2022-2023學(xué)年福建省福州市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省福州市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由為純虛數(shù)，求出的值，從而可求得復(fù)數(shù)【詳解】由，得，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得，所以，故選：B2．“幸福感指數(shù)”是指某個(gè)人主觀地評價(jià)他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間內(nèi)的一個(gè)數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意程度越高，現(xiàn)隨機(jī)抽取7位小區(qū)居民，他們的幸福感指數(shù)分別為5，6，7，8，9，5，4，則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是（

）A．7 B．7.5 C．8 D．9【答案】A【分析】利用百分位數(shù)定義規(guī)則即可求得這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù).【詳解】該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：4，5，5，6，7，8，9，且.所以第60百分位數(shù)是第5個(gè)數(shù)，即7.故選：A.3．已知向量，，若，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．（【答案】C【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示求解，再根據(jù)投影向量的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，，，得，解得．所以，，所以，，所以在上的投影向量為故選：C．4．已知兩個(gè)平面，，及兩條直線，．則下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．若，，，，則B．若，，，則C．若，，，，則D．若，是異面直線，，，，，則【答案】C【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理判斷A，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷B，根據(jù)面面的位置關(guān)系判斷C，根據(jù)面面平行的判定定理及異面直線的概念判斷D.【詳解】對于A，若，，，，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得，A正確；對于B，若，，則，又，則，B正確；對于C，若，，，，則與可以相交或平行，C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)?，，所以存在直線，，因?yàn)?，是異面直線，所以與相交，因?yàn)?，，，所以，又因?yàn)?，，所以，D正確，故選：C5．下圖是北京2022年冬奧會(huì)會(huì)徽的圖案，奧運(yùn)五環(huán)的大小和間距如圖所示．若圓半徑均為12，相鄰圓圓心水平路離為26，兩排圓圓心垂直距離為11．設(shè)五個(gè)圓的圓心分別為、、、、，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，做軸于點(diǎn)，可求出、、坐標(biāo)，及、、，再由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，做軸于點(diǎn)，所以，由已知可得，，，所以，，，所以.故選：B.

6．已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，…，，且，平均數(shù)，則該組數(shù)據(jù)的方差（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平均數(shù)和方差的公式，即可求解．【詳解】解：由題意可知，，．故選：D．7．在非直角中，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，是角的內(nèi)角平分線，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理的角邊化及余弦定理的推論，利用等面積法及三角形的面積公式，結(jié)合正余弦的二倍角公式及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】由及正弦定理，得.由余弦定理，得，因?yàn)闉榉侵苯侨切?，所以，所以，因?yàn)槭墙堑膬?nèi)角平分線，且，所以由三角形的面積公式得，所以，即，因?yàn)?，所以，所?所以，,.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵是利用正弦定理的角化邊和余弦定理的推論，再利用等面積法及正余弦的二倍角公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系即可.8．如圖1，直角梯形中，，取中點(diǎn)，將沿翻折（如圖2），記四面體的外接球?yàn)榍颍榍蛐模?是球上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與直線所成角最大時(shí)，四面體體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先得到球心在的中點(diǎn)，然后當(dāng)與球相切時(shí)直線與直線所成角的最大，過作垂足為，當(dāng)平面時(shí)四面體體積取得最大值，即可求出答案.【詳解】由題意可知，均為等腰直角三角形，所以四面體的外接球的球心在的中點(diǎn)，因?yàn)槭乔蛏系膭?dòng)點(diǎn)，若直線與直線所成角的最大，則與球相切，，此時(shí)，最大，因?yàn)?，，所以，過作垂足為，則在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).所以當(dāng)平面時(shí)四面體的體積取得最大值.因?yàn)?，所以，所以，故選：D.二、多選題9．復(fù)數(shù)（，），為虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】由得，再由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則與模長公式驗(yàn)證選項(xiàng)即可求解【詳解】因?yàn)椋?，對于A：，故A錯(cuò)誤；對于B：，，不一定成立，故B錯(cuò)誤；對于C：，，故C正確；對于D：，故D正確；故選：CD10．點(diǎn)O在所在的平面內(nèi),則以下說法正確的有A．若,則點(diǎn)O為的重心B．若,則點(diǎn)O為的垂心C．若,則點(diǎn)O為的外心D．若,則點(diǎn)O為的內(nèi)心【答案】AC【解析】逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可.【詳解】解：選項(xiàng)A，設(shè)D為的中點(diǎn)，由于，所以為邊上中線的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)D)，所以O(shè)為的重心；選項(xiàng)B，向量分別表示在邊和上的單位向量，設(shè)為和，則它們的差是向量，則當(dāng)，即時(shí)，點(diǎn)O在的平分線上，同理由，知點(diǎn)O在的平分線上，故O為的內(nèi)心；選項(xiàng)C，是以為鄰邊的平行四邊形的一條對角線，而是該平行四邊形的另一條對角線，表示這個(gè)平行四邊形是菱形，即，同理有，于是O為的外心；選項(xiàng)D，由得，∴，即，∴．同理可證，∴，，，即點(diǎn)O是的垂心；故選：AC．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量在三角形中的應(yīng)用，考查向量的數(shù)量積，考查三角形的“五心”，屬于中檔題．11．一個(gè)正八面體，八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個(gè)正八面體，把它與地面接觸的面上的數(shù)字記為，則，定義事件：，事件：，事件：，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．，，兩兩相互獨(dú)立【答案】BC【分析】根據(jù)各事件的交補(bǔ)集中的事件數(shù)，應(yīng)用古典概型求概率的方法求、、、，由兩兩相互獨(dú)立事件的概率性質(zhì)判斷A、B、C是否相互獨(dú)立.【詳解】由題意，，，，∴，同理，，由，則，故A錯(cuò)誤；由，則，故B正確；由，則，而，故C正確；因?yàn)椋?，，所以事件，，不兩兩相互?dú)立，故D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：對于兩個(gè)事件，，可將對應(yīng)的積事件看成一個(gè)事件，利用古典概型的概率公式計(jì)算，一般地，對于兩個(gè)事件，，概率公式為，使用概率的計(jì)算公式，必須注意前提條件：對于兩個(gè)事件，，有；當(dāng)，為互斥事件時(shí)，有.若事件，，，有時(shí)，不一定有，，兩兩相互獨(dú)立.12．如圖，已知正三棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為2和3，側(cè)棱長為1，點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包含邊界），且AP與平面所成角的正切值為，則（

）A．CP長度的最小值為B．存在點(diǎn)P，使得C．存在點(diǎn)P，存在點(diǎn)，使得D．所有滿足條件的動(dòng)線段AP形成的曲面面積為【答案】ACD【分析】先將正三棱臺(tái)側(cè)棱延長補(bǔ)成正三棱錐，求出點(diǎn)到平面的距離即可確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，再逐項(xiàng)分析即可.【詳解】依題意，延長正三棱臺(tái)側(cè)棱相交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則有，所以的延長線必過點(diǎn)且，過點(diǎn)作，則四邊形是邊長為1的菱形.如圖所示：在中，，即，解得，所以，所以為邊長為3等邊三角形，所以，所以，因?yàn)槭沁呴L為3的等邊三角形且為中點(diǎn)，所以，，在中，由余弦定理變形得，，在中，由余弦定理變形得，，解得，所以，所以；由，可得平面，又平面，所以，由，，，可得平面，因?yàn)锳P與平面所成角的正切值為，所以，解得，，所以點(diǎn)在平面的軌跡為，對于A：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與的交點(diǎn)時(shí)有最小值，因?yàn)樗倪呅问沁呴L為1且的菱形，所以，所以，故A選項(xiàng)正確；對于B：要使得，則點(diǎn)必須落在平面與平面的交線上且，由圖易知，在平面中不存在這樣的點(diǎn)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，連接，交于點(diǎn)，連接，由于平面平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，所以存在點(diǎn)P，存在點(diǎn)，使得，故C選項(xiàng)正確；對于D：設(shè)的長度為，則，動(dòng)線段AP形成的曲面展開為兩個(gè)面積相等扇形，設(shè)其中一個(gè)的面積為,則有，因此所有滿足條件的動(dòng)線段AP形成的曲面面積為，故D選項(xiàng)正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查了線面角的相關(guān)性質(zhì)與證明，先證明線垂直于平面是幾何法中求線面角的關(guān)鍵，線面垂直的證明，可先轉(zhuǎn)化為線線垂直的問題，利用等腰三角形性質(zhì)，勾股定理是證明線線垂直常用的方法，要求考生平時(shí)多加練習(xí)總結(jié)，熟練掌握線面平行垂直、面面平行垂直的判定定理及其相關(guān)性質(zhì)定理是高考的基本要求.三、填空題13．如圖，直角是的斜二測直觀圖，其中，斜邊，則的面積是．【答案】【分析】先由的斜二測直觀圖還原得的直觀圖，再求得的邊長并判定形狀，即可求得的面積，得到答案.【詳解】由的斜二測直觀圖還原得的直觀圖如下，因?yàn)橹苯侵校?，所以，則在中，，，所以的面積為.故答案為：..

14．已知向量，，，．【答案】【分析】由已知可得，展開化簡后可得結(jié)果.【詳解】由已知可得，因此，.故答案為：.15．甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判．設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，第局甲當(dāng)裁判，在前局中乙恰好當(dāng)次裁判的概率．【答案】【分析】前局中乙恰好當(dāng)次裁判的事件是乙在第二局當(dāng)裁判與在第三局當(dāng)裁判事件的和，它們互斥，分別求出它們的概率而得解.【詳解】前3局中，因第局甲當(dāng)裁判，則乙恰好當(dāng)次裁判的事件A，是乙第二局當(dāng)裁判的事件A1與乙第三局當(dāng)裁判的事件A2的和，它們互斥，乙第二局當(dāng)裁判的事件是乙在第一局輸，則；乙第三局當(dāng)裁判的事件是乙在第一局勝，第二局輸，則，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】利用已知概率的事件求概率，把所求概率的事件分拆成相互獨(dú)立事件的積和互斥事件的和是關(guān)鍵.16．以棱長為的正四面體中心點(diǎn)為球心，半徑為的球面與正四面體的表面相交部分總長度為.【答案】【分析】求出正四面體內(nèi)切球半徑即為球心到面ABC的距離，從而得到球被平面所截得的圓的半徑，再求出的內(nèi)切圓的半徑，此圓恰好為球被平面所截得的圓，即球面與各表面相交部分恰為三角形的內(nèi)切圓，求四個(gè)內(nèi)切圓的周長即可.【詳解】

將正四面體放入正方體中，則正方體的棱長為，所以正四面體的體積為，表面積為，設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑為，則，解得.顯然內(nèi)切球心為，故到面的距離為，球面與面相交部分為以的圓，設(shè)三角形的內(nèi)切圓半徑為，圓心為為的中點(diǎn)，則，故，此時(shí)恰好，即球面與各表面相交部分恰為三角形的內(nèi)切圓，故當(dāng)時(shí)，圓弧總長度為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：有關(guān)平面（可以無限延展的）截球所得截面的計(jì)算時(shí)，第一步求出球心到截面的距離，第二步根據(jù)計(jì)算出截面圓的半徑，第三步在截面（只是有限大小的平面圖形）內(nèi)通過計(jì)算判斷所截圖形是一個(gè)完整的圓還是圓的一部分，這時(shí)要根據(jù)平面幾何中的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算.四、解答題17．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，的外接圓半徑為，(1)求角C；(2)若的面積為，求的周長.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二倍角公式結(jié)合正弦定理分析運(yùn)算；（2）先利用正弦定理求得，再利用面積公式、余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，又因?yàn)椋瑒t，可得，即，所以.（2）由正弦定理，可得，因?yàn)榈拿娣e，即，可得，由余弦定理，即，解得或（舍去），所以的周長為.18．我校舉行的“青年歌手大選賽”吸引了眾多有才華的學(xué)生參賽為了了解本次比賽成績情況，從中抽取了50名學(xué)生的成績（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì).請根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：頻率分布表組別分組頻數(shù)頻率第1組8第2組第3組20第4組第5組3合計(jì)(1)求出的值；(2)在選取的樣本中，從成績是80分以上（含80分）的同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)參加元旦晩會(huì)，求所抽取的2名同學(xué)中至少有1名同學(xué)來自第5組的概率；(3)估計(jì)這50名學(xué)生成績的眾數(shù)?中位數(shù)?平均數(shù).【答案】(1)15；0.06；0.03；0.006(2)(3)75；71；【分析】（1）按頻率分布表和頻率分布直方圖的定義及性質(zhì)列式求解即可；（2）由列舉法求古典概型概率；（3）估計(jì)時(shí)取每組中間成績，結(jié)合圖表按定義求值即可.【詳解】（1）由題意得，樣本容量，，∴的頻數(shù)為，，∴的頻率為，∴，.（2）成績是80分以上（含80分）的同學(xué)共有人，其中第4組4人，記為A、B、C、D，第5組3人，記為X、Y、Z.則從成績是80分以上（含80分）的同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)有AB、AC、AD、AX、AY、AZ、BC、BD、BX、BY、BZ、CD、CX、CY、CZ、DX、DY、DZ、XY、XZ、YZ共21種；所抽取的2名同學(xué)中至少有1名同學(xué)來自第5組有AX、AY、AZ、BX、BY、BZ、CX、CY、CZ、DX、DY、DZ、XY、XZ、YZ共15種.故所抽取的2名同學(xué)中至少有1名同學(xué)來自第5組的概率為.（3）由直方圖可知，眾數(shù)為.從左到右累計(jì)人數(shù)有名，故中位數(shù)在組，故中位數(shù)為.平均數(shù)為19．與學(xué)生安全有關(guān)的問題越來越受到社會(huì)的關(guān)注和重視.為了普及安全教育，某市組織了一次學(xué)生安全知識(shí)競賽，要求每支代表隊(duì)3人，在必答題環(huán)節(jié)規(guī)定每人回答一個(gè)問題，答對得1分，答錯(cuò)得0分.在競賽中，甲?乙兩個(gè)中學(xué)代表隊(duì)狹路相逢，假設(shè)甲隊(duì)每人回答問題正確的概率均為，乙隊(duì)三個(gè)人回答問題正確的概率分別為，且各人回答問題正確與否相互之間沒有影響.記事件：甲隊(duì)第人答對，事件乙隊(duì)第人答對，其中.(1)求甲隊(duì)至少得1分的概率；(2)求甲隊(duì)總得分為3分且乙隊(duì)總得分為1分的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）記事件：甲隊(duì)至少得分，則其對立事件為：甲隊(duì)得分，即三人都回答錯(cuò)誤，根據(jù)相互獨(dú)立事件及對立事件的概率公式計(jì)算可得；（2）記事件：甲隊(duì)總得分為3分，事件：乙隊(duì)總得分為1分，事件即甲隊(duì)三人全答對，事件即乙隊(duì)三人中只有1人答對，其余2人答錯(cuò)，根據(jù)相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式求出、，最后根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得.【詳解】（1）解：記事件：甲隊(duì)至少得分，則其對立事件為：甲隊(duì)得分，即三人都回答錯(cuò)誤，每人回答正確與否相互之間沒有影響，，.（2）解：記事件：甲隊(duì)總得分為3分，事件：乙隊(duì)總得分為1分，事件即甲隊(duì)三人全答對，則，事件即乙隊(duì)三人中只有1人答對，其余2人答錯(cuò)，則由題意得事件與事件相互獨(dú)立，甲隊(duì)總得分為3分且乙隊(duì)總得分為1分的概率.20．幾何體是四棱錐，為正三角形，，，為線段的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使得，，，四點(diǎn)共面？若存在，求出的值；若不存在，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）由線線平行證明面面平行，先在平面上找到直線使即可；（2）由（1）可得存在，使即，，，四點(diǎn)共面，先轉(zhuǎn)化為關(guān)于即可.【詳解】（1）

如圖，在平面上，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接，因，，所以，因?yàn)檎切危?，，，如圖：

故，，，取的中點(diǎn)為，連接，則，且，故，且，故四邊形為平行四邊形，故，又因平面，平面，所以平面，即平面（2）

由（1）知：，設(shè)與的交點(diǎn)為，則，則，，，四點(diǎn)共面，故存在點(diǎn)，使得，，，四點(diǎn)共面；在中，如圖

因，，為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，則，且，故，所以，故，設(shè)到平面的距離分別為，則，，所以21．為響應(yīng)國家“鄉(xiāng)村振興”號(hào)召，農(nóng)民王大伯?dāng)M將自家一塊直角三角形地按如圖規(guī)劃成3個(gè)功能區(qū)：區(qū)域?yàn)槔笾α趾头硼B(yǎng)走地雞，區(qū)域規(guī)劃為“民宿”供游客住宿及餐飲，區(qū)域規(guī)劃為小型魚塘養(yǎng)魚供休閑垂釣.為安全起見，在魚塘周圍筑起護(hù)欄.已知，，，.（1）若時(shí)，求護(hù)欄的長度（的周長）；（2）若魚塘的面積是“民宿”的面積的倍，求；（3）當(dāng)為何值時(shí)，魚塘的面積最小，最小面積是多少？