初一數(shù)學(xué)下冊(cè)二元一次方程組8種典型例題詳解

一、和差倍數(shù)問(wèn)題知識(shí)梳理：和差問(wèn)題是已知兩個(gè)數(shù)的和或這兩個(gè)數(shù)的差，以及這兩個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)各是多少。典型例題：甲、乙兩人分別以不變的速度打字，2分鐘共打了240個(gè)字，已知甲每分鐘比乙多打10個(gè)字。問(wèn)甲、乙兩人每分鐘各打多少個(gè)?解：設(shè)甲每分鐘打x個(gè)字，乙每分鐘打y個(gè)字。根據(jù)題意可列方程組為2(x+y)=240①x-y=10②由①得x+y=120③，②+③得2x=130，解得x=65，將x=65代入②得：y=55。答：甲每分鐘打65個(gè)字，乙每分鐘打55個(gè)字。思路點(diǎn)撥：由甲乙兩人2分鐘共打了240個(gè)字可以得到第一個(gè)等量關(guān)系式2(x+y)=240，再由甲每分鐘比乙多打10個(gè)字可以得到第二個(gè)等量關(guān)系式x-y=10，組成方程組求解即可。二、產(chǎn)品配套問(wèn)題典型例題：某車(chē)間有22名工人生產(chǎn)螺釘和螺母，每人每天平均生產(chǎn)螺釘1200個(gè)，螺母2000個(gè)，一個(gè)螺釘要配兩個(gè)螺母，為了使每天生產(chǎn)的產(chǎn)品正好配套，應(yīng)該分配多少名工人生產(chǎn)螺釘，多少名工人生產(chǎn)螺母?解：設(shè)分配x名工人生產(chǎn)螺釘，y名工人生產(chǎn)螺母。由題意可列方程組為x+y=22①2x1200x=2000y②由②得6x=5y③，由①得x=22-y，代入③得6(22-y)=5y，整理得11y=132，解得y=12，則x=22-12=10。答：應(yīng)該分配10名工人生產(chǎn)螺釘，12名工人生產(chǎn)螺母。思路點(diǎn)撥：本題的第一個(gè)等量關(guān)系比較容易得出：生產(chǎn)螺釘和螺母的工人共有22名；第二個(gè)等量關(guān)系的得出要弄清螺釘與螺母是如何配套的，即螺母的數(shù)量是螺釘?shù)臄?shù)量的2倍（注意：別把2倍的關(guān)系寫(xiě)反）。三、工作量問(wèn)題知識(shí)梳理：我們?cè)诮鉀Q工程問(wèn)題時(shí)通常把工作總量看成1；工作量＝工作效率×工作時(shí)間；總工作量=每個(gè)個(gè)體工作量之和；工作效率=工作量÷工作時(shí)間（即單位時(shí)間的工作量）；工作效率=1÷完成工作的總時(shí)間。典型例題：現(xiàn)要整理一批文件，由1個(gè)人完成需要40個(gè)小時(shí)，計(jì)劃由一部分人先做4小時(shí)，再增加2人和他們一起再做8小時(shí)，完成這項(xiàng)任務(wù)，假設(shè)這些人的工作效率都相同，則應(yīng)先安排多少人工作?解：設(shè)總工作量為1，應(yīng)先安排x人工作。則每個(gè)人的工作效率為1/40，由題意可列方程為4x·1/40+8(x+2)·1/40=1，整理得3x/10=3/5，解得x=2。答：應(yīng)先安排2人工作。思路點(diǎn)撥：首先將工作總量設(shè)成1，可以得到每人的工作效率，再根據(jù)x人先做4小時(shí)可以完成4x·1/40工作量，增加2人后，(x+2)人工作8小時(shí)完成8(x+2)1/40工作量，總量為1可以列出方程，解方程求解即可。四、利潤(rùn)問(wèn)題知識(shí)梳理：商品利潤(rùn)＝商品售價(jià)－商品進(jìn)價(jià)；利潤(rùn)率=利潤(rùn)÷進(jìn)價(jià)×100%。典型例題：商店新進(jìn)一批商品準(zhǔn)備出售，若打8折出售，則10天可以售完，并能獲利10000元;若打75折出售8天可以售完，可獲利8000元，商品存放一天需要100元的存貨費(fèi)，求這批商品的本錢(qián)(購(gòu)貨價(jià))和預(yù)售總價(jià)各是多少?解：設(shè)這批商品的本錢(qián)是x元，預(yù)售總價(jià)是y元。由題意可列方程組為0.8y-x-10·100=10000.75y-x-8·100=8000整理得0.8y-x=11000①0.75y-x=8800②得①-②0.05y=2200，解得y=44000，則x=08·44000-11000=24200。答：這批商品的本錢(qián)是24200元，預(yù)售總價(jià)是44000元。思路點(diǎn)撥：本題有兩個(gè)未知數(shù)，即商品本錢(qián)和預(yù)售總價(jià)，也有兩個(gè)明顯的等量關(guān)系，即兩種打折出售的獲利情況，根據(jù)售價(jià)-成本-存貨費(fèi)用=利潤(rùn)，可以列出方程組求解即可。五、行程問(wèn)題路程=速度×?xí)r間；相遇問(wèn)題：快行距＋慢行距＝原距;追及問(wèn)題：快行距－慢行距＝原距;航行問(wèn)題：順?biāo)?風(fēng)速度＝靜水/風(fēng)速度＋水流/風(fēng)速度；逆水/風(fēng)速度＝靜水/風(fēng)速度－水流/風(fēng)速度;典型例題：AB兩地相距480千米，一列慢車(chē)從A地開(kāi)出，一列快車(chē)從B地開(kāi)出。(1)如果兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出相向而行，那么3小時(shí)后相遇;如果兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出同向(沿BA方向)而行，那么快車(chē)12小時(shí)可追上慢車(chē)，求快車(chē)與慢車(chē)的速度;(2)如果慢車(chē)先開(kāi)出1小時(shí)，兩車(chē)相向而行，那么快車(chē)開(kāi)出幾小時(shí)可與慢車(chē)相遇?解：(1)設(shè)快車(chē)的速度為x千米每小時(shí)，慢車(chē)的速度為y千米每小時(shí)。由題意可列方程組為3(x+y)=480①12(x-y)=480②①x4得12(x+y)=1920③，②+③得24x=2400，解得x=100，則y=60。答：快車(chē)的速度為100千米每小時(shí)，慢車(chē)的速度為60千米每小時(shí)。(2)慢車(chē)開(kāi)出1小時(shí)后兩車(chē)相距480-60=420千米，所以快車(chē)開(kāi)出21小時(shí)可與慢車(chē)相遇。思路點(diǎn)撥：這兩個(gè)問(wèn)題均可以利用路程、速度和時(shí)間之間的關(guān)系列方程(組)求解，要明確快車(chē)與慢車(chē)的路程與A、B兩地的距離之間的關(guān)系，相向而行兩車(chē)相遇時(shí)：快車(chē)路程+慢車(chē)路程=A、B兩地距離；同向而行兩車(chē)相遇時(shí)：快車(chē)路程-慢車(chē)路程=A、B兩地距離。六、存貸款問(wèn)題知識(shí)梳理：利息=本金×利率×期數(shù)；本息和（本利和）＝本金＋利息。典型例題：蔬菜種植專(zhuān)業(yè)戶(hù)徐先生要辦一個(gè)小型蔬菜加工廠，分別向銀行申請(qǐng)了甲，乙兩種貸款，共13萬(wàn)元，王先生每年須付利息6075元，已知甲種貸款的年利率為6%，乙種貸款的年利率為3.5%，則甲，乙兩種貸款分別是多少萬(wàn)元?解：設(shè)甲種貸款x元，乙種貸款y萬(wàn)元。由題意可列方程組為x+y=13①0.06x+0.035v=0.6075②由①得x=13-y，代入②得0.06(13-)+0.035=06075，整理得0025-0.1725，解得y-6.9，則x=6.1。答：甲種貸款是61萬(wàn)元，乙種貸款是69萬(wàn)元。思路點(diǎn)撥：本題的等量關(guān)系：甲種貸款+乙種貸款＝13萬(wàn)元；甲種貸款的年利息+乙種貸款的年利息＝6075元。七、數(shù)字問(wèn)題知識(shí)梳理：已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫(xiě)出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類(lèi)問(wèn)題一般設(shè)間接未知數(shù)，例如：若一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個(gè)兩位數(shù)可以表示為10b+a。典型例題：已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫(xiě)出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類(lèi)問(wèn)題一般設(shè)間接未知數(shù)，例如：若一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個(gè)兩位數(shù)可以表示為10b+a。有一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)比十位上的數(shù)大5，如果把這兩個(gè)數(shù)的位置對(duì)換，那么所得的新數(shù)與原數(shù)的和是143，求這個(gè)兩位數(shù)。解：設(shè)兩位數(shù)個(gè)位上是x，十位上是y。由題意可列方程組為x-y=5①(10y+x)+(10x+y)=143②由②得x+y=13③，①+③得2x=18，解得x=9，則y=4。答：這個(gè)兩位數(shù)是49。思路點(diǎn)撥：本題中的等量關(guān)系：①個(gè)位上的數(shù)－十位上的數(shù)＝5；②原數(shù)+新數(shù)＝143。八、方案問(wèn)題知識(shí)梳理：在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，需合理安排，從幾種方案中，選擇最佳方案。要點(diǎn)詮釋?zhuān)悍桨高x擇的題目較長(zhǎng)，有時(shí)方案不止一種，閱讀時(shí)應(yīng)抓住重點(diǎn),比較幾種方案得出最佳方案。典型例題：已知：用2輛A型車(chē)和1輛B型車(chē)裝滿(mǎn)貨物一次可運(yùn)貨10t;用1輛A型車(chē)和2輛B型車(chē)裝滿(mǎn)貨物一次可運(yùn)貨11t。某物流公司現(xiàn)有31t貨物，計(jì)劃同時(shí)租用A型車(chē)a輛，B型車(chē)b輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車(chē)都裝滿(mǎn)貨物。根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題。(1)1輛A型車(chē)和1輛B型車(chē)都裝滿(mǎn)貨物一次可分別運(yùn)貨多少?lài)?(2)請(qǐng)你幫該物流公司設(shè)計(jì)租車(chē)方案;(3)若A型車(chē)每輛需租金100元/次，B型車(chē)每輛需租金120元/次。出最省錢(qián)的租車(chē)方案，并求出最少租車(chē)費(fèi)。解：(1)設(shè)1輛A型車(chē)裝滿(mǎn)貨物可運(yùn)貨x噸，1輛B型車(chē)裝滿(mǎn)貨物可運(yùn)貨y噸。由題意可列方程為2x+y=10①x+2y=11②由①得y=10-2x③，將③代入②得，x+2(10-2x)=11，整理得3x=9，解得x=3，則y=4。答：1輛A型車(chē)裝滿(mǎn)貨物一次可運(yùn)貨3噸，1輛B型車(chē)裝滿(mǎn)貨物一次可運(yùn)貨4噸。(2)根據(jù)題意可列方程為3a+4b=31，因?yàn)閍b均為正整數(shù)所以ab的取值可分別為17或54或91。答：該物流公司有三種租車(chē)方案。方案一：租用A型車(chē)1輛B型車(chē)7輛；方案二：A型車(chē)5輛，B型車(chē)4輛;方案三：A型