信號與線性系統(tǒng)分析-第4章-課件

4.1信號分解為正交函數(shù)在線性空間中，任何矢量可用相互垂直的單位矢量表示。這組矢量稱為正交矢量集。一.正交函數(shù)集

正交函數(shù)：函數(shù)1(t)和2(t)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交，則

正交函數(shù)集：n個函數(shù)1(t)，…，n(t)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)構(gòu)成的正交函數(shù)集{i(t)}滿足14.1信號分解為正交函數(shù)在線性空間中，任何矢量可用相互垂直Ki為常數(shù)，如果Ki＝1，則稱該函數(shù)集為歸一化正交函數(shù)集。完備正交函數(shù)集：在正交函數(shù)集之外，不存在函數(shù)與之正交。 一個完備的正交函數(shù)集通常包括無窮多個函數(shù)。正交復(fù)函數(shù)的定義：正交函數(shù)集例：（在區(qū)間[t0，t0+T]，且T=2）三角函數(shù)集：{1，cos(nt)，sin(nt)；n＝1，2，3，…}復(fù)指數(shù)函數(shù)集：{ejnt；n＝0，1，2，…}2Ki為常數(shù)，如果Ki＝1，則稱該函數(shù)集為歸一化正交函數(shù)集。二.信號分解為正交函數(shù)

對任一函數(shù)f(t)用n個正交函數(shù)的線性組合來近似選擇Cj時使實際函數(shù)與近似函數(shù)之間的誤差最小，取均方誤差要使均方誤差最小，就是求函數(shù)的極值。對上式求極值得3二.信號分解為正交函數(shù)選擇Cj時使實際函數(shù)與近似函數(shù)之間于是可得誤差均方誤差總是大于等于0，增大n可使誤差減小。4于是可得誤差均方誤差總是大于等于0，增大n可使誤差減小。當(dāng)n，誤差為0，則有帕斯瓦爾(Parseval)方程帕斯瓦爾方程物理意義：如果f(t)是電壓或電流信號，則單位電阻上信號的總能量等于信號的各正交分量的能量之和。因此f(t)在區(qū)間(t1,t2)可分解為無窮多項正交函數(shù)之和5當(dāng)n，誤差為0，則有帕斯瓦爾(Parseval)方程帕斯4.2傅里葉級數(shù)周期信號在區(qū)間(t0，t0＋T)上可以展開成在完備正交信號空間中的無窮級數(shù)。三角函數(shù)集或復(fù)指數(shù)函數(shù)集是完備的正交函數(shù)集，由其展開的級數(shù)統(tǒng)稱為傅里葉級數(shù)。一.周期信號的分解設(shè)有周期信號f(t)，可分解為an、bn稱為傅里葉系數(shù)?？捎上率角蟮?4.2傅里葉級數(shù)周期信號在區(qū)間(t0，t0＋T)上可以展開an是n的偶函數(shù)，即a?n＝an； bn是n的奇函數(shù)，即b?n＝?bn。f(t)分解式的另一種形式式中 A0=a07an是n的偶函數(shù)，即a?n＝an；式中 A0=例：將方波信號展開為傅里葉級數(shù)。1f(t)t-T-1T解：傅里葉系數(shù)為8例：將方波信號展開為傅里葉級數(shù)。1f(t)t-T-1T解：傅里葉級數(shù)的展開式為9傅里葉級數(shù)的展開式為9 圖示方波信號分解 吉布斯(Gibbs)現(xiàn)象：當(dāng)n時，在間斷點處有9%的偏差。 如果方波信號如圖所示1f(t)t-T-1T則傅里葉級數(shù)的展開式為10 圖示方波信號分解1f(t)t-T-1T則傅里葉級數(shù)的展開式二.奇、偶函數(shù)的傅里葉系數(shù)

根據(jù)傅里葉系數(shù)計算式，f(t)為偶函數(shù)，則系數(shù)為f(t)為奇函數(shù)，則系數(shù)為11二.奇、偶函數(shù)的傅里葉系數(shù)根據(jù)傅里葉系數(shù)計算式，f(t)任何函數(shù)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分 f(t)＝fod(t)＋fev(t)由于 f(?t)＝fod(?t)＋fev(?t)＝?fod(t)＋fev(t)所以例f(t)=e?t(t)，則0tf(t)0.5?0.50tf(t)0.512任何函數(shù)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分例f(t)=e?tFf(t)t-TTFf(-t)t-TTFfod(t)t-TTFfev(t)t-TT半波整流波形13Ff(t)t-TTFf(-t)t-TTFfod(t)t-TT全波整流信號f1(t)=E|sin0t|Ef1(t)t-TT14全波整流信號Ef1(t)t-TT14求半波整流信號f2(t)＝Esin(0t)(sin0t)的傅立葉級數(shù)。Ef2(t)t-TT半波整流信號是由奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分組成的：15求半波整流信號f2(t)＝Esin(0t)(sin0tf(t)為奇諧函數(shù)：將f(t)移動T/2后，與原波形反相，即對稱于橫軸 f(t)＝?f(tT/2)1f(t)t-TT奇諧函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式中只含奇次諧波，不含偶次諧波。16f(t)為奇諧函數(shù)：將f(t)移動T/2后，與原波形反相，三.傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式因為cosx＝(ejx＋e?jx)/2，所以A?n＝An?n＝?n17三.傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式因為cosx＝(ejx＋e?jx Fn稱為復(fù)傅里葉系數(shù)，計算式為18 Fn稱為復(fù)傅里葉系數(shù)，計算式為18傅里葉級數(shù)小結(jié)：19傅里葉級數(shù)小結(jié)：194.3周期信號的頻譜一.周期信號的頻譜周期信號的傅里葉級數(shù)An、Fn、n與n有關(guān)，也即與頻率有關(guān)。An或|Fn|與之間的關(guān)系稱為幅頻特性，相應(yīng)地可畫出頻譜圖，稱為幅度頻譜。

n與之間的關(guān)系稱為相位頻譜。周期信號的頻譜只在＝n處取值，是離散頻譜。

204.3周期信號的頻譜一.周期信號的頻譜An、Fn、Sa(x)二.周期矩形脈沖的頻譜01T/2-T-/2f(t)t定義取樣函數(shù)為Sa(x)為偶函數(shù)21Sa(x)二.周期矩形脈沖的頻譜01T/2-T-/2f所以在頻譜圖上＝n處，存在譜線，譜線間隔為。T不變：減小，幅度減小，一周內(nèi)譜線增加，間隔不變。不變：T增加，幅度減小，譜線間隔變密。圖示頻譜圖。信號能量集中在第一個零點內(nèi)，＝2/＝2f0

。定義周期矩形脈沖信號的頻帶寬度為：F=f0=1/。22所以在頻譜圖上＝n處，存在譜線，譜線間隔為。T不變：三.周期信號的功率周期信號的歸一化平均功率這是功率形式的帕斯瓦爾恒等式。例：幅度為1，脈沖寬度為0.2，周期為1的矩形脈沖信號，信號功率為23三.周期信號的功率這是功率形式的帕斯瓦爾恒等式。23其傅里葉系數(shù)為第一個零點為0.2n=，即n=5。在頻譜第一個零點內(nèi)各分量的功率和為第一個零點內(nèi)分量所占總功率的比例為24其傅里葉系數(shù)為第一個零點為0.2n=，即n=5。第一個零4.4非周期信號的頻譜一.傅里葉變換由傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式及其系數(shù)可得當(dāng)T時，d，1/Td/2，n，離散頻率變成連續(xù)頻率，F(xiàn)n為無窮小。上式成為254.4非周期信號的頻譜一.傅里葉變換當(dāng)T時，d常用下面符號簡記： F(j)＝F

[f(t)]F[f(t)]表示對函數(shù)f(t)取傅里葉變換，F(xiàn)(j)稱為f(t)的頻譜密度函數(shù)或頻譜函數(shù)； f(t)＝F

?1[F(j)]F

?1[F(j)]表示對函數(shù)F(j)取逆變換

，f(t)稱為F(j)的原函數(shù)。對應(yīng)關(guān)系簡記為：f(t)F(j)頻譜函數(shù)是的復(fù)函數(shù) F(j)＝|F(j)|ej()＝R()＋jX()其中|F(j)|為幅度頻譜，()為相位頻譜。26常用下面符號簡記：26比較：實函數(shù)f(t)，復(fù)函數(shù)F(j)，復(fù)變函數(shù)F(s)。傅里葉變換的三角函數(shù)形式物理意義：非周期信號含有所有連續(xù)頻率分量，但其幅值為無窮小，用密度代替幅度來表示。傅里葉積分由傅里葉級數(shù)推導(dǎo)而得，所以f(t)在無限區(qū)間上滿足狄氏條件是傅里葉積分存在的條件。|F(j)|是偶函數(shù)該項積分為027比較：實函數(shù)f(t)，復(fù)函數(shù)F(j)，復(fù)變函數(shù)F(s)。物一些特殊函數(shù)的傅里葉變換(1)門函數(shù)的頻譜函數(shù)門函數(shù)g(t)＝(t＋/2)?(t?/2)頻譜圖傅里葉積分存在的充分條件是f(t)在無限區(qū)間上絕對可積f(t)t/21028一些特殊函數(shù)的傅里葉變換頻譜圖傅里葉積分存在的充分條件是f(2)單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)單邊指數(shù)函數(shù) f(t)＝e?t(t)>0幅度譜和相位譜分別為0tf(t)29(2)單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)幅度譜和相位譜分別為0tf(3)雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)雙邊指數(shù)函數(shù) f1(t)＝e?|t|

>0(4)另一形式的雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)雙邊指數(shù)函數(shù)(>0)30(3)雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)(4)另一形式的雙邊指數(shù)函數(shù)二.奇異函數(shù)的傅里葉變換(1)沖激函數(shù)的頻譜

頻譜密度恒為1，稱為均勻譜或白色頻譜。沖激函數(shù)的頻譜也可由門函數(shù)推得(t)131二.奇異函數(shù)的傅里葉變換(1)沖激函數(shù)的頻譜頻譜密度(2)沖激函數(shù)導(dǎo)數(shù)的頻譜即'(t)j幅度譜|F(j)|＝，相位譜()＝/2。根據(jù)廣義函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義可得F

[(n)(t)]＝(j)n。(3)單位直流信號的頻譜單位直流信號可看作雙邊指數(shù)函數(shù)f1(t)當(dāng)0時的極限直流分量為有限值，頻譜密度為無窮。32(2)沖激函數(shù)導(dǎo)數(shù)的頻譜即頻譜函數(shù)是沖激函數(shù)，其強度為所以(4)符號函數(shù)的頻譜

符號函數(shù)定義為1sgn(t)t0-133頻譜函數(shù)是沖激函數(shù)，其強度為所以(4)符號函數(shù)的頻譜1sgn(t)可看作是雙邊指數(shù)函數(shù)f2(t)當(dāng)0時的極限，其頻譜函數(shù)為通常表示為sgn(t)2/j(5)階躍函數(shù)的頻譜

34sgn(t)可看作是雙邊指數(shù)函數(shù)f2(t)當(dāng)0時的極限，常用函數(shù)的傅里葉變換：35常用函數(shù)的傅里葉變換：354.5傅里葉變換的性質(zhì)(1)線性 若 fi(t)Fi(j)(i=1,2,…,n) 則對任意常數(shù)ai(i=1,2,…,n)，有

傅里葉變換對傅立葉變換后線性性質(zhì)不變。364.5傅里葉變換的性質(zhì)(1)線性傅里葉變換對傅立葉變換(2)奇偶性分析頻譜函數(shù)的奇偶性，及其與時間函數(shù)之間的關(guān)系。頻譜函數(shù)的實部和虛部分別為頻譜函數(shù)的模和相角分別為37(2)奇偶性分析頻譜函數(shù)的奇偶性，及其與時間函數(shù)之間的關(guān)系f(t)是時間t的實函數(shù)： R()=R(?),X()=?X(?) |F(j)|=|F(?j)|,()=?(?) 若f(t)是偶函數(shù)，則X()＝0，F(xiàn)(j)＝R()； 若f(t)是奇函數(shù)，則R()＝0，F(xiàn)(j)＝j(luò)X()。 f(?t)的傅里葉變換為＝F(?j)＝R(?)＋jX(?)＝R()?jX()＝F*(j)即F

[f(?t)]＝F(?j)＝F*(j)38f(t)是時間t的實函數(shù)：f(t)是時間t的虛函數(shù)，即f(t)=jg(t)，則有 R()=?R(?),X()=X(?) |F(j)|=|F(?j)|,()=?(?)

F

[f(?t)]＝F(?j)=?F*(j) 類似可得f(t)為復(fù)函數(shù)的性質(zhì)。無論f(t)為實函數(shù)或復(fù)函數(shù)，都有

F

[f(?t)]=F(?j)

F

[f*(t)]=F*(?j)

F

[f*(?t)]=F*(j)39f(t)是時間t的虛函數(shù)，即f(t)=jg(t)，則有39(3)對稱性 若 f(t)F(j) 則 F(jt)2f(?) 傅里葉逆變換式將式中的自變量t換為?t得將上式中的t換為，換為t，即得40(3)對稱性 若 f(t)F(j)將式中的例：求取樣函數(shù)Sa(t)=sint/t的頻譜函數(shù)。門函數(shù)傅氏變換 g(t)

Sa(/2)

根據(jù)對稱性Sa(t/2)2g(?)令＝2，則得 Sa(t)

g2()例：求函數(shù)f(t)=t的頻譜函數(shù)。

'(t)j jt2'(?)=?2'() tj2'()41例：求取樣函數(shù)Sa(t)=sint/t的頻譜函數(shù)。41(4)尺度變換 若 f(t)F(j) 則如a>1，則表示在時域中信號對時間的壓縮，對應(yīng)其在頻域中信號占有頻帶的擴展。證明：令x=at，則當(dāng)a>0時42(4)尺度變換 若 f(t)令x=t?t0(5)時移特性

當(dāng)a<0時 若 f(t)F(j) 則f(tt0)ejt0F(j)，(t0為常數(shù))證明：同理可得f(t+t0)的變換。43令x=t?t0(5)時移特性當(dāng)a<0時 若 例：求圖示五脈沖信號的頻譜。解：單脈沖信號的變換為g(t)Sa(/2)

因為f(t)＝g(t)+g(t+T)+g(t?T)+g(t+2T)+g(t?2T)所以F(j)＝Sa(/2)(1+ejT+e?jT+ej2T+e?j2T)＝Sa(/2)[1+2cos(T)+2cos(2T)]當(dāng)T＝4時波形見圖4.5-4。f(t)t/2T10-T2T-2T脈沖數(shù)n→？44例：求圖示五脈沖信號的頻譜。解：單脈沖信號的變換為f(t)t綜合尺度變換和時移特性有 若 f(t)F(j) 則由尺度變換可得反轉(zhuǎn)特性:F

[f(?t)]＝F(?j)例：求圖示f2(t)、f3(t)函數(shù)的傅里葉變換。f1(t)t-1110f2(t)t-2210-1f3(t)t-1110-145綜合尺度變換和時移特性有由尺度變換可得反轉(zhuǎn)特性:F解：f1(t)為門函數(shù)，其傅里葉變換為 g2(t)2Sa()函數(shù)f2(t)可表示為 f2(t)=f1(t+1)－f1(t?1)其傅里葉變換 又f3(t)=f2(2t)，所以46解：f1(t)為門函數(shù)，其傅里葉變換為又f3(t)=f2(2f3(t)也可直接由綜合變換式求得f3(t)=g2(2t+1)?g2(2t?1) g2(t)2Sa()47f3(t)也可直接由綜合變換式求得47(6)頻移特性 若 f(t)F(j)，且0為常數(shù) 則應(yīng)用頻移特性實現(xiàn)頻譜搬移，將信號f(t)乘以載頻信號cos0t或sin0t得到。因為同理可得48(6)頻移特性 若 f(t)F(j)，且0例：矩形調(diào)幅信號49例：矩形調(diào)幅信號49(7)卷積定理時域卷積定理若 f1(t)F1(j) f2(t)F2(j)則 f1(t)*f2(t)F1(j)·F2(j)

證明：50(7)卷積定理時域卷積定理50頻域卷積定理若 f1(t)F1(j) f2(t)F2(j)則證明：51頻域卷積定理證明：51例：求斜升函數(shù)r(t)=t(t)的頻譜。解：根據(jù)函數(shù)t和(t)的頻譜，應(yīng)用頻域卷積定理由此可得：

F

[|t|]=F

[t(t)+(?t)(?t)]52例：求斜升函數(shù)r(t)=t(t)的頻譜。由此可得：(8)時域微分和積分時域微分定理 若 f(t)F(j) 則 f(n)(t)(j)nF(j)根據(jù)卷積的微分運算和時域卷積定理，則有

F

[f'(t)]=F

[f(t)*'(t)]=F

[f(t)]·F

['(t)]=jF(j)重復(fù)應(yīng)用以上結(jié)果得時域微分定理。在交流電路分析時：時域積分定理 若 f(t)F(j) 則f(?1)(t)

F(0)()+(j)?1F(j)

53(8)時域微分和積分時域微分定理=F[f(t)]·F根據(jù)時域卷積定理，可得

F

[f(?1)(t)]=F

[f(?1)(t)*(t)]=F

[f(t)*(?1)(t)] =F

[f(t)]·F

[(t)]=F(j)[()+1/j] =F(0)()+F(j)/j

F(0)可以在頻域中求，也可在時域中求：54根據(jù)時域卷積定理，可得54例：求三角形脈沖的頻譜函數(shù)。f(t)t-/2/210f'(t)t-/2/22/0-2/f"(t)t-/2/20(2/)(2/)(-4/)對其求二次導(dǎo)數(shù)得沖激函數(shù)55例：求三角形脈沖的頻譜函數(shù)。f(t)t-/2/210ff(t)的頻譜函數(shù)為因為F(0)=0，F(xiàn)(j)/j|=0=0，所以f(t)的頻譜函數(shù)為則三角形脈沖可表示為56f(t)的頻譜函數(shù)為因為F(0)=0，F(xiàn)(j)/j|=則頻譜函數(shù)應(yīng)為在時域積分定理中認(rèn)為實際上例：(t)與sgn(t)/2的導(dǎo)數(shù)都是(t)，但?時值不同57則頻譜函數(shù)應(yīng)為在時域積分定理中認(rèn)為實際上例：(t)與sgn(9)頻域微分和積分

頻域微分 若 f(t)F(j) 則 (?jt)nf(t)F(n)(j)或 tnf(t)jnF(n)(j) 證： F

?1[F'(j)]=F

?1[F(j)*'()] =2F

?1[F(j)]·F

?1['()]即(?jt)1f(t)F(1)(j)類推可得n次微分。時域函數(shù)有tn因子時，變換可考慮用頻域微分性質(zhì)。58(9)頻域微分和積分頻域微分即頻域積分 若 f(t)F(j) 則式中f(0)可以在時域中求，也可在頻域中求證明：

F

?1[F(?1)(j)]=F

?1[F(j)*(?1)()] =2F

?1[F(j)]·F

?1[()]=2f(t)·F

?1[()]59頻域積分式中f(0)可以在時域中求，也可在頻域中求證明：59時域函數(shù)有t?1因子時，且f(0)=0，可考慮用如下頻域積分性質(zhì)因為根據(jù)對稱性取反轉(zhuǎn)60時域函數(shù)有t?1因子時，且f(0)=0，可考慮用如下頻域積分例：求r(t)=t(t)的頻譜函數(shù)。例：求Sa(t)=sint/t的頻譜函數(shù)。應(yīng)用頻域微分應(yīng)用頻域積分61例：求r(t)=t(t)的頻譜函數(shù)。例：求Sa(t)=si若

f1(t)F1()，f2(t)F2()則有相關(guān)定理

F

[R12()]=F1(j)F2*(j)

F

[R21()]=F1*(j)F2(j)這是因為

F

[R12()]=F

[f1()*f2(?)]=F1(j)F2(?j)=F1(j)F2*(j)相關(guān)定理中f1(t)、f2(t)應(yīng)該是實函數(shù)。對于自相關(guān)函數(shù)則有

F

[R()]=F(j)F*(j)=|F(j)|2(10)相關(guān)定理62若f1(t)F1()，傅里葉變換性質(zhì)小結(jié)線性 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(j)+a2F2(j)奇偶性f(t)為實函數(shù)：R()、|F(j)|偶函數(shù)；X()、()奇函數(shù)。F

[f(?t)]=F(?j)=F*(j)對稱性 F(jt)2f(?)時移特性尺度變換63傅里葉變換性質(zhì)小結(jié)線性 a1f1(t)+a2f2(時域卷積定理 f1(t)*f2(t)F1(j)·F2(j)頻域卷積定理時域微分 f(n)(t)(j)nF(j)時域積分頻域微分 (?jt)nf(t)F(n)(j)頻域積分頻移特性64時域卷積定理 f1(t)*f2(t)F1(j) 若E、P有界，則f(t)稱為能量信號或功率信號。能量譜若f(t)為實函數(shù)，信號能量與頻譜函數(shù)的關(guān)系

4.6能量譜和功率譜65 若E、P有界，則f(t)稱為能量信號或功率信號。4.6能即上式也是能量形式的帕斯瓦爾方程。可將上式改寫為物理意義：在df頻帶范圍內(nèi)，信號具有的能量為無窮小量|F(j)|2df。定義能量密度譜

E

()=|F(j)|2信號的能量譜是其自相關(guān)函數(shù)的頻譜函數(shù)

E

()=F

[R()]=|F(j)|2E

()反映了信號的能量在頻域中的分布。66即上式也是能量形式的帕斯瓦爾方程。物理意義：在df頻帶功率譜定義函數(shù)fT(t)=f(t)[(t+T/2)?(t?T/2)]FT(j)=F

[fT(t)]如果f(t)是實函數(shù)，則信號平均功率為當(dāng)T時，fT(t)f(t)。定義功率密度譜為功率譜P()反映信號功率在頻域中分布。67功率譜當(dāng)T時，fT(t)f(t)。定義功率密度譜為功若f1(t)和f2(t)是功率信號，定義互相關(guān)函數(shù)為若f(t)是功率信號，定義自相關(guān)函數(shù)為其傅立葉變換為68若f1(t)和f2(t)是功率信號，定義互相關(guān)函數(shù)為若f(t即R()P()此即維納-欣欽關(guān)系，據(jù)此可用功率譜描述隨機信號的頻率特性。例：求信號f(t)=Sa(t)的能量。解：已知變換對根據(jù)信號的能量與頻譜函數(shù)關(guān)系式，Sa(t)的能量為69即4.7周期信號的傅里葉變換一.正、余弦函數(shù)的傅里葉變換二.一般周期函數(shù)的傅里葉變換

周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)式中=2/T。704.7周期信號的傅里葉變換一.正、余弦函數(shù)的傅里葉變換二周期函數(shù)的傅里葉變換 上式表明周期函數(shù)的F(j)和Fn之間關(guān)系。傅里葉變換得到的是頻譜密度F(j)，傅里葉級數(shù)得到的是傅里葉系數(shù)Fn。周期性單位沖激函數(shù)系列稱為梳狀函數(shù)71周期函數(shù)的傅里葉變換 上式表明周期函數(shù)的F(j)和Fn之所以T(t)的傅里葉變換為梳狀函數(shù)的傅里葉系數(shù)為0-2T-TT2TT(t)t0-2-2()72所以T(t)的傅里葉變換為梳狀函數(shù)的傅里葉系數(shù)為0-2周期信號fT(t)在一個周期內(nèi)(?T/2~T/2)函數(shù)令為f0(t)，則 fT(t)=f0(t)*T(t)(見P71)其傅里葉變換為比較可得傅里葉變換中的一些性質(zhì)、定理也可用于傅里葉級數(shù)。主周期信號f0(t)包含了周期信號fT(t)的全部信息。73周期信號fT(t)在一個周期內(nèi)(?T/2~T/2)函數(shù)令為f則其傅里葉變換為例：周期矩形脈沖信號其傅里葉系數(shù)為74則其傅里葉變換為例：周期矩形脈沖信號其傅里葉系數(shù)為747575例：將圖示周期信號展開成指數(shù)型傅里葉級數(shù)。fT(t)0t1T-T解：f1(t)的傅里葉變換為f0(t)的傅里葉變換為f0(t)0t1Tf1(t)0t1T/276例：將圖示周期信號展開成指數(shù)型傅里葉級數(shù)。fT(t)0t1TfT(t)的傅里葉系數(shù)為fT(t)的傅里葉級數(shù)為實際上77fT(t)的傅里葉系數(shù)為fT(t)的傅里葉級數(shù)為實際上74.8LTI系統(tǒng)的頻域分析一.頻率響應(yīng)

系統(tǒng)的時域分析法用(t)或(t)作為基本信號，系統(tǒng)的頻域分析法可用虛指數(shù)函數(shù)ejt作為基本信號。在時域分析中，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為 yzs(t)=h(t)*f(t)應(yīng)用傅里葉變換的時域卷積性質(zhì)，上式成為 yzs(t)=F

?1[H(j)·F(j)]頻域分析法就是應(yīng)用頻域函數(shù)分析系統(tǒng)的響應(yīng)，將時域中的卷積運算變換為頻域中的相乘運算。由于在頻域分析時，只能求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，因此以下yzs(t)簡寫為y(t)。784.8LTI系統(tǒng)的頻域分析一.頻率響應(yīng)78LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，設(shè)激勵為虛指數(shù)函數(shù)f(t)=ejt(?<t<)，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)=h(t)*f(t)式中H(j)是h(t)的傅里葉變換，稱為系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)或系統(tǒng)函數(shù)。H(j)反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位變化。任意信號f(t)可以看作無窮多個虛指數(shù)信號ejt之和，即79LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，設(shè)激勵為虛指數(shù)函數(shù)f(t)=任意信號激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)的推導(dǎo)：H(j)也可定義為|H(j)|稱為幅頻特性，()稱為相頻特性。80任意信號激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)的推導(dǎo)：H(j)也可定義為|H例：求系統(tǒng)y'(t)+2y(t)=f(t)的零狀態(tài)響應(yīng)，f(t)=e?t(t)。解：對微分方程取傅里葉變換得 jY(j)+2Y(j)=F(j)由此得激勵的傅里葉變換響應(yīng)的傅里葉變換取傅里葉逆變換得系統(tǒng)響應(yīng)y(t)=(e?t－e?2t)(t)81例：求系統(tǒng)y'(t)+2y(t)=f(t)的零狀態(tài)響應(yīng)，f(例：電路如圖所示，激勵為us(t)=(t)，求零狀態(tài)響應(yīng)uC(t)。+CR_+us(t)_uC(t)解：電路頻率響應(yīng)函數(shù)為激勵的傅里葉變換82例：電路如圖所示，激勵為us(t)=(t)，求零狀態(tài)響應(yīng)u電路零狀態(tài)響應(yīng)uC(t)的頻譜函數(shù)為取傅里葉逆變換得uC(t)=F

1[UC(j)]=(1et)(t)根據(jù)交流電路建立電路方程的方式，得到頻率響應(yīng)函數(shù)，由H(j)可求得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。83電路零狀態(tài)響應(yīng)uC(t)的頻譜函數(shù)為取傅里葉逆變換得83例：求圖示系統(tǒng)的輸出y(t)。已知f(t)s(t)x(t)y(t)H(j)解：門函數(shù)的頻譜函數(shù)為取＝4，根據(jù)對稱性可得 4Sa(2t)2g4(?)=2g4()即 F

[sin(2t)/t]=g4()s(t)的頻譜函數(shù)為 F

[cos(3t)]=[(+3)+(?3)]84例：求圖示系統(tǒng)的輸出y(t)。已知f(t)s(t)x(t)y根據(jù)系統(tǒng)圖得 y(t)=h(t)*x(t)=h(t)*[f(t)·s(t)]取傅里葉變換得85根據(jù)系統(tǒng)圖得85取逆變換可得-11X(j)5-5g4(+3)+g4(?3)H(j)3-3g6()Y(j)-113-3g2(+2)+g2(?2)86取逆變換可得-11X(j)5-5g4(+3)+g4(二.無失真?zhèn)鬏敓o失真?zhèn)鬏數(shù)妮敵鲂盘柖x為：y(t)=Kf(t?td)對上式取傅里葉變換得：Y(j)=Ke?jtdF(j)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為：H(j)=Ke?jtd

所以無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件為 |H(j)|=K ()=?td

|H(j)|0K()087二.無失真?zhèn)鬏敓o失真?zhèn)鬏數(shù)妮敵鲂盘柖x為：y(t)=Kf(無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h(t)=K(t?td)無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的沖激響應(yīng)還是沖激函數(shù)，但有強度變化和延時。三.理想低通濾波器的響應(yīng)理想低通濾波器可看作頻域中寬度為2c的門函數(shù)根據(jù)對稱性，由得|H(j)|01c-c()88無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的沖激響應(yīng)為根據(jù)對稱性，由得|H(j)令=2c，得所以理想低通濾波器的沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)在輸入沖激之前就已出現(xiàn)，因而是非因果系統(tǒng)，這是由于理想化的結(jié)果，實際不可實現(xiàn)。89令=2c，得所以理想低通濾波器的沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)理想低通濾波器的階躍響應(yīng)為式中Sa(x)為偶函數(shù)，其積分定義正弦積分

所以令c(?td)=xxc=c(t?td)90理想低通濾波器的階躍響應(yīng)為式中Sa(x)為偶函數(shù)，其積分定義物理可實現(xiàn)系統(tǒng)應(yīng)滿足的條件： 時域（因果條件）h(t)＝0,t<0g(t)＝0，t<0頻域(Paley-Wiener準(zhǔn)則)幅頻特性滿足平方可積而且滿足物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，其H(j)可以在某些孤立點上為0，但不能在某個有限頻帶內(nèi)為0。91物理可實現(xiàn)系統(tǒng)應(yīng)滿足的條件：而且滿足物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，其H(j4.9取樣定理一.信號的取樣

取樣——利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)時間信號f(t)中取出一系列離散樣本值fs(t)的過程。 fs(t)=f(t)·s(t)f(t)0ts(t)0tTsfs(t)0tTsfs(t)稱為取樣信號，s(t)稱為開關(guān)函數(shù)，Ts為取樣周期，s為取樣角頻率。fs(t)f(t)s(t)數(shù)字信號量化編碼924.9取樣定理一.信號的取樣f(t)0ts(t)0tT取樣的目的：將模擬信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號。取樣的要求：保持原有信號的所有信息。由頻域卷積定理可得取樣信號的頻譜函數(shù)開關(guān)函數(shù)可以為沖激函數(shù)系列或矩形脈沖系列。沖激取樣梳狀函數(shù)其頻譜函數(shù)(見P169)也為周期脈沖系列93取樣的目的：將模擬信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號。開關(guān)函數(shù)可以為沖激函數(shù) 如果連續(xù)信號f(t)為區(qū)間(?m，m)內(nèi)頻帶有限信號(簡稱帶限信號)，則ss()0sTs(t)0tTs1f(t)0tF(j)0mfs(t)0tTsFs(j)0sm94 如果連續(xù)信號f(t)為區(qū)間(?m，m)內(nèi)頻帶有限信號(當(dāng)s>2m時，不發(fā)生混疊現(xiàn)象，可以從取樣信號中恢復(fù)原信號。否則就不能恢復(fù)原信號。例：對信號f(t)=2sin0t+sin30t進行沖激取樣，取樣頻率應(yīng)為多少？因為m=30，所以s>60。矩形脈沖取樣取樣脈沖序列是幅度為1，脈寬為(<Ts)的矩形脈沖序列 s(t)=pTs(t)其頻譜函數(shù)(見P168)為95當(dāng)s>2m時，不發(fā)生混疊現(xiàn)象，可以從取樣信號中恢復(fù)原信號則取樣信號的頻譜函數(shù)f(t)0tF(j)0m-mP(j)0spTs(t)0tTs1fs(t)0tTsFs()0sm96則取樣信號的頻譜函數(shù)f(t)0tF(j)0m-mP(二.時域取樣定理f(t)s(t)fs(t)h(t)f(t)為了從Fs(j)中無失真地恢復(fù)F(j)，選擇一個理想低通濾波器(時延為0，幅度為Ts)輸出信號頻譜 F(j)=Fs(j)·H(j)F(j)0smc97二.時域取樣定理f(t)s(t)fs(t)h(t)f(t)低通濾波器是幅值為Ts的門函數(shù)，其沖激響應(yīng)為由此得令c=s/298低通濾波器是幅值為Ts的門函數(shù)，其沖激響應(yīng)為由此得令c9999f(t)0tfs(t)0tTs-Tsh(t)0tTs-TsFs(j)0sm-s0cH(j)-c0F(j)m-mF(j)S(j)Fs(j)H(j)F(j)100f(t)0tfs(t)0tTs-Tsh(t)0tTs-TsF時域取樣定理：一個頻譜在區(qū)間(?m，m)以外為零的帶限信號f(t)，可唯一地由其在均勻間隔Ts(Ts<Tm/2，或s>2m)上的樣點值f(nTs)確定。奈奎斯特(Nyquist)頻率：取樣頻率的下限fs＝2fm；奈奎斯特間隔：取樣間隔的上限Ts＝Tm/2。例1：求信號f(t)＝2+4cos(5t)+cos(10t)的取樣頻率。解：因為m＝2fm＝10rad/sf(t)最高頻率fm＝5/Hz奈奎斯特頻率fs＝2fm＝10/Hz奈奎斯特間隔Ts＝1/fs＝/10s101時域取樣定理：一個頻譜在區(qū)間(?m，m)以外為零的帶限例2：求信號f(t)＝Sa(100t)的取樣頻率。解：因為Sa(t/2)2g()?。?00，其m＝100rad/s，fm＝50/Hz所以fs>100/Hz，Ts</100s頻域取樣定理：一個在時域區(qū)間(?tm，tm)以外為零的有限時間信號f(t)的頻譜函數(shù)為F(j)，可唯一地由其在均勻頻率間隔fs(fs<1/2tm)上的樣點值F(jns)確定。102例2：求信號f(t)＝Sa(100t)的取樣頻率。102題4.20(5)、(8)解(5)：設(shè)f1(t)＝tf(t)，f2(t)＝f1(1?t)＝(1?t)f(1?t)，其頻譜函數(shù)分別為解(8)：設(shè)f1(t)＝f(3?2t)，f2＝ejtf1(t)＝ejtf(3?2t)，其頻譜函數(shù)分別為注意！103題4.20(5)、(8)解(5)：設(shè)f1(t)＝tf(t)題4.21(4)解：因為給定頻譜函數(shù)104題4.21(4)解：因為給定頻譜函數(shù)104105105題4.21(4)另一種解法：F(j)＝[()?(?2)]e-j＝g2(?1)e?j因為Sa(t/2)2g()令=2得時移頻移所以106題4.21(4)另一種解法：時移頻移所以106題4.22(b)解：圖示頻譜函數(shù)為根據(jù)變換對Sa(t/2)2g()?。?，則所以107題4.22(b)解：圖示頻譜函數(shù)為根據(jù)變換對題4.33解：因為s(t)S(j)所以頻譜函數(shù)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為108題4.33解：因為s(t)題4.33也可這樣求頻譜函數(shù)為109題4.33也可這樣求頻譜函數(shù)為109題4.40fs1(t)f(t)cos(bt)H1(j)fs2(t)x(t)y(t)cos(b+m)tH2(j)0mF(j)-m0bFs1(j)-b0bH1(j)-b110題4.40fs1(t)f(t)cos(bt)H1(j)f0bX(j)-b0mFs2(j)-b-mmb+m0mH2(j)-m0mY(j)-m1110b