概率2-4隨機變量函數的分布課件

第四節(jié)連續(xù)型隨機變量及其概率密度連續(xù)型隨機變量及其概率密度的定義概率密度的性質三種重要的連續(xù)型隨機變量小結布置作業(yè)第四節(jié)連續(xù)型隨機變量及其概率密度連續(xù)型隨機變量及其概率

連續(xù)型隨機變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間,對這種類型的隨機變量,不能象離散型隨機變量那樣,以指定它取每個值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過給出所謂“概率密度函數”的方式.

下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機變量的描述方法.連續(xù)型隨機變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間,則稱X為連續(xù)型隨機變量,稱f(x)

為X的概率密度函數，簡稱為概率密度.一、連續(xù)型隨機變量及其概率密度的定義有,使得對任意實數

,

對于隨機變量X,如果存在非負可積函數f(x),

連續(xù)型隨機變量的分布函數在上連續(xù)則稱X為連續(xù)型隨機變量,稱f(x)為X的概率二、概率密度的性質1o2of(x)xo面積為1這兩條性質是判定一個函數f(x)是否為某r.vX的概率密度的充要條件二、概率密度的性質1o2of(x)xo面積為1這兩條利用概率密度可確定隨機點落在某個范圍內的概率對于任意實數x1,x2,(x1<x2),

若f(x)在點x

處連續(xù),則有利用概率密度可確對于任意實數x1,x2,(x1<

故

X的密度f(x)

在x

這一點的值，恰好是X落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長度之比的極限.這里，如果把概率理解為質量，f(x)相當于線密度.

若x是f(x)的連續(xù)點，則對f(x)的進一步理解:故X的密度f(x)在x這一點的值，若不計高階無窮小，有表示隨機變量X

取值于的概率近似等于.在連續(xù)型r.v理論中所起的作用與在離散型r.v理論中所起的作用相類似.若不計高階無窮小，有表示隨機變量X取值于

要注意的是，密度函數f(x)在某點處a的高度，并不反映X取值的概率.但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度.f(x)xoa要注意的是，密度函數f(x)在某點處a(1)連續(xù)型r.v取任一指定實數值a的概率均為0.即這是因為請注意:當時得到(1)連續(xù)型r.v取任一指定實數值a的概率均為0.即(2)對連續(xù)型r.vX,有由P(B)=1,不能推出B=由P(A)=0,不能推出(2)對連續(xù)型r.vX,有由P(B)=1,不概率2-4隨機變量函數的分布ppt課件概率2-4隨機變量函數的分布ppt課件概率2-4隨機變量函數的分布ppt課件概率2-4隨機變量函數的分布ppt課件1.均勻分布則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，X

～U(a,b)三、三種重要的連續(xù)型隨機變量若r.vX的概率密度為：記作1.均勻分布則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，X概率2-4隨機變量函數的分布ppt課件

公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間等.均勻分布常見于下列情形：

如在數值計算中，由于四舍五入，小數點后某一位小數引入的誤差；公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的

例2

某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等時刻有汽車到達此站，如果乘客到達此站時間X

是7:00到7:30之間的均勻隨機變量,試求他候車時間少于5分鐘的概率.解依題意，

X

～U(0,30)

以7:00為起點0，以分為單位例2某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班

為使候車時間X少于5分鐘，乘客必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達車站.所求概率為：即乘客候車時間少于5分鐘的概率是1/3.從上午7時起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30等時刻有汽車到達汽車站，為使候車時間X少于5分鐘，乘客必須在7指數分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，如元件的壽命.2.指數分布若r.vX具有概率密度為常數,則稱X

服從參數為的指數分布.指數分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，如元件的壽命若X

服從參數為

的指數分布,則其分布函數為事實上,當時,當時,若X服從參數為的指數分布,則其分布函數為事實上3.正態(tài)分布

若連續(xù)型r.vX的概率密度為記作其中和(>0)都是常數,則稱X服從參數為和的正態(tài)分布或高斯分布.3.正態(tài)分布若連續(xù)型r.vX的概率密度事實上,事實上,則有曲線關于軸對稱；則有曲線關于軸對稱；函數在上單調增加,在上單調減少,在取得最大值；x=μ

σ為f(x)的兩個拐點的橫坐標；函數在上單調增加,在上當x→∞時，f(x)→0.f(x)以x軸為漸近線

根據對密度函數的分析，也可初步畫出正態(tài)分布的概率密度曲線圖.當x→∞時，f(x)→0.f(x)以x軸為漸近

決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.

正態(tài)分布

的圖形特點決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭

設X~,X的分布函數是正態(tài)分布的分布函數設X~,X

正態(tài)分布由它的兩個參數μ和σ唯一確定，當μ和σ不同時，是不同的正態(tài)分布。標準正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布正態(tài)分布由它的兩個參數μ和σ唯一確定，當μ和σ不同的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布.其密度函數和分布函數常用

和

表示：標準正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布.其密度函數和分布函數常用概率2-4隨機變量函數的分布ppt課件的性質:事實上,的性質:事實上,

標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉化為標準正態(tài)分布.定理1標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可證Z的分布函數為則有證Z的分布函數為則有

根據定理1,只要將標準正態(tài)分布的分布函數制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題.于是根據定理1,只要將標準正態(tài)分布的分布函數制成表，就可

書末附有標準正態(tài)分布函數數值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表.正態(tài)分布表當x<0

時,表中給的是x>0時,Φ(x)的值.書末附有標準正態(tài)分布函數數值表，有了它，可以解決一般正態(tài)若若X～N(0,1),~N(0,1)

則若若X～N(0,1),~N(0,1)則由標準正態(tài)分布的查表計算可以求得，這說明，X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區(qū)間內，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%.當X～N(0,1)時，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.99743準則由標準正態(tài)分布的查表計算可以求得，這說明，X的取值幾乎全部集將上述結論推廣到一般的正態(tài)分布,可以認為，Y的取值幾乎全部集中在區(qū)間內.這在統(tǒng)計學上稱作“3準則”

.~N(0,1)

時，將上述結論推廣到一般的正態(tài)分布,可以認為，Y的取值幾乎標準正態(tài)分布的上分位點設若數滿足條件則稱點為標準正態(tài)分布的上分位點.標準正態(tài)分布的上分位點設若數滿足條件則稱點解P(X≥h)≤0.01或

P(X<h)≥0.99，下面我們來求滿足上式的最小的h.看一個應用正態(tài)分布的例子:

例

公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在0.01以下來設計的.設男子身高X～N(170,62),問車門高度應如何確定?設車門高度為hcm,按設計要求解P(X≥h)≤0.01或P(X<h)≥0.因為X～N(170,62),故P(X<h)=查表得(2.33)=0.9901>0.99因而=2.33,即

h=170+13.98184設計車門高度為184厘米時，可使男子與車門碰頭機會不超過0.01.P(X<h)0.99求滿足的最小的h.所以