第十二章無窮12 4函數(shù)展開成冪級數(shù)

1問題：給定一個冪級數(shù)，在其收斂域內(nèi)如何求和函數(shù)？0nn

0nn￥￥n=0n=0a

(x

-x

)

滿足：(2)在I

上的和函數(shù)就是f

(x)，即，f

(x)=a

(x

-

x

)

，x

?

I.反問題：給定一個f

(x)，能否找一個冪級數(shù)(1)

在某個區(qū)間I

上收斂；n2xnn￥n=1如

(-1)

-1

的和函數(shù)：s(x)

=

ln(1+

x) (-1

<

x

￡1).討論：

1.

如果能展開，an

是什么? 2.

展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?回顧：泰勒公式23002!nn

0f

(n)

(x

)f

(n+1)

(x)n+1f

￠(x

)f

(x)

=

f

(x0

)

+

f

￠(x0

)(x

-

x0

)

+(x

-

x

)R

(x)

=

(x

-

x

)(n

+1)!++

0

(x

-

x0

) +

Rn

(x)若f

(x)在x0

的某個鄰域內(nèi)有n

+1階導數(shù)，則在該鄰域有n!此式稱為f

(x)在x0

處的n階泰勒公式，其中，(x

在x

與x0

之間).20002!f

(n)

(x

)f

￠(x

)f

(x0

)

+

f

￠(x0

)(x

-

x0

)

+(x

-

x

)++

0

(x

-

x )n

+n!稱為f

(x)在x0

處的泰勒級數(shù).特別地，當x0

=0時，泰勒級數(shù)為：24n2!

n!f

￠(0)

f

(n)

(0)f

(0)

+

f

￠(0)x

+

x

++x

+★泰勒級數(shù)若f

(x)在x0

的某個鄰域內(nèi)具有任意階導數(shù)，則下列級數(shù)—麥克勞林級數(shù)下面說明：泰勒級數(shù)就是反問題中要尋找的級數(shù)!f

(x)=ex

的麥克勞林級數(shù)為：2n2!

n!e2

+

e2

(x

-

2)

+

(x

-

2)

++(x

-

2)

+ne2n!￥=(x

-

2)n=0如f

(x)=ex，在x

=2處的泰勒級數(shù)：e2

e21nx￥n=0

n!1

152!

n!1+

x

+x2

++xn

+

=

證:00nf

(n)

(x

)

0

n!￥f

(x)

=x

?

U

(x

).n=0(x

-

x

)

，f

(x)

=

sn+1

(x)

+

Rn

(x)lim

Rn

(x)

=

lim

f

(x)

-

sn+1

(x)

=

0，

x

?

U

(x0

)nfi

￥

nfi

￥0nkf

(k

)

(x

)

0

k

!n+1k

=0(x

-

x

)令s

(x)

=nfi

￥6定理1

若f

(x)在x0

的某個鄰域U

(x0

)內(nèi)具有各階導數(shù)，則f

(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)f

(x)的泰勒公式中的余項滿足：lim

Rn

(x)=0.nn

0n=0a

(x

-

x

)

，x

?

(-R,

R).證：設f

(x)=f

￠(x)

=

a

+

2a

x

++

na

xn-1

+；1

2

nf

￠(x)

=

2!a

++

n(n

-1)a xn-2

+；2

n2

02!a

=

1

f

￠(x

)nf

(

n)

(x)

=

n!a

+；071(n)n(x

)n!a

=

f結論成立.a0

=

f

(x0

)a1

=

f

￠(x0

)00nn￥a

(x

-x

)，則這種n=0展開式是唯一的，且與它的泰勒級數(shù)相同.￥定理

2

若

f

(x)能展成

x

-

x

的冪級數(shù)第一步求函數(shù)及其各階導數(shù)在x

=0處的值；★直接展開法nfi

￥第二步寫出麥克勞林級數(shù)，并求出其收斂半徑R；第三步在收斂區(qū)間(-R,R)內(nèi)判別lim

Rn

(x)是否為0.8n+1n(n

+1)!R

(x)

=exxxn+1x

<

e(n

+1)!21112!xnnn!￥n=0

n!x

=1+

x

+x

+

+x

+

x

?

(-￥

,+

￥

)9故，e

=

n

fi

￥0例1

將函數(shù)

f

(x)

=

ex

展開成x的冪級數(shù).解：f

(n)

(x)

=

ex，f

(n)

(0)

=1 (n

=

0,1,

2,)麥克勞林級數(shù)：1+

x

+

1

x2

+

1

x3

++

1

xn

+2!

3!

n!收斂半徑：R

=+￥

，對任何有限數(shù)x，其余項為(x

在0與x

之間)10例2

將函數(shù)

f

(x)

=

sin

x

展開成x的冪級數(shù).2p

)解：f

(n)(x)=sin(x

+nkf(n)

(0)

=

k

?

N.0

n

=

2k(-1)

n

=

2k

+115!

(2n

-1)!x2n-1

+麥克勞林級數(shù)：x

-1

x3

+1

x5

-+(-1)n-13!收斂半徑：R

=+￥

，nxn+1(n

+1)!R

(x)

=

2

sin(

x

+(n

+1)

p

)<(n

+1)!xn+111n￥2n+1=(

-1)(2n

-1)!x

x

?

(-￥

,

+￥

).(2n

+1)!n=0x2n-1

+故，sin

x

=x

-1

x3

+1

x5

-+(-1)n-13!

5!n

fi￥0對任何有限數(shù)x，其余項為1111n2n(2n)!￥n=0=(

-1)(2n

-

2)!x x

?

(-￥

,

+￥

).cos

x=1-

1

x2

+

1

x4

-+(-1)n-12!

4!x2n-2

+類似例1和例2可得：nxn!￥n=0n!(-1

<

x

<1).=

2!m(m

-1)(m

-

n

+1)(1+

x)m

=1+

mx

+

m(m

-1)

x2

++

m(m

-1)(m

-

n

+1)

xn

+說明：(1)

在x

=

–1處的收斂性與m

有關.(2)

當m

為正整數(shù)時，級數(shù)為x的m次多項式，上式就是代數(shù)學中的二項式定理.對應m

=1

，-1

，-1的二項展開式分別為2

21 1

31

3

52

2

42

4

62

4

6

81+

x

=1+

1

x

-x2

+

x3

-(-1

￡

x

￡1)x4

+12

2

4

2

4

61+

x2

4

6

8(-1

<

x

￡1)=1-

1x

+

1

3

x2

-

1

3 5

x3

+

1

3

5 7

x4

-1121+

x(-1

<

x

<1)=1-

x

+

x2

-

x3

+

x4

-★間接展開法利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運算性質(zhì)，將所給函數(shù)展開成冪級數(shù).★常見冪級數(shù)的展開式ex1

xnn=0

n!￥=

=1+

x

++

1

xn

+

x

?

(-￥

,

+￥

)n!1131n￥2n+1=(

-1)x

x

?

(-￥

,

+￥

).(2n

+1)!(2n

-1)!n=0sin

x

=

x

-

1

x3

+

1

x5

-+(-1)n-13!

5!x2n-1

+14n!m(m

-1)(m

-

n

+1)xn￥(1+

x)m

=

n=0=1+

m

x

+

m(m

-1)

x2

++

m(m

-1)(m

-

n

+1)

xn

+2!

n!(-1

<

x

<1)=￥n

n(-1)

x1+

x1n=0=1-

x

+

x2

++(-1)n

xn

+(-1

<

x

<1)1nn￥=1-

xn=0x

=1+

x

++

x

+

(-1

<

x

<1)(2n)!

2!n=0cos

x=

(

-1)n

1

x2n

1

1

x2

(

1)n-1

1

x2n-2 ￥=

-

+ +

-

+(2n

-

2)!x

?

(-￥

,

+￥

)1511+

x2例

4

將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).11-

x(-1

<

x

<1)=1+

x

+

x2

++

xn

+解：把x

換成-x2，得11+

x2=1-

x2

+

x4

++(-1)n

x2n

+(-1

<

x

<1)￥=

(-1)n

x2nn=016例5

將函數(shù)arctan

x

展開成x的冪級數(shù).21n

2n￥n=01+

x(-1

<

x

<1)=

(-1)

x解：由例4知：00[xxn2nx

dx)n=0n=0￥arctan

x

=(-1)n

x2n

]dx

=(-1)

((-1)nn=0

2n

+1x2n+1

(-1

<

x

<1)￥=

對上式從0到x

積分得：￥￥2n+1x

-1

￡

x

￡1.(-1)nn=0

2n

+1于是，arctan

x

=右端的冪級數(shù)在x

=–1收斂，而arctan

x

在x

=–1有定義，且連續(xù)，故，展開式對x=–1也是成立的.17例6

將函數(shù)

f

(x)

=

ln(1+

x)

展開成x的冪級數(shù).1n

n￥n=01+

x(-1)

x

(-1

<x

<1)，且f

(0)=0.解：f

￠(x)

=

=0xnnx

dx￥

f

(x)

=

ln(1+

x)

=(-1)n=0x￥n=0(-1)n=n

+1n+1，￥n=0(-1)nn

+1x

-1

<

x

￡1.于是，ln(1+x)=n+1，11

1

12

3

4n

+1+

-

++(-1)n+利用此題可得：ln

2

=1--1

<

x

<1右端的冪級數(shù)在x

=1收斂，而ln(1+x)在x

=1有定義，且連續(xù)，故，展開式對x

=1也是成立的.例7

將

y

=

sin2

x

展成x的冪級數(shù).解

y

=

2

sin

x

cos

x

=

sin

2x1n(2x)￥2n+1=(

-1)(2n

+1)!n=001801[xxn(2x)

]dx￥2n+1\

y

=sin

2xdx

=(-1)(2n

+1)!n=02n(2n)!22n-1￥n+1

=(-1)n=1x

，x

?

(-￥

,

+￥

)x

?

(-￥

,

+￥

)12x2

+

x

-1例8

將

f

(x)

=展成x的冪級數(shù).解:f

(x)

=

-

1

(

1

+

2

)3

1+

x

1-

2x

1

￥n=0n

n(-1)

x

，x

?

(-1,1)而

=1+

x1=￥1-

xn=0nx

，x

?

(-1,1)又121

=￥1-

2xn=02n

xn，x

<)1

2+3

1+

x

1-

2x\

f

(x)

=

-

1

(32n

xn

]1

[

￥￥=

-(-1)n

xn

+

2n=0n=0nx￥=

n=03(-1)n+1

-

2n+1-

1

<

x

<

12

219204例9

將sin

x

展成

x

-

p

的冪級數(shù).解：sin

x

=

sin

p

+(x

-

p

)4

44

4

4

4=

sin

p

cos(

x

-

p

)

+

cos

p

sin(

x

-

p

)4

42=

1

[cos(

x

-

p

)

+

sin(

x

-

p

)]22!

4

4!

44

3!

4

5!

4=

1

{[1-

1

(x

-

p

)2

+

1

(x

-

p

)4

-]

+[(x

-

p

)

-

1

(x

-

p

)3

+

1

(x

-

p

)5

-]}4

2!

4

3!

42=

1

[1+

(x

-

p

)

-

1

(x

-

p

)2

-

1

(x

-

p

)3

+](-￥

<

x

<

+￥

)1x2

+

4x

+

3例10

將

f

(x)

=展成x

-1的冪級數(shù).11

1=-(x

+1)(x

+

3)解：f

(x)=12(1+

x)

2(3

+

x)124=-4(1+

x

-1)8(1+

x

-1)-n=02n￥

n

1

=

( 1)n

(x

-1)(1+

x

-1)

-1

<

x

<

32-1

<

x