河北省邢臺市南宮第一中學2021-2022學年高三數(shù)學理模擬試題含解析

河北省邢臺市南宮第一中學2021-2022學年高三數(shù)學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)的零點個數(shù)是（）A．個

B．個

C．個

D．個

參考答案：A略2.設相量=（2，3），=（﹣1，2），若m+與﹣2垂直，則實數(shù)m等于（）A．﹣ B． C． D．﹣參考答案：B【考點】平面向量的坐標運算．【分析】由向量的坐標運算求出m+、﹣2的坐標，由向量垂直的坐標運算列出方程求出m的值．【解答】解：∵=（2，3），=（﹣1，2），∴m+=（2m﹣1，3m+2），﹣2=（4，﹣1），∵m+與﹣2垂直，∴4（2m﹣1）﹣（3m+2）=0，解得m=，故選B．3.已知橢圓的左、右焦點分別為，點P在橢圓上，若P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點，則點P到軸的距離為

。參考答案：答案：4.已知直線l平行于平面，平面垂直于平面，則以下關于直線l與平面的位置關系的表述，正確的是（

）A.l與不平行 B.l與不相交C.l不在平面上 D.l在上，與平行，與相交都有可能參考答案：D【分析】以正方體為載體能推導出直線l平行于平面，平面垂直于平面，從而直線與平面相交、平行或在平面內.【詳解】如下圖所示：在正方體中，平面平面，平面，平面；平面，與平面相交；平面，平面.所以，直線平行于平面，平面垂直于平面，則直線與平面相交、平行或在平面內，故選：D.【點睛】本題考查線面關系有關命題真假的判斷，可以利用簡單幾何體作載體來進行判斷，考查邏輯推理能力，屬于中等題.5.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于A、B兩點,則△OAB(O為坐標原點)的面積為

(

)A. B. C. D.參考答案：D函數(shù)()和函數(shù)的圖象交于A,B兩點,點為坐標原點,由,可得,即,求得,或(舍去),∵,∴或,∴A,B,畫圖象如圖所示,根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性可得的中點,∴,故選.6.已知數(shù)列為等比數(shù)列，是它的前n項和，若，且與的等差中項為，則=（

）A.35

B.33

C.31

D.29參考答案：C7.已知等比數(shù)列的前項和為，則下列不可能成立的是A．

B．C．D．參考答案：A8.要得到函數(shù)y=cos2x的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象沿x軸（）A．向右平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向左平移個單位參考答案：B【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】綜合題．【分析】先根據(jù)誘導公式進行化簡，再由左加右減上加下減的原則可確定函數(shù)y=sin2x到函數(shù)y=cos2x的路線，即可得到選項．【解答】解：函數(shù)y=cos2x=sin（2x+），所以只需把函數(shù)y=sin2x的圖象，向左平移個長度單位，即可得到函數(shù)y=sin（2x+）=cos2x的圖象．故選B．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的平移．三角函數(shù)的平移原則為左加右減上加下減．注意誘導公式的合理運用．9.若雙曲線x2+ky2=1的離心率是2，則實數(shù)k的值是（

）

A．-3

B．

C．3

D．參考答案：B略10.四面體ABCD的四個頂點都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是邊長為3的等邊三角形．若AB=2，則球O的表面積為(

) A．8π B．12π C．16π D．32π參考答案：C考點：球的體積和表面積．專題：球．分析：取CD的中點E，連結AE，BE，作出外接球的球心，求出半徑，即可求出表面積．解答： 解：取CD的中點E，連結AE，BE，∵在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是邊長為3的等邊三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心為G，作OG∥AB交AB的中垂線HO于O，O為外接球的中心，BE=，BG=，

R===2．四面體ABCD外接球的表面積為：4πR2=16π．故選：C．點評：本題考查球的內接體知識，考查空間想象能力，確定球的切線與半徑是解題的關鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設f′（x）為f（x）的導函數(shù)，f″（x）是f′（x）的導函數(shù)，如果f（x）同時滿足下列條件：①存在x0，使f″（x0）=0；②存在?＞0，使f′（x）在區(qū)間（x0﹣?，x0）單調遞增，在區(qū)問（x0，x0+?）單調遞減．則稱x0為f（x）的“上趨拐點”；如果f（x））同時滿足下列條件：①存在x0，使f″（x0）=0；②存在?＞0，使f′（x）在區(qū)間（x0﹣?，x0）單調遞減，在區(qū)間（x0，x0+?）單調遞增．則稱x0為f（x）的“下趨拐點”．給出以下命題，其中正確的是

（只寫出正確結論的序號）①0為f（x）=x3的“下趨拐點”；②f（x）=x2+ex在定義域內存在“上趨拐點”；③f（x）=ex﹣ax2在（1，+∞）上存在“下趨拐點”，則a的取值范圍為（，+∞）；④f（x）=eaxx2（a≠0），x0是f（x）的“下趨拐點”，則x0＞1的必要條件是0＜a＜1．參考答案：①③④考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．專題：計算題；閱讀型；導數(shù)的綜合應用；簡易邏輯．分析：①求導f′（x）=3x2，f″（x）=6x；令f″（x）=6x=0解得x=0；再判斷單調性從而可得0為f（x）=x3的“下趨拐點”；②求導f′（x）=2x+ex，f″（x）=2+ex；易知f′（x）=2x+ex在R上是增函數(shù)，故f（x）=x2+ex在定義域內不存在“上趨拐點”；③求導f′（x）=ex﹣2ax，f″（x）=ex﹣2a，可判斷f″（x）=ex﹣2a在定義域上是增函數(shù)，從而問題轉化為f″（1）=e﹣2a＜0，從而解得；④求導f′（x）=eax﹣x，f″（x）=a?eax﹣1；從而可得a?﹣1=0，即x0=；從而可得＞1，從而解得．解答： 解：①f（x）=x3，f′（x）=3x2，f″（x）=6x；令f″（x）=6x=0解得，x=0；取?=1，則易知f′（x）=3x2在區(qū)間（﹣1，0）單調遞減，在區(qū)間（0，1）單調遞增．故0為f（x）=x3的“下趨拐點”，故①正確；②f（x）=x2+ex，f′（x）=2x+ex，f″（x）=2+ex；易知f′（x）=2x+ex在R上是增函數(shù)，故f（x）=x2+ex在定義域內不存在“上趨拐點”，故②是假命題；③f（x）=ex﹣ax2，f′（x）=ex﹣2ax，f″（x）=ex﹣2a；易知f″（x）=ex﹣2a在定義域上是增函數(shù)，故f（x）=ex﹣ax2在（1，+∞）上存在“下趨拐點”可化為f″（1）=e﹣2a＜0，解得，a＞；故③正確；④f（x）=eaxx2，f′（x）=eax﹣x，f″（x）=a?eax﹣1；∵x0是f（x）的“下趨拐點”，∴a?﹣1=0，∴x0=；∴＞1，∴0＜a＜1；故④正確；故答案為：①③④．點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及學生對新定義的理解與掌握，屬于難題．12.已知，其中是虛數(shù)單位，那么實數(shù)=

.參考答案：2試題分析：由已知，故考點：復數(shù)的運算13.已知函數(shù)，在其定義域內任取兩個不相等的實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是__________．參考答案：

[4,+∞)．14.已知函數(shù)，，則該函數(shù)的值域為

．參考答案：15.已知，且，則____________．參考答案：略16.如右圖，放置的邊長為1的正方形沿軸滾動。設頂點的軌跡方程是，則在其兩個相鄰零點間的圖像與軸所圍區(qū)域的面積為

參考答案：17.定義在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果，使得，則稱為區(qū)間上的“中值點”，下列函數(shù)：①；②；③；④中，在區(qū)間上“中值點”多于一個的函數(shù)序號為__________．（寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號）參考答案：①④①∵，，∴，均符合題意．②∵，．∵，∴，∴，不符合題意；③∵，∴，∴不符合題意；④∵，．∴．符合題意．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖所示，直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AD=2，AB=3，CD=4，P在線段AB上，BP=1，O在CD上，且OP∥AD，將圖甲沿OP折疊使得平面OCBP⊥底面ADOP，得到一個多面體（如圖乙），M、N分別是AC、OP的中點．（1）求證：MN⊥平面ACD；（2）求平面ABC與底面OPAD所成角（銳角）的余弦值．參考答案：考點：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．專題：空間位置關系與距離；空間角．分析：（1）取CD中點Q，結合已知條件，利用線面垂直的判定定理證出OQ垂直于平面ACD，通過證明四邊形OQMN為平行四邊形得到OQ平行于MN，從而證出要證的結論；（2）以O為坐標原點，分別以OP，OD，OC為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，求出平面ABC與底面OPAD的一個法向量，利用法向量所成角的余弦值得到平面ABC與底面OPAD所成角（銳角）的余弦值．解答：（1）證明：如圖，取CD的中點為Q，連接MQ，OQ，因為OC=OD，所以OQ⊥CD，依題意知：面OCD⊥底面OPAD，AD⊥OD，AD⊥平面OCD，而OQ?面OCD，AD⊥OQ，又CD∩AD=D，所以OQ⊥面ACD，MQ是△ACD的中位線，故MQ∥，MQ=，NO∥，NO=，則MQNO，所以MN∥OQ，故MN⊥平面ACD；（2）解：如圖所示，分別以OP，OD，OC為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．B（2，0，1），A（2，2，0）C（0，0，2），底面OPAD的一個法向量，設平面ABC的法向量為，，依題知：，即，令x=1，則y=1，z=2，，所以，故平面ABC與底面OPAD所成角的余弦值為．點評：本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，綜合考查了學生的空間想象能力和思維能力，解答的關鍵是明確折疊問題在折疊前后的變量和不變量，是中檔題．19.在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點O為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，圓的極坐標方程為（1）判斷直線與圓的交點個數(shù)；（2）若圓與直線交于兩點，求線段的長度.參考答案：20.根據(jù)國家環(huán)保部新修訂的《環(huán)境空氣質量標準》規(guī)定：居民區(qū)的年平均濃度不得超過微克/立方米，的24小時平均濃度不得超過微克/立方米．某城市環(huán)保部門隨機抽取了一居民區(qū)去年20天的24小時平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：組別濃度（微克/立方米）頻數(shù)（天）頻率第一組30.15第二組120.6第三組30.15第四組20.1（1）從樣本中的24小時平均濃度超過50微克/立方米的5天中，隨機抽取2天，求恰好有一天的24小時平均濃度超過75微克/立方米的概率；（2）求樣本平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計總體的思想，從的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進？說明理由．參考答案：（1）；（2）去年該居民區(qū)年平均濃度不符合環(huán)境空氣質量標準，故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進．試題分析：（1）利用列舉法求古典概型的概率；（2）計算出去年該居民區(qū)年平均濃度,故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進．試題解析：（1）設的小時平均濃度在內的三天記為，，，的24小時平均濃度在內的兩天記為，．所以5天任取2天的情況有：，，，，，，，，，共10種．其中符合條件的有：，，，，，共6種．所以所求的概率．（2）去年該居民區(qū)年平均濃度為：（微克/立方米）．因為，所以去年該居民區(qū)年平均濃度不符合環(huán)境空氣質量標準，故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進．考點：1.古典概型的計算；2.樣本平均數(shù)的計算公式.21.已知橢圓經過點,左、右焦點分別F1、F2，橢圓的四個頂點圍成的菱形面積為.(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)設Q是橢圓C上不在x軸上的一個動點,O為坐標原點,過點F2作OQ的平行線交橢圓于M、N兩點，求的值.參考答案：(Ⅰ)解:由題知

解得

…………(3分)則橢圓的標準方程為.

……………(4分)(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知,,

…………(5分)

設直線，則直線