第4章-有限差分法課件

第4章有限差分法本章基于差分原理闡述了在電磁場數(shù)值計算方法中應(yīng)用最早的有限差分法，并以正方形網(wǎng)格劃分的離散模式為主體，重點討論了靜態(tài)場中方法應(yīng)用的全過程，并介紹了時變電磁場中直接將麥克斯韋方程組中的旋度方程轉(zhuǎn)化為差分方程的時域有限差分法。4.1概述在電磁場數(shù)值計算方法中，有限差分法(FiniteDifferenceMethod，簡稱FDM)是應(yīng)用最早的一種方法。有限差分法以其概念清晰，方法簡單、直觀等特點，在電磁場數(shù)值分析領(lǐng)域內(nèi)得到了廣泛的應(yīng)用?，F(xiàn)階段各種電磁場數(shù)值計算方法發(fā)展很快，尤其是在有限差分法與變分法相結(jié)合的基礎(chǔ)上形成的有限元法日益得到廣泛的應(yīng)用，但有限差分法以其固有的特點仍然是一種不容忽視的數(shù)值計算方法。例如，面向高頻電磁場的傳輸、輻射、散射和透入等工程問題的需求，基于麥克斯韋方程組中旋度方程直接轉(zhuǎn)化為差分方程的時域有限差分法(FiniteDifferenceTimeDomainMethod，簡稱FDTD)即從傳統(tǒng)的有限差分法中脫穎而出，成為在上述一系列工程問題中廣泛應(yīng)用的數(shù)值計算方法。第4章有限差分法本章基于差分原理闡述為求解由偏微分方程定解問題所構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型，有限差分法的基本思想是利用網(wǎng)格剖分將定解區(qū)域（場域）離散化為網(wǎng)格離散節(jié)點的集合，然后，基于差分原理的應(yīng)用，以各離散點上函數(shù)的差商來近似替代該點的偏導(dǎo)數(shù)，這樣，待求的偏微分方程定解問題可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的差分方程組（代數(shù)方程組）問題，解出各離散點上的待求函數(shù)值，即為所求定解問題的離散解，若再應(yīng)用插值方法，便可從離散解得到定解問題在整個場域上的近似解。對于包括電磁場在內(nèi)的各種物理場，應(yīng)用有限差分法進行數(shù)值計算的步驟通常是：1）采用一定的網(wǎng)格剖分方式離散化場域；2）基于差分原理的應(yīng)用，對場域內(nèi)偏微分方程以及定解條件進行差分離散化處理(一般把這一步驟稱為構(gòu)造差分格式)；3）由所建立的差分格式(即與原定解問題對應(yīng)的離散數(shù)學(xué)模型——代數(shù)方程組)，選用合適的代數(shù)方程組的解法，編制計算程序，算出待求的離散解。有限差分法有上述大致固定的處理和計算模式，具有一定的通用性。為求解由偏微分方程定解問題所構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型，4.2差分與差商有限差分法是以差分原理為基礎(chǔ)的一種數(shù)值計算法。它用離散的函數(shù)值所構(gòu)成的差商來近似逼近相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)，而所謂差商則是基于差分應(yīng)用的數(shù)值微分表達式。設(shè)一函數(shù)f(x)，其自變量x得到一個很小的增量Δx=h，則函數(shù)f(x)的增量稱為函數(shù)f（x）的一階差分。顯然，只要增量h很小，差分Δf與微分df之間的差異將很小。一階差分仍是自變量x的函數(shù)，相類似地按式（4-1）計算一階差分的差分，就得到Δ2f(x)，稱之為原始函數(shù)f(x)的二階差分。同樣，當h很小時，二階差分Δ2f(x)逼近于二階微分d2f。依同理，可以定義更高階的差分。4.2差分與差商有限差分法是以差分原理為即是無限小的微分

除以無限小的微分的商，應(yīng)用差分，顯然，它可近似地表達為即有限小的差分Δf(x)除以有限小的差分Δx的商，稱為差商。同理，一階導(dǎo)數(shù)

還可近似表達為一階導(dǎo)數(shù)即是無限小的微分式（4-2）、式（4-3）和式（4-4）分別稱為一階向前、向后和中心差商。如圖4-1所示，對應(yīng)于點P的一階向前、向后和中心差商，在幾何意義上可分別表征為弧線PB、AP和AB的斜率，而在理論上它們對于該點一階導(dǎo)數(shù)的逼近度則分別可從以下泰勒公式的展開式中得知，即由可見，對應(yīng)于式（4-2）和式（4-3），它們都截斷于hf′(x0)項，而把h2項和更高冪次的項全部略去。換句話說，就式（4-2）、式（4-3）而言，略去余數(shù)項所引入的誤差將大致和h的一次方成正比。

式（4-2）、式（4-3）和式（4-4）分別稱為一階向前、而對于式（4-4）的一階中心差商表達式則相當于把相應(yīng)的泰勒公式截斷于2hf′(x0)項，略去了h3項以及更高冪次的項。很明顯，三種差商表達式中以式（4-4）所示的中心差商的截斷誤差最小，其誤差大致和h的二次方成正比。二階導(dǎo)數(shù)同樣可近似為差商的差商，即這相當于把泰勒公式截斷于h2f″(x)項，略去了h4項以及更高冪次的項，其誤差亦大致和h的二次方成正比。而對于式（4-4）的一階中心差商表達式則相當于把相應(yīng)的泰勒公由此，仿照式（4-2）和式（4-5），偏導(dǎo)數(shù)也可近似地用相應(yīng)的差商來表達。若設(shè)定函數(shù)u(x,y,z)，當其獨立變量x得到一個很小的增量Δx=h時，則x方向的一階偏導(dǎo)數(shù)可以近似表達為同樣，相應(yīng)的二階偏導(dǎo)數(shù)可以近似表達為由此，仿照式（4-2）和式（4-5），偏導(dǎo)數(shù)也可近似地用4.3差分格式的構(gòu)造現(xiàn)以二維靜態(tài)電、磁場泊松方程的第一類邊值問題為例，來具體闡明有限差分法的應(yīng)用。設(shè)具有平行平面場特征的電磁場場域D，如圖4-2所示，為一由閉合邊界L所界定的平面域，其定解問題可表述為4.3.1偏微分方程的離散化—五點差分格式通常采用完全有規(guī)律的分布方式，這樣在每個離散點上就能得出相同形式的差分方程，有效地提高解題速度，因而經(jīng)常采用正方形網(wǎng)格的剖分方式。現(xiàn)即以這種正方形網(wǎng)格剖分場域D，也就是說，用分別與x、y兩坐標軸平行的兩簇等距（步距為h）網(wǎng)格線來生成正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格線的交點稱為節(jié)點，這樣，場域D就被離散化為由網(wǎng)格節(jié)點構(gòu)成的離散點的集合。4.3差分格式的構(gòu)造現(xiàn)以二維靜態(tài)電、磁場對于場域內(nèi)典型的內(nèi)節(jié)點o(xi，yj)，如圖4-2所示，它與周圍相鄰的節(jié)點1、2、3和4構(gòu)成一個所謂對稱的星形。今采用雙下標(i，j)的識別方法，設(shè)在這些離散節(jié)點上的待求位函數(shù)u的近似值分別記作uo=u（i，j）、u1=u(i+1，j)、u2=u(i，j+1)、u3=u(i-1，j)和u4=u(i，j-1)，則參照式(4-7)，二維泊松方程（4-8）可近似離散化表示為即此式稱為對應(yīng)于泊松方程的差分方程。如果位函數(shù)u滿足的是拉普拉斯方程（即令式（4-8）中的右端項F=0），則差分離散化后所得差分方程是出現(xiàn)待求函數(shù)u在點o(xi，yj)與其四個鄰點上的值，故通常稱為五點差分格式。邊界條件，對具體問題中可能存在的銜接條件，進行差分離散化處理。對于場域內(nèi)典型的內(nèi)節(jié)點o(xi，yj)，4.3.2定解條件的離散化——各類差分計算格式對于場域邊界上給定的三類邊界條件（見1.7節(jié)），由于第二類邊界條件可以看作為第三類邊界條件的特殊情況，因此，這里只需討論第一、第三類邊界條件的差分離散化處理。（1）第一類邊界條件的差分離散化若如圖4-2點M所示，劃分網(wǎng)格時相應(yīng)的網(wǎng)格節(jié)點恰好落在邊界L上，則只要直接把位函數(shù)u|M∈L=f(rM)的值賦給該對應(yīng)的邊界節(jié)點M即可。若劃分網(wǎng)格時引入的節(jié)點不落在邊界L上，則如圖4-3所示，對于鄰近邊界的典型節(jié)點o，由于h1≠h2≠h，這樣，o點及其周圍相鄰的1、2、3和4點構(gòu)成一個不對稱的星形。此時，可仿照4.2節(jié)，采用泰勒公式進行差分離散化處理，即能相當精確地導(dǎo)出關(guān)于o點的差分計算格式。4.3.2定解條件的離散化——各類差分計算格式應(yīng)用二元函數(shù)的泰勒公式，節(jié)點1的位函數(shù)值u1可通過u0表示為同理以h和h1分別與以上兩式相乘，且相加，然后截斷于h的二次項，便得關(guān)于

的差分表達式為同理可得應(yīng)用二元函數(shù)的泰勒公式，節(jié)點1的位函數(shù)值u1可通過令h1=αh，h2=βh，代入以上兩式，最終再代入給定的泊松方程，即得這類邊界情況所對應(yīng)的差分計算格式為令h1=αh，h2=βh，代入以上兩式，最終再代入給（2）第三類邊界條件的差分離散化對此，同樣需分兩種情況討論。第一種情況是在邊界處引入的相應(yīng)節(jié)點恰好落在邊界L上。這時，取決于邊界L在該邊界節(jié)點處的外法線方向是否與網(wǎng)格線相重合，對應(yīng)有不同的差分離散化結(jié)果。當邊界L在邊界節(jié)點o處的外法向n與網(wǎng)格線相重合時，如圖4-4所示，則問題在于如何用差商近似替代法向?qū)?shù)

。顯然，最簡潔的處理方法是依據(jù)式（4-3），

這樣，第三類邊界條件在此情況下的差分計算格式為（2）第三類邊界條件的差分離散化對此，同當邊界L在邊界節(jié)點o處的外法向n與網(wǎng)格線不重合時，如圖4-5所示，顯然有于是，關(guān)于o點的差分計算格式是當邊界L在邊界節(jié)點o處的外法向第二種情況是在邊界處引入的相應(yīng)節(jié)點不落在邊界L上，這時如圖4-6所示，可在鄰近邊界的節(jié)點o上仍按上述方法列出差分計算格式，只是需引入與節(jié)點o相關(guān)的邊界節(jié)點o′，取點o′處的外法向n作為點o處的“外法向n”，且近似地認為邊界條件中給定的函數(shù)f1(ro)和f2(ro)均在點o′上取值。這樣，將式（4-14）中的f1(ro)和f2(ro)改記為f1(ro′)和f2(ro′)，即得此種情況下關(guān)于o點的差分計算格式。第二種情況是在邊界處引入的相應(yīng)節(jié)點不落在邊界應(yīng)當指出，從實際電、磁場問題的分析需要出發(fā)，如圖4-7所示，以通量線（如E線）為邊界的第二類齊次邊界條件是常見的一種情況。這時，邊界條件的差分離散化可沿著場域邊界外側(cè)安置一排虛設(shè)的網(wǎng)格節(jié)點，顯然，對于邊界節(jié)點o，由于該處

，故必有u1=u3，因此相應(yīng)于第二類齊次邊界條件

的差分計算格式為應(yīng)當指出，從實際電、磁場問題的分析需要出發(fā)，4.3.3不同媒質(zhì)分界面上邊界條件的差分計算格式當給定的邊值問題含有多種媒質(zhì)時，取決于不同媒質(zhì)的電磁特性和不同媒質(zhì)分界面的幾何形狀，將對應(yīng)有類型繁多的差分計算格式，這里僅選取兩種典型情況進行分析。（1）分界面與網(wǎng)格線相重合的情況以二維電場問題為例，設(shè)分界面L′與網(wǎng)格線相互重合，如圖4-8所示。且設(shè)在媒質(zhì)εa中位函數(shù)ua滿足泊松方程，而在媒質(zhì)εb中位函數(shù)ub滿足拉普拉斯方程。現(xiàn)若將媒質(zhì)εb換以媒質(zhì)εa，則對于o點，據(jù)式（4-10）可得同理，若將媒質(zhì)εa換以媒質(zhì)εb，則對于o點，據(jù)式（4-11）可得4.3.3不同媒質(zhì)分界面上邊界條件的差分計算格式但實際上ua1和ub3是虛設(shè)的電位，所以應(yīng)利用分界面上場量遵循的邊界條件［式（1-66）和式（1-69）］，把它們從以上兩式中消去。首先，由式（1-66）得出分界面上電位的連續(xù)性，即其次，假設(shè)在分界面上自由電荷的面密度σ=0，則由式（1-69）有以差分格式表示，即為將εa乘以式（4-16）與εb乘以式（4-17）后相加，代入由式（4-18）和式（4-19）所給定的邊界條件，并令K=εa/εb，便得待求的兩種不同媒質(zhì)分界面上邊界條件的差分計算格式為但實際上ua1和ub3是虛設(shè)的電位，所以應(yīng)利用分界面上場（2）分界面對于網(wǎng)格呈對角線形態(tài)的情況此時，差分計算格式的推導(dǎo)及其處理方法與上類同，但為提高差分離散化的逼近度，尚需引入M、N兩個輔助節(jié)點（M、N二點分別是線段14和23的中點），如圖4-9所示。對于節(jié)點o，如同前述，當媒質(zhì)依次代換時，相應(yīng)的五點差分格式分別與式（4-16）和式（4-17）相同。依據(jù)分界面上的邊界條件，現(xiàn)應(yīng)有注意到在以上各式中ua1、ua4、uaM、ub2、ub3和ubN都是虛設(shè)電位值，但應(yīng)用線性插值，它們可由以下方程相互關(guān)聯(lián)：因此，由實際存在的電位值（2）分界面對于網(wǎng)格呈對角線形態(tài)的情況此可以消去所有虛設(shè)電位值，得出關(guān)于這類邊界條件的差分計算格式4.3.4對稱線的差分計算格式在實際分析電、磁場分布時，經(jīng)?？捎^察到場分布的對稱性，因此，在數(shù)值計算中計及場的對稱線條件，即可縮小分析計算的場域，從而在對計算機存貯容量要求不變的情況下，可獲得更為理想的數(shù)值解。設(shè)如圖4-10所示，AA′線為二維泊松場的對稱線。此時，對位于對稱線上的任一節(jié)點o，由式（4-10），并依據(jù)場的對稱性，即有u1=u3，因此相應(yīng)的差分計算格式為可以消去所有虛設(shè)電位值，得出關(guān)于這類邊界條件的差分計算格式44.4差分方程組的求解綜上所述，對場域D內(nèi)各個節(jié)點（包括所有場域內(nèi)節(jié)點和有關(guān)的邊界節(jié)點）逐一列出對應(yīng)的差分計算格式，即構(gòu)成以這些離散節(jié)點上的位函數(shù)u為待求量的差分方程組（代數(shù)方程組）。仔細分析所得的差分方程組，不難看出，該方程組的系數(shù)一般都是有規(guī)律的，且各個方程都很簡單，包含的項數(shù)不多（取決于前述對稱或不對稱的所謂星形離散結(jié)構(gòu)，每個方程待求量的項數(shù)最多不超過5項）。因此，在第二章所述的眾多代數(shù)解法中，對于有限差分法，通常都采用迭代法，這是因為用計算程序來實現(xiàn)迭代時，需要用到哪些系數(shù)就算出哪些系數(shù)，不需用時不保留，這樣可顯著降低對計算機存貯容量的需求。4.4差分方程組的求解綜上所述，對場域在迭代法的應(yīng)用中，為加速迭代解的收斂速度，通常采用的是逐次超松弛迭代法。按圖4-11所示的對稱星形離散模式，對應(yīng)于泊松差分方程（4-10），若采用早期的高斯—賽德爾迭代法（規(guī)定迭代運算順序是：從左下角開始做起，即i小的先做；對固定的i，j小的先做。），則關(guān)于節(jié)點o迭代到第（n+1）次時的近似值，應(yīng)由如下迭代公式算得在迭代法的應(yīng)用中，為加速迭代解的收斂速度，通而為加速迭代解的收斂，構(gòu)成超松弛迭代公式的原則是：并不將由上式所算得的結(jié)果作為u(i，j)的第（n+1）次近似值，而僅把它視為一中間結(jié)果

然后作加權(quán)平均處理，即令式中，ω稱為加速收斂的松弛因子。很明顯，上式就是2.5節(jié)中已經(jīng)給出的一般計算公式（2-14）對應(yīng)于本方法的具體表達式。正如前已指出的，超松弛迭代法的ω取值范圍是1<ω<2，當ω=1時，式（4-28）即歸結(jié)為高斯—賽德爾迭代法的迭代公式（4-27）；當ω≥2時，迭代過程將不收斂而發(fā)散。最佳收斂因子的取值隨問題和離散化的情況而異。對于第一類邊值問題，若一正方形場域由正方形網(wǎng)格剖分（每邊節(jié)點數(shù)為p+1），則最佳收斂因子ωopt可按下式計算而為加速迭代解的收斂，構(gòu)成超松弛迭代公式的原則是：并不將若一矩形場域由邊長為h的正方形網(wǎng)格剖分（設(shè)兩邊分別為ph和qh，且p、q通常要大于15），則相應(yīng)的最佳收斂因子為在更一般的情況下，ωopt只能憑經(jīng)驗取值。值得指出，在2.5節(jié)中，介紹了加速收斂的松弛因子ω作自適應(yīng)估計的方法，這為解決一般性的需要提供了優(yōu)化加速收斂因子選擇的數(shù)學(xué)工具，然而，這時不僅首先必須形成差分方程組所對應(yīng)的系數(shù)陣，而且相繼需要構(gòu)造系數(shù)矩陣元素的存貯技術(shù)（如2.5.3節(jié)所闡述的非零元素存貯技術(shù)）。換句話說，應(yīng)用數(shù)學(xué)上的高要求導(dǎo)致了求解過程的復(fù)雜化。應(yīng)當注意，在迭代運算前，恰當?shù)亟o定各內(nèi)點的初值（即所謂零次近似值），也是加速收斂速度的一個有效途徑。在超松弛迭代法的應(yīng)用中，還必須涉及迭代解收斂程度的檢驗問題。對此，通常的處理方法是：以所有內(nèi)點上相鄰兩次迭代解的絕對誤差或相對誤差不大于指定的誤差范圍，作為檢查迭代解收斂程度的依據(jù)。若一矩形場域由邊長為h的正方形網(wǎng)格剖分（設(shè)兩邊分別為4.5場強與電、磁積分量的計算通過上述差分方程組的求解，在獲得待求位函數(shù)u(x,y)的數(shù)值解后，往往還需求場中的場強分布，以及其他有關(guān)的積分特性（如磁通量和磁導(dǎo)、電導(dǎo)、電容等磁路及電路參數(shù)等）?，F(xiàn)以二維平行平面場為例導(dǎo)出關(guān)于這些物理量和參數(shù)的差分計算公式，推導(dǎo)中設(shè)場域由正方形網(wǎng)格予以剖分。4.5.1場強的差分計算公式基于1.6節(jié)的闡述，在靜態(tài)二維場中，電場強度E、磁場強度H或磁感應(yīng)強度B和它們對應(yīng)的位函數(shù)之間的關(guān)系可用差商分別表示為4.5場強與電、磁積分量的計算通過上述式中，Mφ、Mφm和MA

分別為電位、標量磁位和向量磁位函數(shù)的標度，定義為相應(yīng)位函數(shù)的實際值與相對值之比。例如在4.6節(jié)例4-1中，采用了φ1=10的相對電位值，若φ1的實際值為150V，則計算電場強度時引入的電位函數(shù)標度應(yīng)該是Mφ=150V/10=15V。但若計算時，位函數(shù)直接采用實際值，則Mφ=1。如需計算邊界上的場強，由于按式（4-31）～式（4-33）中所取的位函數(shù)值通常是在相距為h而非2h的兩點上的值，因此所得結(jié)果實際上并不是邊界處的場強，而應(yīng)該是與邊界相鄰的網(wǎng)格邊和邊界的中間點上的場強值。例如，圖4-15d中邊界點S上的電場強度即可表示為顯然，只有當網(wǎng)格的步距h足夠小時，上式計算結(jié)果才有可能逼近邊界點S上實際的場強值。式中，Mφ、Mφm和MA分別為電位、標量磁位和向量磁4.5.2通量與參數(shù)的差分計算式無論是靜電場、恒定電流場或恒定磁場，其通量Φ可一般性地表示為式中，K是相應(yīng)媒質(zhì)的宏觀特征參數(shù)（ε、γ或μ），而a則為上述各類電、磁場的相關(guān)場量（即相應(yīng)場強E、Eγ或H）。在求得場中各點場強的基礎(chǔ)上，這一通量積分值可以近似地表示成式中，n表示被積面積被網(wǎng)格剖分所得小塊面積的總數(shù)；Si

表示其中某一小塊面積；aav(i)表示在Si中所取的場強ai的平均值，并且ai

的方向應(yīng)與小面積Si

的法線方向相一致。這樣，在通量的差分計算式（4-35）的基礎(chǔ)上，所分析的靜電場中的電容C、恒定電流場中的電導(dǎo)G或恒定磁場中的磁導(dǎo)Λ等電路或磁路參數(shù)P就可按下式計算：式中，U表示限定分析區(qū)域的邊界面間的電位差或磁位差。

4.5.2通量與參數(shù)的差分計算式無論是靜電場、恒定電流場或第4章-有限差分法ppt課件第4章-有限差分法ppt課件第4章-有限差分法ppt課件第4章-有限差分法ppt課件例4-2二維平行平面電流場的計算。在導(dǎo)電紙模擬的實驗研究中，制備了如圖4-17所示的兩維電流場模型，其中兩種導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率分別為γ1和γ2，它們在場域的對角線L′上接合。電極間外施電壓10V。試求該電流場模型中兩維電流場分布。例4-2二維平行平面電流場的計算。在導(dǎo)電第4章-有限差分法ppt課件第4章-有限差分法ppt課件第4章-有限差分法ppt課件第4章-有限差分法ppt課件4.7等值點的尋求與描繪在電磁場分布的研究中，為了形象化的分析需要，通常需要通過數(shù)值計算的后處理，描繪出場分布的可視化圖形，從而可定性乃至定量地討論場分布的規(guī)律性。常見的場分布圖形為電場中的等位面（線）、磁場中的等磁位面（線）以及磁感應(yīng)強度B線的分布等。應(yīng)再次指出，誠如3.5節(jié)的討論，在具有平行平面場或軸對稱場特征的前提下，借助于向量磁位A(Az=const.或ρAφ=const.)即可方便地描繪出相應(yīng)磁場的B線分布。這些由相應(yīng)的位函數(shù)數(shù)值相等的點所形成的曲面（線），稱為等值面（線），其一般方程為對少量電磁場問題，上式可由解析表達式給出，利用該表達式就可以直接繪制場分布圖形。對大量的工程電磁場問題來說，則必須有賴于電磁場的數(shù)值解，通過插值法來尋求對應(yīng)于給定位值的等值點。4.7等值點的尋求與描繪在電磁場分布的研究4.7.1等值點的尋求以平行平面電場中等值點的尋求為例，當由有限差分法算出各網(wǎng)格節(jié)點的電位值后，可以利用線性插值關(guān)系來求得指定電位值的等值點坐標(x,y)。具體方法和步驟如下：（1）給出等值線的指定電位值Veq；（2）判斷相應(yīng)的網(wǎng)格線是否與位值等于給定的Veq的等值線相交。如圖4-21所示，設(shè)某個正方形網(wǎng)格的四頂點坐標分別為A(i,j)、B(i,j+1)、C(i+1,j+1)和D(i+1，j)，現(xiàn)首先判斷網(wǎng)格線AB是否與指定位值的等值線相交。顯然，若點A和點B的電位值V(i，j)和V(i，j+1)與指定位值之間滿足下列不等式：則指定的等值線必與網(wǎng)格線AB相交，換句話說，在AB線上有相應(yīng)的交點存在。4.7.1等值點的尋求以平行平面電場中等

(3）按線性插值關(guān)系，確定上述所得等值點的坐標。在網(wǎng)格線分別沿x，y坐標軸取向的前提條件下，按線性插值公式即可求得上述交點（有指定位值的等值點）的坐標為（4）同理，繼續(xù)搜索沿x方向網(wǎng)格線AD上是否存在待求的等值點。一旦存在，則其計算關(guān)系式可類同推得為至此，對各個網(wǎng)孔分別在相應(yīng)的x和y方向的兩網(wǎng)格線上搜索對應(yīng)的等值點；為使所得等值點形成有序的排列，這里，還運用所謂冒泡法對選定的某個坐標方向?qū)崿F(xiàn)等值點的排序處理。冒泡法的思路在于將相鄰的兩個數(shù)值進行比較，將數(shù)值小的一個調(diào)遷到前一位置。(3）按線性插值關(guān)系，確定上述所得等值點的4.7.2等值面（線）的繪制對應(yīng)于場分布（等值面或等值線）圖形描繪的需求，在尋找出各組等值點的分布后，由所構(gòu)成的數(shù)據(jù)文件，即可借助于各類繪圖軟件，例如Math、Tech*Graph*Pad等，以及如常用軟件MATLAB等，完成等值面（線）的繪制。書在5.4.5節(jié)對等值線的繪制，基于三角元剖分，進行了系統(tǒng)的展述。4.7.2等值面（線）的繪制對應(yīng)于場分布4.8時域有限差分法近代技術(shù)的發(fā)展，使復(fù)雜的高頻電磁系統(tǒng)的分析與綜合，以及高頻電磁場與復(fù)雜目標相互作用的分析和計算，成為重要的研究課題。這些研究課題以高頻電磁場的傳輸、輻射、散射、和透入問題為主線，反映了現(xiàn)代通信、雷達、物探、電磁防護、電磁兼容、醫(yī)療診斷、戰(zhàn)略防御以及工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活等領(lǐng)域多方面的需求。正是在眾多分析任務(wù)與目標的推動下，時域有限差分法歷經(jīng)20余年的發(fā)展，以其直接的時域計算模式、廣泛的適用性、較經(jīng)濟的存貯空間和計算時間、程序的通用性與簡明、直觀等特點，從傳統(tǒng)的有限差分法中脫穎而出，成為在上述一系列研究課題中廣泛應(yīng)用的數(shù)值計算方法。本節(jié)即在于概述時域有限差分法（FDTD）的基本應(yīng)用原理。4.8時域有限差分法近代技術(shù)的發(fā)展，使復(fù)1966年KaneS.Yee提出了后被稱為Yee氏網(wǎng)格的空間離散方式（見圖4-22）。這一合理的網(wǎng)格體系的特點是，電場和磁場各分量在空間的取值點被交叉地放置，從而在直角坐標系下每個坐標平面上相應(yīng)的電場分量的四周由磁場分量環(huán)繞，而相應(yīng)的磁場分量的四周則由電場分量環(huán)繞。這樣的網(wǎng)格空間配置符合法拉第電磁感應(yīng)定律和安培環(huán)路定律的要求。例如對應(yīng)于圖4-22b中環(huán)繞點o(xo,yo,zo)的環(huán)量4.8.1Yee氏網(wǎng)格1966年KaneS.Yee提出了式中，在相應(yīng)的元路徑Δx或Δy上求積時，對應(yīng)場量Ex或Ey被看作為常量，且分別等于元路徑中點處的Ex或Ey值。從而通過應(yīng)用二元函數(shù)的泰勒公式，并截斷于一階偏導(dǎo)數(shù)項，可得式中，在相應(yīng)的元路徑Δx或Δy上求積時，對應(yīng)場量Ex將以上關(guān)于Ex1、Ey2、Ex3和Ey4的近似表達式代入式（4-39），即有而依據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律應(yīng)有綜合式（4-40）和式（4-41），顯然滿足麥克斯韋方程組中的旋度方程,

即由此可見，Yee氏網(wǎng)格體系反映了實際物理模型中電場和磁場互為因果的物理本質(zhì)，即滿足麥克斯韋方程組的兩個旋度方程，因而也就符合電磁波在空間傳播的規(guī)律性。此外，它也滿足不同介質(zhì)分界面上場的切向分量連續(xù)的物理條件。顯然，Yee氏網(wǎng)格為在四維空間中合理地離散六個未知場量，建立具有高精度的差分計算格式，奠定了理想的離散化空間的應(yīng)用基礎(chǔ)。將以上關(guān)于Ex1、Ey2、Ex3和Ey4的近似表達式4.8.2旋度方程的差分格式當場域由Yee氏網(wǎng)格離散后，空間步長分別為Δx、Δy和Δz；時間步長記為Δt，以n表示時間步長的“個數(shù)”，并標記于右上角，因而場分量F（x，y，z，t）的四維空間離散表示法為在1.4.1節(jié)中，已經(jīng)指出，麥克斯韋方程組中兩旋度方程是基本的，這是電磁場問題研究的出發(fā)點。應(yīng)指出，為保證FDTD計算穩(wěn)定性，時間離散的步長與空間離散步長間應(yīng)滿足一定的關(guān)系。經(jīng)分析表明，時間步長可選為電磁波傳播一個空間步長所需時間的一半?，F(xiàn)應(yīng)用中心差商近似替代該場分量對空間、時間的偏導(dǎo)數(shù)，即4.8.2旋度方程的差分格式當場域由Ye在無源、均勻且各向同性的線性介質(zhì)中，麥克斯韋方程組的兩旋度方程分別為以上兩式在直角坐標系下的展開式，分別為應(yīng)用式（4-43）和式（4-4）的差商近似關(guān)系式，式（4-47a）對應(yīng)的差分計算格式為在無源、均勻且各向同性的線性介質(zhì)中，麥克斯韋方程組的兩旋度方同理，在(n+1/2)時間步，對(i，j+1/2，k)點的Ey；在(n+1/2)時間步，對(i，j，k+1/2)點的Ez，可得與式（4-47b）和式（4-47c）分別對應(yīng)的完全類似的差分格式。對于相應(yīng)的第二旋度方程中的磁場分量的差分格式，由方程的對稱性，可類比求得。應(yīng)注意的是，因在Ex、Ey和Ez差分格式中磁場值取于(n+1/2)時間步，故下式中磁場取值均應(yīng)取自(n+1/2)時間步或(n-1/2)時間步，以保證取值的時間步差為一個整時間步，從而保證下式中電場分量取值時間與前面的電場分量取值時間相同。這樣，將為未知量的存貯和計算帶來很多方便。因此，對于式（4-48a）應(yīng)有同理，在n時間步，對(i+1/2，j，k+1/2)點的Hy；在n時間步，對(i+1/2，j+1/2，k)點的Hz，可得與式（4-48b）和式（4-48c）分別對應(yīng)的完全類似的差分格式。同理，在(n+1/2)時間步，可以看出，任一網(wǎng)格點上的電場值只與它上一時間步的電場值及四周環(huán)繞它的磁場值相關(guān)；同樣，任一網(wǎng)格點上的磁場值也只與它上一時間步的磁場值及四周環(huán)繞它的電場值相關(guān)。此外，媒質(zhì)參數(shù)ε、μ均為空間坐標的函數(shù)，故FDTD易于處理非均勻和各向異性媒質(zhì)的問題。4.8.3解的數(shù)值穩(wěn)定性在時域有限差分法中，時間增量Δt和空間增量Δx、Δy和Δz不是相互獨立的，它們之間必須滿足一定的關(guān)系，否則，將出現(xiàn)算法上的不穩(wěn)定性?？梢宰C明[10]，在三維情況下，F(xiàn)DTD數(shù)值穩(wěn)定條件為式中，V是電磁波的傳播速度。如果Δx=Δy=Δz=Δl時，則，一般取若在三個坐標軸方向上的空間步長是可變的，那么，應(yīng)該先取每一坐標方向上的最小步長，然后三者中再選最小值，即可以看出，任一網(wǎng)格點上的電場值只與它上一時間4.8.4邊界條件關(guān)于邊界條件包含三種類型：有界場域的邊界條件；不同介質(zhì)分界面上的邊界條件和無界場域截斷邊界上的吸收邊界條件。對于切向電場或法向磁場為零的邊界，如5.7.2節(jié)所述的波導(dǎo)場問題，此時在波導(dǎo)壁邊界上，只要使切向電場或法向磁場所在的網(wǎng)格節(jié)點落在邊界上，則對于TM波，應(yīng)令邊界節(jié)點上的Et=0；對于TE波，由于磁場的法向?qū)?shù)為零，可虛擬與邊界面相距半個步長的網(wǎng)格，并令節(jié)點上的值對于邊界面呈偶對稱分布，其分析方法與4.3.2節(jié)中所表述的邊界條件處理方法類似。（1）有界場域的邊界條件（2）不同介質(zhì)分界面上的邊界條件設(shè)典型的兩種理想介質(zhì)分界面如圖4-23所示，其分界面S與坐標面XOZ相平行。在兩種介質(zhì)區(qū)域中，式（4-47a）應(yīng)分別為4.8.4邊界條件關(guān)于邊界條件包含三種類型在介質(zhì)分界面S上，磁場分量連續(xù)，即Hz1≈Hz2=Hz，Hy1≈Hy2=Hy（理想