第一章 有理數(shù)專題訓(xùn)練三 有理數(shù)中的定義新運(yùn)算同步練習(xí)題（含答案）

第第頁第一章有理數(shù)專題訓(xùn)練三有理數(shù)中的定義新運(yùn)算同步練習(xí)題（含答案）中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺

專題訓(xùn)練（三）有理數(shù)中的定義新運(yùn)算人教版數(shù)學(xué)七年級上冊

學(xué)校:______姓名:______班級:______考號:______

類型1：絕對值中的定義新運(yùn)算

1.定義新運(yùn)算：如.

(1)求；

(2)若且求．

2.對于有理數(shù)，，定義一種運(yùn)算“*”，規(guī)定．

(1)計算的值．

(2)當(dāng)，在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示時，求的值．

(3)已知，求的值．

3.已知點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是，且.現(xiàn)將點(diǎn)，之間的距離記作，定義．

(1)；

(2)設(shè)點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是，當(dāng)時，求的值．

4.小明學(xué)習(xí)了有理數(shù)后，對運(yùn)算非常感興趣，于是定義了一種新運(yùn)算“”，規(guī)則如下：對于兩個有理數(shù)，，．

(1)求的值；

(2)判斷這種新運(yùn)算是否具有交換律，并說明理由．

5.對于有理數(shù)，，定義一種新運(yùn)算“”，規(guī)定．

(1)計算的值；

(2)當(dāng)，在數(shù)軸上的位置如圖所示時，化簡；

(3)已知，求的值．

類型2：加減法中的定義新運(yùn)算

6.我們定義一種新運(yùn)算：．例如：

(1)求的值．

(2)求的值．

7.定義一種新運(yùn)算“”的含義如下：當(dāng)時，；當(dāng)時，.例如：，.

(1)；

(2)如果，求的值.

8.借助有理數(shù)的運(yùn)算，對任意有理數(shù)定義一種新運(yùn)算“”，規(guī)則如下：.例如，.

(1)求的值.

(2)我們知道有理數(shù)加法運(yùn)算具有交換律和結(jié)合律，請你探究這種新運(yùn)算“”是否也具有交換律和結(jié)合律，若具有，請說明理由；若不具有，請舉一個反例說明.

類型3：乘除法中的定義新運(yùn)算

9.若定義一種新的運(yùn)算“”，規(guī)定有理數(shù)，如．

(1)求的值；

(2)求的值．

10.如果對有理數(shù)定義運(yùn)算“”如下：如.求的值.

11.對有理數(shù)，，，在乘法運(yùn)算中，滿足：①交換律：；②分配律：．

現(xiàn)對這種運(yùn)算作如下定義，規(guī)定：．

(1)計算：和的值，想一想：這種運(yùn)算是否滿足交換律？

(2)舉例說明：這種運(yùn)算是否滿足分配律？

12.如果規(guī)定符號“”的意義是，如，求的值．

13.閱讀材料：對于任何有理數(shù)，我們規(guī)定符號的意義是，例如，．

(1)按照這個規(guī)定請你計算

(2)按照這個規(guī)定請你計算：當(dāng)｜｜時，的值．

類型4：乘方中的定義新運(yùn)算

14.定義：任意兩個數(shù)，，按規(guī)則擴(kuò)充得到一個新數(shù)，稱所得的新數(shù)為“如意數(shù)”．

(1)若，，直接寫出，的“如意數(shù)”；

(2)如果，，試說明“如意數(shù)”為非負(fù)數(shù)．

15.定義一種新的運(yùn)算：&=,如&=,試求&&的值．

16.已知，均為有理數(shù)，現(xiàn)我們定義一種新的運(yùn)算，規(guī)定：#.例如：#.

求：

(1)#的值；

(2)##的值．

17.用“☆”定義一種新運(yùn)算：對于任意有理數(shù)和，規(guī)定☆．

如：☆．

(1)求（）☆的值；

(2)若（☆）☆（），求的值；

(3)若☆，（）☆（其中為有理數(shù)），試比較，的大?。?/p>

參考答案

1.【答案】(1)根據(jù)題中的新定義，得.

(2)根據(jù)題意，得解得.

2.【答案】(1)解：.

(2)由，在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置可知，，，

．

(3)當(dāng)時，，解得；

當(dāng)時，，解得．綜上所述，的值為或．

3.【答案】(1)

(2)解：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時，≠，不符合題意；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時，≠,不符合題意．當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)，之間時，，．∵，∴，解得.

【解析】(1)∵，∴，，∴

(2)解：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時，≠，不符合題意；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時，≠,不符合題意．當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)，之間時，，．∵，∴，解得.

4.【答案】(1).

(2)這種新運(yùn)算具有交換律．理由如下：，，且，．這種新運(yùn)算具有交換律.

5.【答案】(1)解：．

(2)從，數(shù)軸位置可知：，，

．

(3)當(dāng)時，，

解得：；

當(dāng)時，，

解得：．

綜上所述：的值為或．

【解析】(1)根據(jù)定義的新運(yùn)算“”，代入數(shù)據(jù)即可求出結(jié)論；

(2)觀察數(shù)軸即可得出，，結(jié)合新運(yùn)算的定義式，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；

(3)分以及兩種情況考慮，根據(jù)新運(yùn)算的定義式分別得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．

本題考查了數(shù)軸、絕對值以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)定義式代入數(shù)據(jù)求解；觀察數(shù)軸找出，；分以及找出關(guān)于的一元一次方程．

6.【答案】(1)解：.

(2)

．

【解析】(1)將，代入，計算可得；

(2)將中所得結(jié)果代入原式得，再依據(jù)新定義計算可得．

本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則及新定義的運(yùn)用．

7.【答案】(1)

(2)解：當(dāng)，即時，由題意，得，解得.當(dāng)，即時，由題意，得，解得(舍去).綜上，的值為.

【解析】(1)因?yàn)樗?故答案為.

8.【答案】(1)解：因?yàn)?/p>

所以

.

(2)新運(yùn)算“”具有交換律.

理由：因?yàn)?/p>

所以.

所以新運(yùn)算“”具有交換律.

新運(yùn)算“”不具有結(jié)合律.

反例：因?yàn)?/p>

所以.

所以新運(yùn)算“”不具有結(jié)合律.

9.【答案】(1)解：；

(2)．

10.【答案】解：原式

.

11.【答案】(1)，

，

因?yàn)?

所以這種運(yùn)算滿足交換律．

(2)舉例：，

，

所以這種運(yùn)算不滿足分配律．

12.【答案】解：

.

13.【答案】(1)．

(2)因?yàn)椋?，所以，即，所?．

14.【答案】(1)解：，

(2)，“如意數(shù)”為非負(fù)數(shù)

【解析】(1)本題是一道自定義運(yùn)算題型，根據(jù)題中給的如意數(shù)的概念，代入即可得出結(jié)果

(2)根據(jù)如意數(shù)的定義，求出代數(shù)式，分析取值范圍即可

15.【答案】&&

【解析】略

16.【答案】(1)解：#.

(2)##.

17.【答案】(1)∵，∴（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）；

(2)∵☆，

∴（☆）☆（）

∴（）☆（）

∴（）☆（）

∴（），

∴，

解得，；

(3)∵☆，（）☆，∴，，∴（），∴．

【解析】(1)根據(jù)題目中的定義可以解答本題；

(2)根據(jù)題意可以將