積法兩類關(guān)系公式的另一種表達(dá)形式6向量點積法向量點積法7向量點積法向量點積法8一、高斯公式定理一、高斯公式定理9設(shè)向量場P,Q,R,在域G內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則向量場通過有向曲面的通量為2.通量與散度G內(nèi)任意點處的散度為設(shè)向量場P,Q,R,在域G內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則10斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式11斯托克斯(Stokes)公式

斯托克斯(Stokes)公式122.旋度2.旋度132.基本技巧(1)利用對稱性及重心公式簡化計算(2)利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)(3)兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化2.基本技巧(1)利用對稱性及重心公式簡化計算(2)利14解：由于關(guān)于變量x,y輪換對稱性例1解：由于關(guān)于變量x,y輪換對稱性例115解由點到平面的距離公式,得例2解由點到平面的距離公式,得例216得得17曲面積分習(xí)題課ppt課件18解：利用奇偶對稱性例3解：利用奇偶對稱性例319例4解利用向量點積法法1：例4解利用向量點積法法1：20曲面積分習(xí)題課ppt課件21用高斯公式.補面：取下面，取上面。則構(gòu)成封閉曲面，且取外側(cè)。計算由高斯公式法2：用高斯公式.補面：22曲面積分習(xí)題課ppt課件23注意：若用柱面坐標(biāo)計算三重積分，要分區(qū)域考慮。注意：若用柱面坐標(biāo)計算三重積分，要分區(qū)域考慮。24例5解利用兩類曲面積分之間的關(guān)系上側(cè).例5解利用兩類曲面積分之間的關(guān)系上側(cè).25曲面積分習(xí)題課ppt課件26其中的上側(cè).且取下側(cè),提示:以半球底面原式=記半球域為,高斯公式有計算為輔助面,利用為半球面例6其中的上側(cè).且取下側(cè),提示:以半球底面原式=記半27例7.證明:設(shè)(常向量)則單位外法向向量,試證設(shè)為簡單閉曲面,a

為任意固定向量,n為的例7.證明:設(shè)(常向量)則單位外法向向量,試證設(shè)28例8.計算曲面積分其中,解:引申:1.本題改為橢球面時,應(yīng)如何計算?應(yīng)如何計算?2.若本題改為不經(jīng)過原點的任意閉曲面的外側(cè)，例8.計算曲面積分其中,解:引申:1.本題改為橢球29:計算：其中：引申:1:計算：其中：引申:130然后用高斯公式.然后用高斯公式.31引申:2分兩種情形情形1：不包圍原點的任意閉曲面。情形2：包圍原點的任意閉曲面。問題轉(zhuǎn)化為與引申1類似的情形。引申:2分兩種情形情形1：不包圍原點的任意閉曲面。情形32例9.設(shè)是曲面解:取足夠小的正數(shù),

作曲面取下側(cè)

使其包在內(nèi),為xoy平面上夾于之間的部分,且取下側(cè),取上側(cè),計算則例9.設(shè)是曲面解:取足夠小的正數(shù),作曲面取下側(cè)33第二項添加輔助面,再用高斯公式計算,得第二項添加輔助面,再用高斯公式34例10.計算曲面積分中是球面解:利用對稱性用重心公式(曲面關(guān)于xoz面對稱）例10.計算曲面積分中是球面解:利用對稱性用重心公35例11.設(shè)L是平面與柱面的交線從z軸正向看去,L為逆時針方向,計算解:記為平面上

L所圍部分的上側(cè),D為在xoy面上的投影.由斯托克斯公式例11.