高斯賽德爾算法程序說明

高斯賽德爾算法程序說明高斯賽德爾算法是一種求解線性方程組的迭代算法，它是高斯消元法的一種改進方法。本文將對高斯賽德爾算法的原理、步驟和程序實現進行詳細說明。

一、算法原理：

高斯賽德爾算法的基本思想是通過迭代逼近的方式求解線性方程組。它通過將方程組中的每個方程分解為兩部分，一部分是之前已知的變量值對應的項之和，另一部分是未知變量值對應的項。然后，根據已知變量值更新未知變量值，并迭代進行，直到求得滿足精度要求的解。

二、步驟：

1.初始化：給定一個初始的近似解向量x^(0)和迭代誤差要求ε。

2.迭代更新：對于每個未知變量x_i，根據已知變量的當前近似值，計算出對應的未知變量的新近似值x_i^(k+1)。具體計算公式為：

x_i^(k+1)=(b_i-Σ(a_ij*x_j^(k)))/a_ii

其中，a_ij表示方程組中的系數，b_i表示方程組中的右邊常數項。

3.判斷終止條件：計算當前近似解向量x^(k+1)與上一輪近似解向量x^(k)的差值，如果差值小于ε則認為已經滿足精度要求，可以停止迭代；否則繼續(xù)進行迭代。

4.輸出結果：當滿足精度要求時，得到線性方程組的近似解。

三、程序實現：

下面是一個使用Python實現高斯賽德爾算法的示例程序：

```python

importnumpyasnp

defgauss_seidel(A,b,x0,epsilon,max_iter):

"""

高斯賽德爾算法求解線性方程組

:paramA:系數矩陣

:paramb:右側常數項

:paramx0:初始近似解

:paramepsilon:迭代終止誤差

:parammax_iter:最大迭代次數

:return:近似解向量

"""

n=len(A)

x=np.array(x0)

forkinrange(max_iter):

x_new=np.zeros(n)

foriinrange(n):

x_new[i]=(b[i]-np.dot(A[i,0:i],x_new[0:i])-np.dot(A[i,i+1:],x[i+1:]))/A[i,i]

ifnp.linalg.norm(x_new-x)<epsilon:

returnx_new

x=x_new

returnx

#示例調用

A=np.array([[4,-1,0,0],

[-1,4,-1,0],

[0,-1,4,-1],

[0,0,-1,4]])

b=np.array([0,5,5,10])

x0=np.array([0,0,0,0])

epsilon=1e-5

max_iter=100

result=gauss_seidel(A,b,x0,epsilon,max_iter)

print("Approximatesolution:",result)

```

以上示例程序實現了一個簡單的高斯賽德爾算法，通過給定系數矩陣A、右側常數項b、初始近似解x0、迭代終止誤差epsilon和最大迭代次數max_iter，求解線性方程組的近似解。

參考內容：

1.李慶林,董軼群.線性代數與解析幾何.科學出版社,2013.

2.陳尚義,吳光平.數值線性代數.高等教育出版社,2017.

3.T.Sauer.NumericalAnalysis.PearsonEducationInc.,2012.

4.《數學軟件技術與工程計算》課程講義.