2022-2023學(xué)年北京市東城區(qū)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年北京市東城區(qū)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在平面直角坐標(biāo)系中，若角以軸非負(fù)半軸為始邊，其終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的一個(gè)可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)判斷即可.【詳解】依題意可得，則或，所以的一個(gè)可能取值為.故選：B2．下列命題正確的是（

）A．單位向量都相等 B．任一向量與它的相反向量不相等C．平行向量不一定是共線向量 D．模為的向量與任意非零向量共線【答案】D【分析】根據(jù)單位向量、零向量、共線向量的定義判斷即可.【詳解】對(duì)于A：?jiǎn)挝幌蛄看笮∠嗟榷际?，但方向不一定相同，故單位向量不一定相等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：零向量與它的相反向量相等，故B錯(cuò)誤．對(duì)于C：平行向量一定是共線向量，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：模為的向量為零向量，零向量與任非零意向量共線，故D正確；故選：D．3．已知角的終邊在第三象限，且，則（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】由同角之間的公式可求得，進(jìn)而得解.【詳解】由角的終邊在第三象限，則由題設(shè)知，解得，所以故選：C4．已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用向量線性運(yùn)算即可得到答案.【詳解】由題意作出圖形,如圖,則，故選：A.5．已知向量，，則A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所?（5，7），故選A.【解析】本小題主要考查平面向量的基本運(yùn)算，屬容易題.6．已知點(diǎn)則與同方向的單位向量為A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：,所以與同方向的單位向量為，故選A.【解析】向量運(yùn)算及相關(guān)概念.7．向量在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則（

）A． B．4 C．2 D．【答案】A【分析】將，，平移至同一個(gè)起點(diǎn)并構(gòu)建直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)向量的坐標(biāo)，再應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求.【詳解】將，，平移至同一個(gè)起點(diǎn)位置，如下圖點(diǎn)位置，建立直角坐標(biāo)系，則，所以.故選：A8．設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由題意結(jié)合向量的減法公式和向量的運(yùn)算法則考查充分性和必要性是否成立即可.【詳解】∵A?B?C三點(diǎn)不共線,∴|+|>|||+|>|-||+|2>|-|2?>0與的夾角為銳角.故“與的夾角為銳角”是“|+|>||”的充分必要條件,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查充要條件的概念與判斷?平面向量的模?夾角與數(shù)量積,同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想.9．已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞減【答案】C【分析】綜合應(yīng)用三角函數(shù)的二倍角公式和單調(diào)性即可解決問(wèn)題.【詳解】依題意可知，，記，則，對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋?，則在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，則在上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋裕瑒t在上單調(diào)遞減，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋?，則在上不單調(diào)，故D錯(cuò)誤.故選：C.10．若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可得對(duì)稱中心，即可求得最小正周期，從而可求的值，結(jié)合圖象代入已知點(diǎn)坐標(biāo)即可得的值.【詳解】由圖可知，所以是的一個(gè)對(duì)稱中心，由圖象可得最小正周期滿足：，則，又，所以，則由圖象可得，，所以，，又，所以.故選：A.11．中，，，分別是內(nèi)角，，的對(duì)邊，若且，則的形狀是（

）A．底角是的等腰三角形 B．等邊三角形C．三邊均不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】由得到，再利用余弦定理求出，即可得解.【詳解】在，上分別取，，使，，以，為鄰邊作平行四邊形，則四邊形為菱形，連接，，則平分，，，，，，又，，且，，即，，由余弦定理得，，，，是底角是的等腰三角形．

故選：A．12．在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?，所以在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因?yàn)椋?，即；故選：D

二、雙空題13．已知，則，．【答案】【分析】利用同角關(guān)系即可計(jì)算第一個(gè)填空；利用二倍角公式即可計(jì)算第二個(gè)填空.【詳解】因?yàn)?所以,.故答案為:.三、填空題14．若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后得到的函數(shù)圖象的解析式為．【答案】【分析】利用左加右減的原則，直接推出平移后的函數(shù)解析式即可．【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后所得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式為：．故答案為：．15．已知向量，，且，則.【答案】2【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，即，解?故答案為：216．已知函數(shù)．若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的一個(gè)取值可以為．【答案】（不唯一）【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以有，因此的一個(gè)取值可以為，故答案為：17．在梯形中，，，，，是的中點(diǎn)，則=【答案】14【分析】把看成基底，將用基底表示，然后利用數(shù)量積運(yùn)算律求解即可【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，，，所以，故答案為?4四、雙空題18．在中，，，，則，．【答案】/【分析】利用余弦定理求出，再由正弦定理求出，即可求出.【詳解】，，，由余弦定理得，即，即，解得或（舍去），，則，，由正弦定理得，，，，．故答案為：；．19．已知平面向量，的夾角為120°，且，，則的值為，的最小值為．【答案】【分析】直接利用向量數(shù)量積的定義求解的值，由已知條件可得，配方后可求得其最小值【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄?，的夾角為120°，且，，所以，，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，故答案為：，五、填空題20．正的邊長(zhǎng)為1，中心為O，過(guò)O的動(dòng)直線l與邊AB，AC分別相交于點(diǎn)M，N，，．給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②若，則③不是定值，與直線l的位置有關(guān)；④與的面積之比的最小值為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②④【分析】利用向量加法的平行四邊形法則可判斷①；利用向量數(shù)量積的定義可判斷②；根據(jù)三點(diǎn)共線即可判斷③；由三角形的面積公式結(jié)合③，利用基本不等式即可判斷④.【詳解】

對(duì)于①，由,故①正確；對(duì)于②，，故②正確；對(duì)于③，由①，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④,,又且，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即與之比的最小值為，故④正確.故答案為:①②④.六、解答題21．已知向量．(1)若∥，求實(shí)數(shù)t的值；(2)若，求與夾角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出和的坐標(biāo)，再由∥列方程可求出實(shí)數(shù)t的值；（2）由，得，求出t的值，再利用向量的夾角公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，所以∥，所以，解得；?）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，得，所以，設(shè)與夾角為，則，所以與夾角的余弦值為.22．已知函數(shù)，且的圖象相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為．(1)求的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)函數(shù)的大小求出函數(shù)的周期，然后求出的值即可．（2）由的取值范圍，求出的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值即可．【詳解】（1）因?yàn)?，的圖象相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為，，即，則，，即．（2）當(dāng)，則，則當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，且，若不等式恒成立，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．23．已知(1)若，且，求x的值；(2)設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)(2)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【分析】（1）由題意利用兩個(gè)向量平行的性質(zhì)，求得的值，可得的值；（2）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求得的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求得的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，化?jiǎn)可得，即，所以得，因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以，化?jiǎn)可得，所以即，因?yàn)?，，所以，令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，令，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.24．在中，P為邊AB上的一點(diǎn)，，且，設(shè)．(1)設(shè)，試求x，y的值；(2)試求的值；(3)試求的余弦值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）由向量的線性運(yùn)算可解；（2）由平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律求解；（3）由向量夾角公式求解.【詳解】（1）由題意，，所以，；（2）由（1）可得，；（3）由（1）可得，，.25．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，向量，向量，且．(1)求；(2)若的面積為，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求的值條件①：，條件；②：條件；③：．注．如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）由平面向量的共線定理和正弦定理求出，進(jìn)而求得的值；（2）若選①，由正弦定理求得，判斷為銳角或鈍角兩種情況，存在且不唯一．若選擇②：由的面積求出，再根據(jù)列方程組求出、，利用余弦定理求得；若選擇③：由求得，再求，設(shè)外接圓的半徑為，利用的面積求出，再計(jì)算．【詳解】（1）因?yàn)橄蛄浚蛄?，且，所以，由正弦定理得，在中，，，可得，即，又，所以；?）若選①：，由（1）知，根據(jù)正弦定理得，所以，即，且，所以角為銳角或鈍角兩種情況，存在且不唯一，不滿足題意．若選擇②：，因?yàn)榈拿娣e為，解得，由，得，所以，解得（負(fù)值舍去），所以，由余弦定理得，解得；若選擇③：，所以，所以，設(shè)外接圓的半徑為，則，，所以，解得，所以．26．設(shè)正整數(shù)，集合，對(duì)于集合中的任意元素和，及實(shí)數(shù)，定義：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)；；.若的子集滿足：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，則稱為的完美子集.(1)當(dāng)時(shí)，已知集合，.分別判斷這兩個(gè)集合是否為的完美子集，并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)時(shí)，已知集合.若不是的完美子集，求的值；(3)已知集合，其中.若對(duì)任意都成立，判斷是否一定為的完美子集.若是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不是，請(qǐng)給出反例.【答案】(1)是完美子集，不是完美子集，理由見(jiàn)解析(2)(3)一定是的完美子集，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)完美子集的定義，設(shè)，列方程組求得，，的值即可判斷；（2）由題意可得：存在，使得，列出方程組，解方程組求出的值即可求解；（3）假設(shè)存在不全為的實(shí)數(shù)、、滿足