第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要

第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限一、極限存在準(zhǔn)則二、兩個(gè)重要極限三、小結(jié) 思考題12一、極限存在準(zhǔn)則【夾逼準(zhǔn)則】【準(zhǔn)則Ⅰ】如果數(shù)列xn

,yn

及yn

￡

xn

￡

znzn

滿(mǎn)足下列條件:(n

=

1,2,3)(2)

lim

yn

=

a,

lim

zn

=

a,nfi

￥

nfi

￥那末數(shù)列

xn

的極限存在,

且lim

xn

=

a.nfi

￥【證】

yn

fi

a,

zn

fi

a,"e

>0,

$N1

>0,

N

2

>0,

使得取N

=max{N1

,N2

},當(dāng)n

>

N時(shí),

恒有即a

-e

<yn

<a

+e,當(dāng)n

>N1時(shí)恒有yn

-a

<e,當(dāng)n

>N2時(shí)恒有zn

-a

<e,a

-

e<

zn

<

a

+

e,上兩式同時(shí)成立,a

-

e

<

yn

￡

xn

￡

zn

<

a

+

e,即xn

-a

<e

成立,3\

lim

xn

=

a.nfi

￥上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限【準(zhǔn)則Ⅰ′】

如果當(dāng)x

?

U

(

x0

,d

)

(或

x

>

M

)時(shí),有(1)

g(

x)

￡

f

(

x)

￡

h(

x),4(2) lim

g(

x)

=

A, lim

h(

x)

=

A,xfi

x0(

xfi

￥

)xfi

x0(

xfi

￥

)(

x

fi

￥

)那末

lim

f

(

x)存在,

且等于A.x

fi

x0準(zhǔn)則Ⅰ和準(zhǔn)則Ⅰ'稱(chēng)為夾逼準(zhǔn)則.【注意】⑴利用夾逼準(zhǔn)則Ⅰ關(guān)鍵是將xn作適當(dāng)縮放,得到極限容易求的數(shù)列yn與zn，且極限相等.⑵利用夾逼準(zhǔn)則Ⅰ′關(guān)鍵是對(duì)不易求極限的f(x)作適當(dāng)縮放，得到極限容易求的g(x)與h(x)，且極限相等.【補(bǔ)例1】求lim(nfi

￥).1n2

+

21n2

+

11n2

+

n+

++【解】,11n2

+

n<n2

+

n

n2

+

1+

+<nnn又limnfi

￥1n2

+

nn2

+

1=

limnfi

￥1=

1,n2

+

1111

+n21

+

n=

1,1=

limnfi

￥limnfi

￥n由夾逼準(zhǔn)則得)

=

1.51n2

+

21n2

+

1lim(nfi

￥n2

+

n+

++抓大頭xx1x2x3xn

xn+12.【單調(diào)有界準(zhǔn)則】廣義單調(diào)數(shù)列如果數(shù)列xn滿(mǎn)足條件x1

￡

x2

￡

xn

￡

xn+1

￡

,單調(diào)增加x1

?x2

?xn

?xn+1

?,單調(diào)減少【準(zhǔn)則Ⅱ】

單調(diào)有界數(shù)列必有極限.【幾何解釋】A

M67相應(yīng)地，函數(shù)極限也有類(lèi)似的準(zhǔn)則設(shè)函數(shù)f

(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)左鄰域內(nèi)單調(diào)且有界則f

(x)在x

的左極限f

(x-)必定存在.0

0準(zhǔn)則Ⅱ及準(zhǔn)則Ⅱ統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)有界準(zhǔn)則0x-為例，敘述如下）【準(zhǔn)則Ⅱ】（以x

fi【補(bǔ)例2】證明數(shù)列xn

=式)的極限存在,并求此極限.【證】顯然xn+1

>xn

,\{xn

}是單調(diào)遞增的;又

x1

=

3

<

3,\{xn

}是有界的;假定

xk

<

3,

xk

+1

=3

+

xk<3

+

3

<

3,\lim

xn

=A

存在.nfi

￥

xn+1

=

3

+

xn,n=

3

+

x

注,

意到x2n+1n+1

nnfi

￥

nfi

￥limx

2

=

lim(3

+

x

),

\A2

=

3

+

A,21

-

13,

A

=21

+

13解得A

=(舍去)2nfi

￥1

+

13\

lim

xn

=

.xn+1

=3

+

3

+

+

3

(n重根

遞3

+xn

推公式8n+1=

lim

xnfi

￥lim

xnfi

￥n

？9【說(shuō)明】該方法只有在證明了極限存在時(shí)，才能由遞推公式，通過(guò)解方程的方法求極限，否則可能導(dǎo)致荒謬的結(jié)論如

xn

=

n顯有

xn+1

=

xn

+

1

①記lim

xn

=lim

xn+1

=Anfi

￥

nfi

￥①式兩端取極限后得A

=

A

+

1從而得0

=1矛盾見(jiàn)課后習(xí)題p56

4、（3）【練習(xí)】教材課后習(xí)題P56第4

題提示n(1)

lim 1

+

1

=

1nfi

￥［提示］1

￡1

+

1

￡

1

+

1n

n)

=

11n2

+

2p11n2

+

npn2

+

p(2) lim

n(nfi

￥［提示］+

++n2

+

np+)

￡n2

+

np

n2

+

pn2

+

2p￡

n(+

+111n

nn

n(3)

數(shù)列

2,10n2

+

p2

+2, 2

+2

+2,

極限存在［提示］單調(diào)有界準(zhǔn)則1x(5) lim

x[ ]

=

1xfi

0+(4) lim

n

1

+

x

=

1xfi

0［提示］

1

-

x

￡

n

1

-

x

￡

n

1

+

x

￡

n

1

+

x

￡

1

+

x(

x

>

0),

x

x

x［提示］

1

-

1

<

1

￡

1由夾逼定理得]

=

1.1xlim

x[xfi

0+【注】記住[x]的運(yùn)算性質(zhì)：

x

-

1

<

[

x]

￡

x

x

11當(dāng)

x

>

0

時(shí)

1

-

x

<

x

1

￡

1AC二、兩個(gè)重要極限(1)xlim

sin

x

=

1x

fi

02設(shè)單位圓O,

圓心角—

AOB

=

x,

(0

<

x

<

p

)于是有sin

x

=

BD,

x

=

弧

AB, tan

x

=

AC

,xoBD作單位圓的切線，得DACO

.扇形OAB的圓心角為x

,DOAB的高為BD

,12\

sin

x

<

x

<

tan

x,x即cos

x

<sin

x

<1,2上式對(duì)于-p

<x

<0也成立.當(dāng)0

<x

<p

時(shí),20

<

cos

x

-

1

=

1

-

cos

x22

x

xx

2=

2sin

2

<

2(

2

)

=

2

,=

0,2

limx

fi

0x

2\

lim(1

-

cos

x)

=

0,x

fi

0\

lim

cos

x

=

1,x

fi

0又

lim1

=1,xfi

0x13\

lim

sin

x

=

1.x

fi

014【幾何解釋】

y

=

sin

x

與

y

=

x圖象在x

=0

處相切【注】①該極限推廣為更一般地情形sinfi

0lim

=1

或lim

=

1sinfi

0【理論根據(jù)】復(fù)合函數(shù)求極限法則②該極限的特點(diǎn)0Ⅰ.極限呈

0

未型定式極限常用不等式：{sin

x

￡

x x

?

R2

2x

?

(-p

,p

)x

￡

tgxyox教材【例2】x2求lim

1

-cos

x

.xfi

02x22sin2

x【解】原式=limxfi

02(

)xsin2

x2

x

fi

0=

1

lim2

)2x2sin

x2

x

fi

02

=

1

lim(2=

1

122=

1

.2復(fù)合函數(shù)求極限法則15若符合以上兩個(gè)特點(diǎn)，則極限為1；若Ⅰ成立、而Ⅱ不成立，通常是“湊”不含正弦號(hào)的那一方的變量，使Ⅱ成立.Ⅱ.正弦號(hào)后面的變量與分?jǐn)?shù)線對(duì)面的變量，形式上一致.教材【例3】求lim

arcsin

x

.xfi

0x【解】

換元法令

t

=

arcsin

x當(dāng)x

fi

0

時(shí)，t

fi

0則x

=sin

t于是由復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則可得xfi

0=

lim

=

116lim

arcsin

x

tx

t

fi

0

sin

t(2)xxfi

￥1lim(1

+

)x

=

e【定義】nnfi

￥lim(1

+

1

)n

=

enn設(shè)

x

=

(1

+

1

)n=

1

+

n=

1

+

1

+

1

(1

-

1

)

+

+

1

(1

-

1

)(1

-

2)(1

-

n

-

1).2!

n

n!

n

n

nn2

nn1!

n

2!

n!1+

n(n

-

1)

1

+

+

n(n

-

1)(n

-

n

+

1)

11￥

型1lim(1

+

x)

x

=

exfi

017或).n

+1211

2(1

-+

1

(1

-(n

+1)!

n

+1

n

+1n

+1)(1

-n!

n

+1n

+1)(1

-)(1

-

)(1

-

n

-1)1類(lèi)似地,

1

1xn+1

=

1

+1

+

2!

(1

-

n

+1)

++n顯然xn+1

>xn

,\{xn

}是單調(diào)遞增的;2!

n!nx

<

1

+

1

+

1

+

+

112n-11<

1

+

1

+

2

+

+12n-1=

3

-<

3,n\{x

}是有界的;n\

lim

xnfi

￥n18nfi

￥存在.通常記lim(1

+1

)n

=e(e

=

2.71828)當(dāng)

x?

1

時(shí),

有[

x]

￡

x

￡

[

x]

+

1,)[

x

]

￡

(1

+

1

)

x

￡

(1

+

1

)[

x

]+1

,x

[

x][

x]

+

11(1

+xfi

+￥

xfi

+￥xfi

+￥而

lim

(1

+

1

)[

x

]+1

=

lim

(1

+

1

)[

x

]

lim

(1

+

1

)

=

e,[

x] [

x] [

x]11

1)-1[

x]

+

1 [

x]

+

1lim

(1

+xfi

+￥)[

x

]+1=

lim

(1

+[

x]

+

1)[

x

]lim

(1

+xfi

+￥xfi

+￥=

e,\

lim

(1

+

1

)

x

=

e.xx

fi

+￥19令t

=-x,t

fi

+￥=

lim

(1

-

1)-t

=

lim

(1

+xx

fi

-￥\

lim

(1

+

1

)

x)tt

fi

+￥t1t

-

11t

-

1)

=

e.t

-

1)t

-1

(1

+1=

lim

(1

+t

fi

+￥xx

fi

￥\

lim(1

+

1

)

x

=

e,1x令t

==

lim(1

+t

fi

￥1t)t

=

e.1lim(1

+

x)

xx

fi

01lim(1

+

x)

x

=

ex

fi

020【注】①該極限推廣為更一般地情形1fi

￥

fi

0lim

(1

+

)

=

e

或

lim(1

+1)

=

e【理論根據(jù)】復(fù)合函數(shù)求極限法則②該極限的特點(diǎn)極限呈

1型￥

未定式極限括號(hào)中“1”后的項(xiàng)連同符號(hào)與指數(shù)中變量的形式連同符號(hào)，互為倒數(shù).在Ⅰ成立的前提下，若Ⅱ不成立，通常是“湊”指數(shù)中變量的形式，使之與括號(hào)中“1”后面的

項(xiàng)（連同符號(hào)）互為倒數(shù).21xxfi

￥【例4】

求

lim(1

-

1

)x

.【解】原式=lim[(1

+xfi

￥x

fi

￥(1

+-

x1

)-

x11

)-

x

]-1=

lim-

x1=

e

.【例5】2

+

xxfi

￥求lim