三角函數(shù)圖象與性質(zhì)課時

第五章三角函數(shù)高中快車道成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動更新，永不過期5.4

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)課時10

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性和最大值、最小值高中快車道教學(xué)目標(biāo)通過正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象,探究y=sinx,x∈R和y=cosx,x∈R的單調(diào)性和最值.會用“整體”思想求函數(shù)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)、函數(shù)y=Acos(ωx+φ)的最值及單調(diào)區(qū)間.能正確地運(yùn)用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象和單調(diào)性求解有關(guān)三角函數(shù)值的大小比較等問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)課程目標(biāo)學(xué)科核心素養(yǎng)掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性,會求正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間通過借助三角函數(shù)的圖象研究三角函數(shù)的單調(diào)性,培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)學(xué)會運(yùn)用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象求正弦型函數(shù)、余弦型函數(shù)的最大值、最小值通過運(yùn)用圖象求正弦型函數(shù)、余弦型函數(shù)的最大值、最小值,培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)能正確地運(yùn)用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和單調(diào)性求解有關(guān)比較三角函數(shù)值大小的問題在比較三角函數(shù)值大小的過程中,培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)情境導(dǎo)學(xué)如圖，一段半徑為R、圓心角為90°的扇形圓木，欲按圖中陰影部分鋸成橫斷面為四邊形OABC的木料．怎樣鋸才能使截面面積最大？連接OB，設(shè)∠AOB＝θ，0°<θ<90°.作BM⊥OA，垂足為M，BN⊥OC，垂足為N，則BM＝R

sinθ，BN＝R

cosθ，四邊形OABC的面積S＝S△OAB＋S△OCB＝??R2（BM+BN）＝??R2(??????

??+??????

??)??

??問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最大值問題．如何求三角函數(shù)的最大值呢？初探新知【活動1

】探究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性【問題1】請你思考：如何研究正弦函數(shù)的單調(diào)性呢？【問題2】你能寫出正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R在一個周期內(nèi)的單調(diào)區(qū)間及其函數(shù)值的變化情況嗎？【問題3】你能寫出正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的單調(diào)區(qū)間及其函數(shù)值的變化情況嗎？【問題4】類比正弦函數(shù)，請你寫出余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R的單調(diào)區(qū)間及其函數(shù)值的變化情況.【活動2

】探究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值、最小值【問題5】正弦函數(shù)的最大值和最小值分別是多少？【問題6】自變量x的值是多少時，正弦函數(shù)取到最大值、最小值？【問題7】余弦函數(shù)的最大值和最小值分別是多少？【問題8】自變量x的值是多少時，余弦函數(shù)取到最大值、最小值？【問題9】函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(A>0)的最大值和最小值分別是多少？【問題10】函數(shù)y＝A

cos

(ωx＋φ)，x∈R(A>0)的最大值和最小值分別是多少？典例精析【例1】

下列函數(shù)有最大值、最小值嗎？如果有，請寫出取最大值、最小值時自變量x的集合，并求出最大值、最小值．??(1)

y＝－cos

x＋??，x∈R；??(2)

y＝??sin

(－2x)，x∈R.思路點(diǎn)撥：此類問題求解的基本依據(jù)是正弦、余弦函數(shù)的最大(小)值．通過換元的方法轉(zhuǎn)化求解?！窘狻?/p>

容易知道，這兩個函數(shù)都有最大值、最小值．(1)

使函數(shù)y＝－cos

x＋??，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函數(shù)y??＝cos

x，x∈R

取得最小值的x的集合{x|x＝(2k＋1)π，k∈Z}；使函??數(shù)y＝－cos

x＋??，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函數(shù)y＝cos

x，??x∈R取得最大值的x的集合{x|x＝2kπ，k∈Z}．函數(shù)y＝－cos

x＋??，x∈R的最大值是1＋??＝??；最小值是－1＋??＝－??.??

??

??

????(2)令z＝－2x，使函數(shù)y＝??sin

z，z∈R

取得最大值的z

的集合，就是??使y＝sin

z，z∈R

取得最大值的z的集合{z|z＝??＋2kπ，k∈Z}，由z＝－2x＝??＋2kπ，得x＝－??－kπ.

所以，使函數(shù)y＝??sin

(－2x)，x∈R

取得??

??

??最大值的x

的集合是{x|x＝－??－kπ，k∈Z}.同理，使函數(shù)y＝??sin(－2x)，??

??x∈R取得最小值的x

的集合是{x|x＝??

－kπ，k∈Z}.函數(shù)y＝??

sin

(－2x)，??

??x∈R的最大值是??，最小值是－??.??

??【方法規(guī)律】對于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋B的函數(shù)，一般先通過變量代換將其化歸為y＝Asinz＋B(設(shè)z＝ωx＋φ)的形式，然后進(jìn)行求解．解題過程中，要注意參數(shù)A的正負(fù)對結(jié)果的影響．??【變式訓(xùn)練1】函數(shù)y＝1－2cos

??x的最小值、最大值分別為(

B

)A.

0，3 B.

－1，3 C.

－1，1 D.

0，1【解】【例2】不通過求值，比較sin????，cos

??????，sin??????????的大小關(guān)系．思路點(diǎn)撥：可利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較同名三角函數(shù)值的大?。疄榇?，先用誘導(dǎo)公式將已知角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，然后再比較大?。窘狻坑烧T導(dǎo)公式可得cos

??????＝sin(??

?

??

)

＝sin????

，??

????

??sin??????????＝sin(??

?

??????

)

＝sin

??

．????

????因為－??<??

<??<????<??，且正弦函數(shù)y＝sin

x在[－??,??]上單調(diào)遞增，所以sin??

????

??

??

??

??

????

<sin

??<sin????

，即sin??????

<sin??

<cos????

??

??

????

??

??????

.【方法規(guī)律】解決此類問題的關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式將已知角轉(zhuǎn)化到同一三角函數(shù)的同一個單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行研究．【變式訓(xùn)練2】比較下列各組中函數(shù)值的大?。?1)cos(???????

)與cos(???????

)；(2)sin

194°與cos

160°.??

??【解】【解】【例3】

求函數(shù)y＝sin(－??x+??)

，x∈[－2π，2π]的單調(diào)區(qū)間．??

????

??思路點(diǎn)撥

令z＝－??x+??，x∈[－2π，2π]，當(dāng)自變量x的值增大時，z的值??

??隨之減小，因此若函數(shù)y＝sin

z在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，則y＝sin(－??x+??)在相應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)遞減.【解】令z＝－??x+??，x∈[－2π，2π]，則

z∈[－????，????].因為y＝sin

z，z∈[??

??

??

??－????，????]的單調(diào)遞增區(qū)間是[－??，??]，且由－??≤－??x+??≤??，得－??≤x≤????，??

??

??

??

??

??

??

??

??

??所以函數(shù)y＝sin

，x∈[－2π，2π]的單調(diào)遞減區(qū)間是.又因為y＝sin

z，z∈[－????，????]的單調(diào)遞減區(qū)間是[－????，－??]和[??，????]，且由－????≤－??x+??≤－??，??

??

??

??

??

??

??

??

??

????≤－??x+??≤????，得????≤x≤2π，－2π≤x≤－??，所以函數(shù)y＝sin(－??x+??)

，x∈[??

??

??

??

??

??

??

??－2π，2π]的單調(diào)遞增區(qū)間是[－2π，－??π]和[????，2π]．??

??【方法規(guī)律】研究正弦型函數(shù)和余弦型函數(shù)單調(diào)性,一般思路是通過變量代換,將其等價轉(zhuǎn)化為y=sinz或y=cosz在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性問題,再借助正弦函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的圖象,直觀判斷獲得結(jié)論.??【變式訓(xùn)練3】函數(shù)y＝cos

(??－x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)[??+2kπ，????+2kπ](k∈Z)??

??[－????+2kπ，??+2kπ](k∈Z)??

??[－??+2kπ，????+2kπ](k∈Z)??

??[－??+2kπ，????+2kπ](k∈Z)??

??B【解】（備選例題）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且在[-4,-3]上單調(diào)遞增,α,β是銳角三角形的兩個內(nèi)角,求證:f(sinα)>f(cosβ).思路點(diǎn)撥因為α,β是銳角三角形的兩個內(nèi)角,所以0<sinα<1,0<cosβ<1,只要探究出偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性以及sinα與cosβ的大小關(guān)系即可.【解】由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函數(shù)f(x)是周期函數(shù),且2是它的一個周期.因為函數(shù)f(x)在[-4,-3]上單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增.又α,β是銳角三角形的兩個內(nèi)角,則有α+β>,即>α>-β>0,因為y=sinx在上單調(diào)遞增,所以sinα>sin=cosβ,且sinα∈[0,1],cosβ∈[0,1],所以f(sinα)>f(cosβ).【方法規(guī)律】函數(shù)的周期性、奇偶性和單調(diào)性有著緊密的聯(lián)系,應(yīng)用十分廣泛,比較大小、證明不等式以及求不等式的解集等問題,常常需用借助函數(shù)的周期性、奇偶性和單調(diào)性間的關(guān)系來進(jìn)行問題的轉(zhuǎn)化,再運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性來實現(xiàn)解題的目的.課堂反思1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識？2.你認(rèn)為本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)是什么？隨堂演練??B.

－1，1 C.

0，5 D.

0，31.函數(shù)y＝2－3cos

??x的最小值、最大值分別是(A

)A.

－1，5??2.[2020·江蘇梅村高級中學(xué)檢測]函數(shù)y＝－sin(x+??)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是(D

)A.

[??，????]??

??B.[??，????]??

??C.

[－??，??]??

??D.[－????，??]??

????3.

(多選)已知函數(shù)f(x)＝cos(x+??)

，則(

AD

)A.2π為f(x)的一個周期??B.y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝????對稱??C.f(x)