第一節(jié)　數(shù)列的概念與簡單表示法

第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法第六章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.掌握數(shù)列的有關(guān)概念和表示方法.2.能利用an與Sn的關(guān)系以及遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式.3.理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù),能利用數(shù)列的周期性、單調(diào)性解決簡單的問題.強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分1.數(shù)列的有關(guān)概念及一般形式概念含義數(shù)列按照

一定次序

排列的一列數(shù)

數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的

每一個(gè)數(shù)

數(shù)列的項(xiàng)數(shù)組成數(shù)列的

數(shù)的個(gè)數(shù)

一般形式a1,a2,a3,…,an,…,簡記為

{an}

通項(xiàng)數(shù)列一般形式中

an

表示數(shù)列的第n項(xiàng)(也稱n為an的序號(hào),其中n為正整數(shù)),稱為數(shù)列的通項(xiàng)

2.數(shù)列的通項(xiàng)公式

并非每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式,數(shù)列有通項(xiàng)公式時(shí)也不一定是唯一的一般地,如果數(shù)列的第n項(xiàng)an與

n

之間的關(guān)系可以用

an=f(n)

來表示,其中f(n)是關(guān)于n的不含其他未知數(shù)的表達(dá)式,則稱此關(guān)系式為這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

3.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列{an}可以看成定義域?yàn)?/p>

正整數(shù)集的子集

的函數(shù),數(shù)列中的數(shù)就是自變量

從小到大依次

取正整數(shù)值時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,而數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式.

4.數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列的

首項(xiàng)

(或前幾項(xiàng)),且數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或兩項(xiàng)以上的關(guān)系都可以用

一個(gè)公式

來表示,則稱這個(gè)公式為數(shù)列的遞推關(guān)系(也稱為遞推公式或遞歸公式).

微點(diǎn)撥

數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式的異同點(diǎn)(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式反映的是項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系,可根據(jù)某項(xiàng)的序號(hào)求出這一項(xiàng);遞推公式反映的是項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系,可根據(jù)第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))通過迭代求出數(shù)列的項(xiàng).(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式都可以確定一個(gè)數(shù)列,都可以求出數(shù)列的任意一項(xiàng).5.數(shù)列的前n項(xiàng)和(1)一般地,給定數(shù)列{an},稱Sn=

a1+a2+a3+…+an

為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.(2)Sn與an的關(guān)系微點(diǎn)撥

1.切記公式an=Sn-Sn-1成立的條件是n≥2,當(dāng)n=1時(shí),只能用a1=S1求解,根據(jù)Sn求an時(shí)一定要注意檢驗(yàn)a1的值是否適合an=Sn-Sn-1.2.類比an與Sn的關(guān)系,若設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)的積為Tn(Tn≠0),則有6.數(shù)列的分類

類別含義按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)

有限

的數(shù)列

無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)

無限

的數(shù)列

按項(xiàng)的變化趨勢遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都

大于

它的前一項(xiàng)的數(shù)列

遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都

小于

它的前一項(xiàng)的數(shù)列

常數(shù)列各項(xiàng)都

相等

的數(shù)列

微思考

數(shù)列的單調(diào)性與對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性相同嗎?提示

不同.數(shù)列作為特殊的函數(shù),也具有單調(diào)性,但其單調(diào)性與對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性又有所不同,由于數(shù)列中項(xiàng)數(shù)n只能取正整數(shù),所以當(dāng)函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)時(shí),數(shù)列{f(n)}也是單調(diào)數(shù)列,但當(dāng)數(shù)列{f(n)}是單調(diào)數(shù)列時(shí),函數(shù)f(x)不一定是單調(diào)函數(shù),例如函數(shù)f(x)=(x-)2在[1,+∞)上不單調(diào),但數(shù)列{an}(an=f(n))是遞增數(shù)列.常用結(jié)論1.若數(shù)列{an}為遞增(減)數(shù)列,則an+1>an(an+1<an)對(duì)n∈N*恒成立.2.遞推關(guān)系式滿足an+1-an=f(n)的數(shù)列{an},可用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式;遞推關(guān)系式滿足

=f(n)的數(shù)列{an},可用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式.3.若各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{an}滿足an+1=kan+b(k≠0,1),則數(shù)列

是公比為k的等比數(shù)列.4.若各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=kan+p(k≠0,1),則數(shù)列{an}為公比等于

的等比數(shù)列.自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)1.一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的.(

)2.若數(shù)列{an}(an=f(n))是遞減數(shù)列,則函數(shù)y=f(x)必為減函數(shù).(

)3.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=1-n2,則an=-2n+1.(

)4.若數(shù)列{an}滿足an+1=an(n∈N*),則該數(shù)列是常數(shù)列.(

)×××√題組二

雙基自測5.

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為Sn=-2n2,求{an}的通項(xiàng)公式.解

當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-2n2-[-2(n-1)2]=-4n+2.當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=-2,適合上式,故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-4n+2.研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式(多考向探究預(yù)測)考向1已知Sn求an題組(1)(2023·遼寧沈陽高三月考)數(shù)列{an}滿足a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)·2n+1,則a7=(

)A.64 B.128 C.256

D.512(2)(2023·山東青島高三期中)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足log3(Sn+2)=n-1,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

.

解析

(1)當(dāng)n≥2時(shí),由a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)·2n+1,可得a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-2)·2n-1+1,兩式相減得nan=[(n-1)·2n+1]-[(n-2)·2n-1+1]=n·2n-1(n≥2),所以an=2n-1(n≥2),則a7=64.故選A.(2)由已知得Sn=3n-1-2,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(3n-1-2)-(3n-2-2)=2·3n-2.當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=30-2=-1,不適合上式.因此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為規(guī)律方法

已知Sn求an的流程(1)先利用a1=S1求出a1;(2)用n-1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系式,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式;(3)注意檢驗(yàn)n=1時(shí)的表達(dá)式是否可以與n≥2時(shí)的表達(dá)式合并.考向2已知Sn與an的關(guān)系式求an例題數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,an+1=5Sn(n≥1),則an=(

)A.5×6n

B.5×6n+1答案

C引申探究(變條件)在本例中,若其他條件不變,將“an+1=5Sn(n≥1)”改為“an+1=5Sn+1(n≥1)”,再求an.規(guī)律方法

利用an與Sn的關(guān)系式求通項(xiàng)公式已知an與Sn的關(guān)系式求an時(shí),一般有兩種基本思路:(1)消去Sn,根據(jù)已給出的關(guān)系式,令n=n+1(n∈N*)或n=n-1(n≥2),再寫出一個(gè)式子,然后將兩式相減,消去Sn,得到an與an+1或an與an-1的關(guān)系,從而確定數(shù)列{an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列,然后求出其通項(xiàng)公式;(2)消去an,在an與Sn的關(guān)系式中,令an=Sn-Sn-1(n≥2)代入,消去an,得到Sn與Sn-1的關(guān)系,從而確定數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列或等比數(shù)列,求出Sn后再求得an.答案

A考點(diǎn)二利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式(多考向探究預(yù)測)考向1累加法(2)(2023·四川綿陽高三期中)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,a2=3,且Sn+1+Sn-1=2n+2Sn(n≥2),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

.

(2)由Sn+1+Sn-1=2n+2Sn可得Sn+1-Sn=2n+Sn-Sn-1,即an+1-an=2n(n≥2).因?yàn)閍2-a1=21,所以an+1-an=2n(n≥1),于是an-an-1=2n-1,an-1-an-2=2n-2,…,a2-a1=21,累加得an-a1=21+22+…+2n-1,規(guī)律方法

累加法求通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的遞推公式滿足an+1-an=f(n)的形式,且f(n)可求和,那么就可以運(yùn)用累加法an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1(n≥2),并驗(yàn)證a1,求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.考向2累乘法題組(1)(2023·江蘇宿遷高三月考)已知數(shù)列{an}滿足(2)(2023·福建泉州高三期中)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn=(n+1)2an-3,則{an}的通項(xiàng)公式為

.

規(guī)律方法

累乘法求通項(xiàng)公式

考向3構(gòu)造法題組(1)(2023·山東濟(jì)南高三月考)已知數(shù)列{an}滿足則數(shù)列an=

.

(2)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+3,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

.

(2)因?yàn)閍n+1=2an+3,設(shè)an+1+x=2(an+x),則x=3,即an+1=2an+3可化為an+1+3=2(an+3),所以數(shù)列{an+3}是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列,所以an+3=4×2n-1=2n+1,即an=2n+1-3.引申探究1(變條件)在本題組(2)中,若其他條件不變,將“an+1=2an+3”改為“an+1=2an+2n+1”,再求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.引申探究2(變條件)在本題組(2)中,若其他條件不變,將“an+1=2an+3”改為“an+1=2an+3n”,再求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.規(guī)律方法

構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式

考點(diǎn)三數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用(多考向探究預(yù)測)考向1數(shù)列的周期性

答案

(1)CD

(2)D規(guī)律方法

利用數(shù)列周期性解題的方法先利用所給數(shù)列的遞推公式,結(jié)合數(shù)列的首項(xiàng),求出數(shù)列的前幾項(xiàng)