第1節(jié)　簡單線性規(guī)劃

第七章第一節(jié)

簡單線性規(guī)劃內(nèi)容索引0102強基礎(chǔ)增分策略增素能精準突破課標(biāo)解讀衍生考點核心素養(yǎng)1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題,并能加以解決.1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域2.求目標(biāo)函數(shù)的最值問題3.實際生活中的線性規(guī)劃問題1.直觀想象2.數(shù)學(xué)運算強基礎(chǔ)增分策略1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域

不等式表示區(qū)域

直線定界,測試點定域Ax+By+C>0直線Ax+By+C=0某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域不包括

Ax+By+C≥0包括

不等式組各個不等式所表示平面區(qū)域的

微點撥點P1(x1,y1)和P2(x2,y2)位于直線Ax+By+C=0的兩側(cè)的充要條件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0;位于直線Ax+By+C=0同側(cè)的充要條件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0.邊界

邊界

公共部分

微思考如何確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域在直線的哪一側(cè)?

提示:一般是取不在直線上的點(x0,y0)作為測試點來進行判定,滿足不等式的,則平面區(qū)域在測試點所在的直線的一側(cè),反之在直線的另一側(cè).2.線性規(guī)劃的有關(guān)概念

名稱意義約束條件由x,y的一次不等式(或方程)組成的不等式組,是對x,y的約束條件目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的解析式線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的一次解析式可行解滿足

的解(x,y)

可行域所有

組成的集合

最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)達到

或

的可行解

最優(yōu)解一定是可行解,可行解不一定是最優(yōu)解線性規(guī)劃問題求線性目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的

或

的問題

約束條件

可行解

最大值

最小值

最大值

最小值

常用結(jié)論1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域2.常見目標(biāo)函數(shù)的幾何意義

(3)z=(x-a)2+(y-b)2:z表示可行域內(nèi)的點(x,y)和點(a,b)間的距離的平方.增素能精準突破考點一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域典例突破

答案:(1)4

(2)(2,+∞)

解析:(1)可行域為如圖所示的陰影部分,A(2,2),B(2,-2),易知直線x=1與x-2y+1=0的交點坐標(biāo)為A(1,1),不等式組所表示的平面區(qū)域形狀為三角形,則點A位于直線x+y=m下方,據(jù)此有1+1<m,即m的取值范圍為(2,+∞).突破技巧平面區(qū)域形狀問題的兩種題型及解法

確定平面區(qū)域形狀(求面積)先畫出滿足條件的平面區(qū)域,并判斷其形狀,進而求面積根據(jù)平面區(qū)域形狀求參數(shù)先畫出滿足條件的平面區(qū)域,要注意對含參的限制條件進行必要的分類討論對點訓(xùn)練1(1)已知點(-3,-1)和點(4,-6)在直線3x-2y-a=0的兩側(cè),則a的取值范圍為(

)A.(-24,7) B.(-7,24)C.(-∞,-7)∪(24,+∞) D.(-∞,-24)∪(7,+∞)答案:(1)B

(2)D

解析:(1)根據(jù)題意知(-9+2-a)·(12+12-a)<0,即(a+7)(a-24)<0,解得-7<a<24.當(dāng)a>0時,直線y=ax+a=a(x+1)繞著點B(-1,0)逆時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)直線過點A(1,1)時,不再構(gòu)成梯形,此時直線y=ax+a=a(x+1)的斜率為a=,所以當(dāng)0<a<時滿足題意;當(dāng)a<0時,直線y=ax+a=a(x+1)繞著點B(-1,0)順時針旋轉(zhuǎn)至垂直于x軸的過程中,只有直線y=ax+a=a(x+1)與y=-x+2平行時不滿足條件,即a≠-1,所以實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1)∪(-1,0).考點二目標(biāo)函數(shù)的最值問題(多考向探究)考向1.求線性目標(biāo)函數(shù)的最值典例突破例2.(2021河南鄭州二模)已知x,y滿足

則z=2x+4y的取值范圍是(

)A.[0,4] B.[4,6] C.[0,6] D.[6,8]答案:B

解析:作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖:由圖像知,當(dāng)直線與直線x+2y=3重合時,直線在y軸上的截距最大,此時z最大,此時x+2y=3,即z=2x+4y=6;當(dāng)直線經(jīng)過點C(2,0)時,直線在y軸上的截距最小,此時z最小,z=2x+4y=4+0=4.故4≤z≤6,即z的取值范圍是[4,6].突破技巧求線性目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟

對點訓(xùn)練2(2021廣西桂林、崇左二模)設(shè)變量x,y滿足約束條件

則z=2x+y的最大值為

.

答案:11

解析:作出可行域如圖所示:又因為z表示直線y=-2x+z在y軸上的截距,由圖可知y=-2x+z經(jīng)過A(3,5)時截距最大,所以zmax=2×3+5=11.考向2.求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值典例突破答案:(1)D

(2)C

(2)作出可行域如圖,z的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(x,y)到原點的距離的平方加1,突破技巧常見的2類非線性目標(biāo)函數(shù)及其意義

A.(-∞,1]∪(2,4] B.[1,2)∪(2,4]C.[1,2)∪[4,+∞) D.(-∞,1]∪[4,+∞)答案:(1)D

(2)D

由圖知,目標(biāo)函數(shù)的最小值為原點到直線2x+y-2=0的距離的平方,(2)由約束條件作出可行域如圖,

考向3.求參數(shù)值或取值范圍典例突破例4.(1)(2021四川成都第二次聯(lián)考)當(dāng)x,y滿足

時,目標(biāo)函數(shù)z=x-y的最大值為0,則a=(

)A.6 B.4

C.3

D.2(2)設(shè)x,y滿足不等式組

若z=ax+y的最大值為2a+4,最小值為a+1,則實數(shù)a的取值范圍為(

)A.[-1,2] B.[-2,1] C.[-3,-2] D.[-3,1]答案:(1)B

(2)B

(2)由z=ax+y得y=-ax+z,如圖,作出不等式組對應(yīng)的可行域(陰影部分),則A(1,1),B(2,4).由題意和圖可知,直線z=ax+y過點B時,取得最大值為2a+4,過點A時,取得最小值為a+1.若a=0,則y=z,此時滿足條件;若a>0,-a<0,則目標(biāo)函數(shù)的斜率滿足-a≥kBC=-1,即0<a≤1;若a<0,-a>0,則目標(biāo)函數(shù)的斜率滿足-a≤kAC=2,即-2≤a<0.綜上,a的取值范圍是[-2,1].突破技巧利用可行域及最優(yōu)解求參數(shù)及其范圍的類型及方法

限制條件中含參數(shù)依據(jù)參數(shù)的不同范圍將各種情況下的可行域畫出來,尋求最優(yōu)解,確定參數(shù)的值線性目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)可對線性目標(biāo)函數(shù)的斜率分類討論,以此來確定線性目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過哪個頂點取得最值,從而求出參數(shù)的值;也可以直接求出線性目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過各頂點時對應(yīng)的參數(shù)的值,然后進行檢驗,找出符合題意的參數(shù)值對點訓(xùn)練4(1)(2021云南大理模擬)變量x,y滿足約束條件

若目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最大值為12,則實數(shù)a=(

)A.12 B.-12

C.4

D.-4答案:(1)B

(2)A解析:(1)由約束條件作出可行域如圖,(2)作出約束條件表示的可行域如圖,∵a>0,b>0,∴當(dāng)直線z=ax+by經(jīng)過點(3,3)時,z取得最大值,則3a+3b=3,即a+b=1,考點三實際生活中的線性規(guī)劃問題典例突破例5.某家具廠有方木料90m3,五合板600m2,準備加工成書桌和書櫥出售,已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1m3,五合板2m2,生產(chǎn)每個書櫥需要方木料0.2m3,五合板1m2,出售一張書桌可獲利潤80元,出售一個書櫥可獲利潤120元.怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤最大?解:設(shè)生產(chǎn)書桌x張,書櫥y個,利潤總額為z元.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)作出不等式組所表示的可行域,如圖.作直線l:80x+120y=0,即直線l:2x+3y=0.把直線l向右上方平移至l1的位置時,直線經(jīng)過可行域上的點M(100,400),此時z=80x+120y取得最大值.所以當(dāng)x=100,y=400時,zmax=80×100+120×400=56

000(元),即生產(chǎn)書桌100張、書櫥400個,可使所得利潤最大.突破技巧解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟

審題仔細閱讀材料,抓住關(guān)鍵,準確理解題意,明確有哪些限制條件,借助表格或圖形理清變量之間的關(guān)系設(shè)元設(shè)問題中起關(guān)鍵作用(或關(guān)聯(lián)較多)的量為未知量x,y,并列出相應(yīng)的不等式組和目標(biāo)函數(shù)作圖準確作出可行域,平移找點(最優(yōu)解)求解代入目標(biāo)函數(shù)求解(最大值或最小值)檢驗根據(jù)結(jié)果,檢驗反饋對點訓(xùn)練5某公司計劃2022年在甲、乙兩個網(wǎng)絡(luò)平臺上投放總時間不超過300天的廣告,廣告總費用不超過90萬元,已知甲、乙兩個網(wǎng)絡(luò)平臺的廣告收費標(biāo)準分別為5000元/天和2000元/天,廣告每天能給公司帶來的收益分別為3萬元和2萬元,