廣東省重點名校2023年數學高二第二學期期末檢測試題含解析

2022-2023高二下數學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是實數，函數，若，則函數的單調遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．2．已知平面向量，則（）A． B．3 C． D．53．已知不等式x-b≥alnx(a≠0)對任意x∈(0,+∞)恒成立，則A．1-ln2 B．1-ln34．下面推理過程中使用了類比推理方法，其中推理正確的是（）A．平面內的三條直線a,b,c，若a⊥c,b⊥c，則a//b.類比推出：空間中的三條直線a,b,c，若a⊥c,b⊥c，則a//bB．平面內的三條直線a,b,c，若a//c,b//c，則a//b.類比推出：空間中的三條向量a,b,cC．在平面內，若兩個正三角形的邊長的比為12，則它們的面積比為14.類比推出：在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為1D．若a,b,c,d∈R，則復數a+bi=c+di?a=c,b=d.類比推理：“若a,b,c,d∈Q，則a+b25．在極坐標系中，曲線，曲線，若曲線與交于兩點，則線段的長度為（）A．2 B． C． D．16．已知函數在區(qū)間上為單調函數，且，則函數的解析式為（）A． B．C． D．7．已知是函數的一個零點，若，則（）A．, B．,C．, D．,8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的（）A．-4 B．-7 C．-22 D．-329．已知隨機變量服從正態(tài)分布,且,則()A． B． C． D．10．設集合,，則（）A． B． C． D．11．已知點，則它的極坐標是（）A． B．C． D．12．已知函數的導函數為，若，則函數的圖像可能是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設向量a,b,c滿足,,,若,則的值是________14．設函數，則滿足的的取值范是____________．15．把一個大金屬球表面涂漆，共需公斤油漆，若把這個大金屬球融化成個大小都相同的小金屬球，不計損耗，把這些小金屬球表面都涂漆，需要這種油漆_______公斤.16．關于的不等式恒成立，則的取值范圍為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）隨著網絡的發(fā)展，網上購物越來越受到人們的喜愛，各大購物網站為增加收入，促銷策略越來越多樣化，促銷費用也不斷增加.下表是某購物網站2017年1-8月促銷費用（萬元）和產品銷量（萬件）的具體數據.（1）根據數據可知與具有線性相關關系，請建立關于的回歸方程（系數精確到）；（2）已知6月份該購物網站為慶祝成立1周年，特制定獎勵制度：以（單位：件）表示日銷量，，則每位員工每日獎勵100元；，則每位員工每日獎勵150元；，則每位員工每日獎勵200元.現已知該網站6月份日銷量服從正態(tài)分布，請你計算某位員工當月獎勵金額總數大約多少元.（當月獎勵金額總數精確到百分位）參考數據：，，其中，分別為第個月的促銷費用和產品銷量，.參考公式：（1）對于一組數據，，，，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.（2）若隨機變量服從正態(tài)分布，則，.18．（12分）在直角坐標系中，圓的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系．（Ⅰ）求圓的極坐標方程；（Ⅱ）設點為圓上一點，且點的極坐標為，射線繞點逆時針旋轉后得射線，其中也在圓上，求的最大值．19．（12分）已知函數．（Ⅰ）若函數f（x）的最小值為8，求實數a的值；（Ⅱ）若函數g（x）＝|f（x）|+f（x）﹣16有4個零點，求實數a的取值范圍．20．（12分）如圖，在正四棱錐中，為底面的中心，已知，點為棱上一點，以為基底，建立如圖所示的空間直角坐標系．（1）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值；（2）設二面角的平面角為，且，試判斷點的位置．21．（12分）某屆奧運會上，中國隊以26金18銀26銅的成績稱金牌榜第三、獎牌榜第二，某校體育愛好者在高三年級一班至六班進行了“本屆奧運會中國隊表現”的滿意度調查結果只有“滿意”和“不滿意”兩種，從被調查的學生中隨機抽取了50人，具體的調查結果如表：

班號

一班

二班三班

四班

五班

六班

頻數

5

9

11

9

7

9

滿意人數

4

7

8

5

6

6（1）在高三年級全體學生中隨機抽取一名學生，由以上統(tǒng)計數據估計該生持滿意態(tài)度的概率；（2）若從一班至二班的調查對象中隨機選取4人進行追蹤調查，記選中的4人中對“本屆奧運會中國隊表現”不滿意的人數為，求隨機變量的分布列及數學期望．22．（10分）3名男生、2名女生站成一排照相：（1）兩名女生都不站在兩端，有多少不同的站法？（2）兩名女生要相鄰，有多少種不同的站法？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分析：根據函數f（x）=x2（x﹣m），求導，把f′（﹣1）=﹣1代入導數f′（x）求得m的值，再令f′（x）>0，解不等式即得函數f（x）的單調增區(qū)間．詳解：f′（x）=2x（x﹣m）+x2∵f′（﹣1）=﹣1∴﹣2（﹣1﹣m）+1=﹣1解得m=﹣2，∴令2x（x+2）+x2>0，解得,或x>0，∴函數f（x）的單調減區(qū)間是．故選：A．點睛：求函數的單調區(qū)間的方法(1)確定函數y＝f(x)的定義域；(2)求導數y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內的部分為單調遞增區(qū)間；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內的部分為單調遞減區(qū)間．2、A【解析】

先由的坐標，得到的坐標，進而可得向量的模.【詳解】因為，所以，因此.故選A【點睛】本題主要考查向量的模，熟記向量的坐標表示即可，屬于?？碱}型.3、C【解析】

構造函數gx=x-alnx-b，利用導數求出函數y=gx的最小值，由gxmin≥0得出【詳解】構造函數gx=x-alnx-b，由題意知①當a<0時，?x>0，g'x>0，此時，函數y=g當x→0時，gx→-∞，此時，②當a>0時，令g'x=當0<x<a時，g'x<0；當x>a所以，函數y=gx在x=a處取得極小值，亦即最小值，即g∴b≤a-alna，構造函數ha=1-lna-2令h'a=0，得a=2。當0<a<2時，h'a此時，函數y=ha在a=2處取得極大值，亦即最大值，即h因此，b-2a的最大值為-ln2【點睛】本題考查函數恒成立問題，考查了函數的單調性，訓練了導數在求最值中的應用，滲透了分類討論的思想，構造函數利用導數研究函數的最值是解決函數不等式恒成立的常用方法，考查分析問題的能力，屬于難題。4、D【解析】

對四個答案中類比所得的結論逐一進行判斷，即可得到答案【詳解】對于A，空間中，三條直線a，b，c，若a⊥c，對于B，若b=0，則若a//b對于C，在平面上，正三角形的面積比是邊長比的平方，類比推出在空間中，正四面體的體積是棱長比的立方，棱長比為12，則它們的體積比為1對于D，在有理數Q中，由a+b2=c+d2可得，b=d，故正確綜上所述，故選D【點睛】本題考查的知識點是類比推理，解題的關鍵是逐一判斷命題的真假，屬于基礎題．5、B【解析】

分別將曲線，的極坐標方程化為普通方程，根據直線與圓相交，利用點到直線的距離公式結合垂徑定理，可得結果【詳解】根據題意，曲線曲線，則直線與圓相交，圓的半徑為，圓心到直線的距離為設長為，則有，即解得（舍負）故線段的長度為故選【點睛】本題主要考查的是極坐標與直角坐標方程的互化，圓的方程以及直線與圓的位置關系，是一道基礎題6、C【解析】

由函數在區(qū)間上為單調函數，得周期，，得出圖像關于對稱，可求出，，得出函數的對稱軸，結合對稱中心和周期的范圍，求出周期，即可求解.【詳解】設的最小正周期為，在區(qū)間上具有單調性，則，即，由知，有對稱中心，所以.由，且，所以有對稱軸.故.解得，于是，解得，所以.故選：C【點睛】本題考查正弦函數圖象的對稱性、單調性和周期性及其求法，屬于中檔題.7、B【解析】

轉化是函數的一個零點為是函數與的交點的橫坐標,畫出函數圖像,利用圖像判斷即可【詳解】因為是函數的一個零點,則是函數與的交點的橫坐標,畫出函數圖像,如圖所示,則當時,在下方,即；當時,在上方,即,故選：B【點睛】本題考查函數的零點問題,考查數形結合思想與轉化思想8、A【解析】

模擬執(zhí)行程序，依次寫出每次循環(huán)得到的S，i的值，當i＝6時不滿足條件i＜6，退出循環(huán)，輸出S的值為S+1﹣9+16﹣25＝﹣18，從而解得S的值．【詳解】解：由題意，模擬執(zhí)行程序，可得i＝2，滿足條件i＜6，滿足條件i是偶數，S＝S+1，i＝3滿足條件i＜6，不滿足條件i是偶數，S＝S+1﹣9，i＝1滿足條件i＜6，滿足條件i是偶數，S＝S+1﹣9+16，i＝5滿足條件i＜6，不滿足條件i是偶數，S＝S+1﹣9+16﹣25，i＝6不滿足條件i＜6，退出循環(huán)，輸出S的值為S+1﹣9+16﹣25＝﹣18，故解得：S＝﹣1．故選A．點睛：本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖，模擬執(zhí)行程序，正確得到循環(huán)結束時S的表達式是解題的關鍵，屬于基礎題．9、B【解析】

先計算出，由正態(tài)密度曲線的對稱性得出，于是得出可得出答案．【詳解】由題可知，，由于，所以，，因此，，故選B.【點睛】本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間上的概率，考查正態(tài)密度曲線的對稱性，解題時要注意正態(tài)密度曲線的對稱軸，利用對稱性來計算，考查運算求解能力，屬于基礎題．10、C【解析】

先求出集合、，再利用交集的運算律可得出集合.【詳解】，，因此，，故選C.【點睛】本題考查集合的交集運算，考查學生對于集合運算律的理解應用，對于無限集之間的運算，還可以結合數軸來理解，考查計算能力，屬于基礎題．11、C【解析】

由計算即可?！驹斀狻吭谙鄳臉O坐標系下，由于點位于第四象限，且極角滿足，所以.故選C.【點睛】本題考查極坐標與直角坐標的互化，屬于簡單題。12、D【解析】

根據導數的幾何意義和，確定函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，即可得出結論．【詳解】函數的導函數為，，∴函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，故選：D．【點睛】本題考查函數的圖象與其導函數的關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)．∵(a－b)⊥c，∴(a－b)·[－(a＋b)]＝0.即|a|2－|b|2＝0，∴|a|＝|b|＝1，∵a⊥b，∴a·b＝0，∴|c|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋b2＝1＋0＋1＝2.∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.14、.【解析】分析：畫出函數的圖象，利用函數的單調性列出不等式轉化求解即可.詳解：函數的圖象如圖：滿足，可得或，解得.故答案為：.點睛：本題考查分段函數的應用，函數的單調性以及不等式的解法，考查計算能力.15、【解析】

根據大金屬球和64個小金屬球體積相同，求半徑的比值，再求大金屬球和64個小金屬球的表面積比值，最后求油漆數量.【詳解】，，，.故答案為：【點睛】本題考查球的體積和表面積的實際應用問題，重點考查表面積和體積公式，關鍵是利用前后體積相等求半徑的比值，屬于基礎題型.16、【解析】

由題意得，由絕對值三角不等式求出函數的最小值，從而可求出實數的取值范圍.【詳解】由題意得，由絕對值三角不等式得，，因此，實數的取值范圍是，故答案為：.【點睛】本題考查不等式恒成立問題，同時也考查了利用絕對值三角不等式求最值，解題時要結合題中條件轉化為函數的最值來求解，考查化歸與轉化數學思想，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】試題分析：（1）先求均值，再代入公式求以及，即得回歸方程，（2）先根據正態(tài)分布計算各區(qū)間概率，再根據概率乘以總數得頻數，最后將頻數與對應獎勵相乘求和得結果.試題解析：（1）由題可知，，將數據代入得所以關于的回歸方程（2）由題6月份日銷量服從正態(tài)分布，則日銷量在的概率為，日銷量在的概率為，日銷量的概率為，所以每位員工當月的獎勵金額總數為元.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）先求出圓的普通方程，再，由求得極坐標方程。（Ⅱ）設，則由都在圓上知且，借助兩角和的余弦公式與輔助角公式化簡可得，再結合角的取值范圍得到答案?！驹斀狻浚á瘢┯深}意知圓的普通方程為，由得，，即圓的極坐標方程為；（Ⅱ）設，則由都在圓上知且，于是，又，所以，所以當，即時，．【點睛】本題考查參數方程與極坐標方程的轉化，以及通過三角函數求最值問題，屬于一般題。19、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】

（Ⅰ）利用換元法，結合二次函數進行分類討論求解；（Ⅱ）先求的零點，結合二次方程根的分布情況可得實數a的取值范圍．【詳解】（Ⅰ）函數，令，易知t∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），則h（t）＝t2﹣2at+2a2﹣2在（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）上的最小值為8，函數h（t）的對稱軸為t＝a，①當a≥2時，，此時；②當a≤﹣2時，，此時；③當﹣2＜a＜0時，，此時無解；④當0≤a＜2時，＝h（2）＝2a2﹣4a+2＝8，此時無解；故實數a的值為.（Ⅱ）令g（x）＝0，則f（x）＝8，則由題意，方程t2﹣2at+2a2﹣2＝8，即t2﹣2at+2a2﹣10＝0必有兩根，且一根小于﹣2，另一根大于2，則，解得﹣1＜a＜1．故實數a的取值范圍為．【點睛】本題主要考查分類討論求解最值問題和根的分布，二次函數一般是從對稱軸與區(qū)間的位置關系進行討論，側重考查分類討論的數學思想.20、（1）；（2）點位于棱的三等分點處.【解析】

先由題意，得到，，，的坐標，以及向量，的坐標；（1）根據題中條件，得到，求出平面的一個法向量，根據，結合題中條件，即可求出結果；（2）先由題意，得到存在實數，使得，進而得到，分別求出平面和平面的一個法向量，根據向量夾角公式，結合題中條件，列出等式，求出，即可得出結果.