第4章-有限差分法課件

第4章有限差分法本章基于差分原理闡述了在電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方法中應(yīng)用最早的有限差分法，并以正方形網(wǎng)格劃分的離散模式為主體，重點(diǎn)討論了靜態(tài)場(chǎng)中方法應(yīng)用的全過(guò)程，并介紹了時(shí)變電磁場(chǎng)中直接將麥克斯韋方程組中的旋度方程轉(zhuǎn)化為差分方程的時(shí)域有限差分法。4.1概述在電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方法中，有限差分法(FiniteDifferenceMethod，簡(jiǎn)稱(chēng)FDM)是應(yīng)用最早的一種方法。有限差分法以其概念清晰，方法簡(jiǎn)單、直觀等特點(diǎn)，在電磁場(chǎng)數(shù)值分析領(lǐng)域內(nèi)得到了廣泛的應(yīng)用?，F(xiàn)階段各種電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方法發(fā)展很快，尤其是在有限差分法與變分法相結(jié)合的基礎(chǔ)上形成的有限元法日益得到廣泛的應(yīng)用，但有限差分法以其固有的特點(diǎn)仍然是一種不容忽視的數(shù)值計(jì)算方法。例如，面向高頻電磁場(chǎng)的傳輸、輻射、散射和透入等工程問(wèn)題的需求，基于麥克斯韋方程組中旋度方程直接轉(zhuǎn)化為差分方程的時(shí)域有限差分法(FiniteDifferenceTimeDomainMethod，簡(jiǎn)稱(chēng)FDTD)即從傳統(tǒng)的有限差分法中脫穎而出，成為在上述一系列工程問(wèn)題中廣泛應(yīng)用的數(shù)值計(jì)算方法。第4章有限差分法本章基于差分原理闡述為求解由偏微分方程定解問(wèn)題所構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型，有限差分法的基本思想是利用網(wǎng)格剖分將定解區(qū)域（場(chǎng)域）離散化為網(wǎng)格離散節(jié)點(diǎn)的集合，然后，基于差分原理的應(yīng)用，以各離散點(diǎn)上函數(shù)的差商來(lái)近似替代該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)，這樣，待求的偏微分方程定解問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的差分方程組（代數(shù)方程組）問(wèn)題，解出各離散點(diǎn)上的待求函數(shù)值，即為所求定解問(wèn)題的離散解，若再應(yīng)用插值方法，便可從離散解得到定解問(wèn)題在整個(gè)場(chǎng)域上的近似解。對(duì)于包括電磁場(chǎng)在內(nèi)的各種物理場(chǎng)，應(yīng)用有限差分法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的步驟通常是：1）采用一定的網(wǎng)格剖分方式離散化場(chǎng)域；2）基于差分原理的應(yīng)用，對(duì)場(chǎng)域內(nèi)偏微分方程以及定解條件進(jìn)行差分離散化處理(一般把這一步驟稱(chēng)為構(gòu)造差分格式)；3）由所建立的差分格式(即與原定解問(wèn)題對(duì)應(yīng)的離散數(shù)學(xué)模型——代數(shù)方程組)，選用合適的代數(shù)方程組的解法，編制計(jì)算程序，算出待求的離散解。有限差分法有上述大致固定的處理和計(jì)算模式，具有一定的通用性。為求解由偏微分方程定解問(wèn)題所構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型，4.2差分與差商有限差分法是以差分原理為基礎(chǔ)的一種數(shù)值計(jì)算法。它用離散的函數(shù)值所構(gòu)成的差商來(lái)近似逼近相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)，而所謂差商則是基于差分應(yīng)用的數(shù)值微分表達(dá)式。設(shè)一函數(shù)f(x)，其自變量x得到一個(gè)很小的增量Δx=h，則函數(shù)f(x)的增量稱(chēng)為函數(shù)f（x）的一階差分。顯然，只要增量h很小，差分Δf與微分df之間的差異將很小。一階差分仍是自變量x的函數(shù)，相類(lèi)似地按式（4-1）計(jì)算一階差分的差分，就得到Δ2f(x)，稱(chēng)之為原始函數(shù)f(x)的二階差分。同樣，當(dāng)h很小時(shí)，二階差分Δ2f(x)逼近于二階微分d2f。依同理，可以定義更高階的差分。4.2差分與差商有限差分法是以差分原理為即是無(wú)限小的微分

除以無(wú)限小的微分的商，應(yīng)用差分，顯然，它可近似地表達(dá)為即有限小的差分Δf(x)除以有限小的差分Δx的商，稱(chēng)為差商。同理，一階導(dǎo)數(shù)

還可近似表達(dá)為一階導(dǎo)數(shù)即是無(wú)限小的微分式（4-2）、式（4-3）和式（4-4）分別稱(chēng)為一階向前、向后和中心差商。如圖4-1所示，對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的一階向前、向后和中心差商，在幾何意義上可分別表征為弧線(xiàn)PB、AP和AB的斜率，而在理論上它們對(duì)于該點(diǎn)一階導(dǎo)數(shù)的逼近度則分別可從以下泰勒公式的展開(kāi)式中得知，即由可見(jiàn)，對(duì)應(yīng)于式（4-2）和式（4-3），它們都截?cái)嘤趆f′(x0)項(xiàng)，而把h2項(xiàng)和更高冪次的項(xiàng)全部略去。換句話(huà)說(shuō)，就式（4-2）、式（4-3）而言，略去余數(shù)項(xiàng)所引入的誤差將大致和h的一次方成正比。

式（4-2）、式（4-3）和式（4-4）分別稱(chēng)為一階向前、而對(duì)于式（4-4）的一階中心差商表達(dá)式則相當(dāng)于把相應(yīng)的泰勒公式截?cái)嘤?hf′(x0)項(xiàng)，略去了h3項(xiàng)以及更高冪次的項(xiàng)。很明顯，三種差商表達(dá)式中以式（4-4）所示的中心差商的截?cái)嗾`差最小，其誤差大致和h的二次方成正比。二階導(dǎo)數(shù)同樣可近似為差商的差商，即這相當(dāng)于把泰勒公式截?cái)嘤趆2f″(x)項(xiàng)，略去了h4項(xiàng)以及更高冪次的項(xiàng)，其誤差亦大致和h的二次方成正比。而對(duì)于式（4-4）的一階中心差商表達(dá)式則相當(dāng)于把相應(yīng)的泰勒公由此，仿照式（4-2）和式（4-5），偏導(dǎo)數(shù)也可近似地用相應(yīng)的差商來(lái)表達(dá)。若設(shè)定函數(shù)u(x,y,z)，當(dāng)其獨(dú)立變量x得到一個(gè)很小的增量Δx=h時(shí)，則x方向的一階偏導(dǎo)數(shù)可以近似表達(dá)為同樣，相應(yīng)的二階偏導(dǎo)數(shù)可以近似表達(dá)為由此，仿照式（4-2）和式（4-5），偏導(dǎo)數(shù)也可近似地用4.3差分格式的構(gòu)造現(xiàn)以二維靜態(tài)電、磁場(chǎng)泊松方程的第一類(lèi)邊值問(wèn)題為例，來(lái)具體闡明有限差分法的應(yīng)用。設(shè)具有平行平面場(chǎng)特征的電磁場(chǎng)場(chǎng)域D，如圖4-2所示，為一由閉合邊界L所界定的平面域，其定解問(wèn)題可表述為4.3.1偏微分方程的離散化—五點(diǎn)差分格式通常采用完全有規(guī)律的分布方式，這樣在每個(gè)離散點(diǎn)上就能得出相同形式的差分方程，有效地提高解題速度，因而經(jīng)常采用正方形網(wǎng)格的剖分方式?，F(xiàn)即以這種正方形網(wǎng)格剖分場(chǎng)域D，也就是說(shuō)，用分別與x、y兩坐標(biāo)軸平行的兩簇等距（步距為h）網(wǎng)格線(xiàn)來(lái)生成正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)，這樣，場(chǎng)域D就被離散化為由網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的離散點(diǎn)的集合。4.3差分格式的構(gòu)造現(xiàn)以二維靜態(tài)電、磁場(chǎng)對(duì)于場(chǎng)域內(nèi)典型的內(nèi)節(jié)點(diǎn)o(xi，yj)，如圖4-2所示，它與周?chē)噜彽墓?jié)點(diǎn)1、2、3和4構(gòu)成一個(gè)所謂對(duì)稱(chēng)的星形。今采用雙下標(biāo)(i，j)的識(shí)別方法，設(shè)在這些離散節(jié)點(diǎn)上的待求位函數(shù)u的近似值分別記作uo=u（i，j）、u1=u(i+1，j)、u2=u(i，j+1)、u3=u(i-1，j)和u4=u(i，j-1)，則參照式(4-7)，二維泊松方程（4-8）可近似離散化表示為即此式稱(chēng)為對(duì)應(yīng)于泊松方程的差分方程。如果位函數(shù)u滿(mǎn)足的是拉普拉斯方程（即令式（4-8）中的右端項(xiàng)F=0），則差分離散化后所得差分方程是出現(xiàn)待求函數(shù)u在點(diǎn)o(xi，yj)與其四個(gè)鄰點(diǎn)上的值，故通常稱(chēng)為五點(diǎn)差分格式。邊界條件，對(duì)具體問(wèn)題中可能存在的銜接條件，進(jìn)行差分離散化處理。對(duì)于場(chǎng)域內(nèi)典型的內(nèi)節(jié)點(diǎn)o(xi，yj)，4.3.2定解條件的離散化——各類(lèi)差分計(jì)算格式對(duì)于場(chǎng)域邊界上給定的三類(lèi)邊界條件（見(jiàn)1.7節(jié)），由于第二類(lèi)邊界條件可以看作為第三類(lèi)邊界條件的特殊情況，因此，這里只需討論第一、第三類(lèi)邊界條件的差分離散化處理。（1）第一類(lèi)邊界條件的差分離散化若如圖4-2點(diǎn)M所示，劃分網(wǎng)格時(shí)相應(yīng)的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)恰好落在邊界L上，則只要直接把位函數(shù)u|M∈L=f(rM)的值賦給該對(duì)應(yīng)的邊界節(jié)點(diǎn)M即可。若劃分網(wǎng)格時(shí)引入的節(jié)點(diǎn)不落在邊界L上，則如圖4-3所示，對(duì)于鄰近邊界的典型節(jié)點(diǎn)o，由于h1≠h2≠h，這樣，o點(diǎn)及其周?chē)噜彽?、2、3和4點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)不對(duì)稱(chēng)的星形。此時(shí)，可仿照4.2節(jié)，采用泰勒公式進(jìn)行差分離散化處理，即能相當(dāng)精確地導(dǎo)出關(guān)于o點(diǎn)的差分計(jì)算格式。4.3.2定解條件的離散化——各類(lèi)差分計(jì)算格式應(yīng)用二元函數(shù)的泰勒公式，節(jié)點(diǎn)1的位函數(shù)值u1可通過(guò)u0表示為同理以h和h1分別與以上兩式相乘，且相加，然后截?cái)嘤趆的二次項(xiàng)，便得關(guān)于

的差分表達(dá)式為同理可得應(yīng)用二元函數(shù)的泰勒公式，節(jié)點(diǎn)1的位函數(shù)值u1可通過(guò)令h1=αh，h2=βh，代入以上兩式，最終再代入給定的泊松方程，即得這類(lèi)邊界情況所對(duì)應(yīng)的差分計(jì)算格式為令h1=αh，h2=βh，代入以上兩式，最終再代入給（2）第三類(lèi)邊界條件的差分離散化對(duì)此，同樣需分兩種情況討論。第一種情況是在邊界處引入的相應(yīng)節(jié)點(diǎn)恰好落在邊界L上。這時(shí)，取決于邊界L在該邊界節(jié)點(diǎn)處的外法線(xiàn)方向是否與網(wǎng)格線(xiàn)相重合，對(duì)應(yīng)有不同的差分離散化結(jié)果。當(dāng)邊界L在邊界節(jié)點(diǎn)o處的外法向n與網(wǎng)格線(xiàn)相重合時(shí)，如圖4-4所示，則問(wèn)題在于如何用差商近似替代法向?qū)?shù)

。顯然，最簡(jiǎn)潔的處理方法是依據(jù)式（4-3），

這樣，第三類(lèi)邊界條件在此情況下的差分計(jì)算格式為（2）第三類(lèi)邊界條件的差分離散化對(duì)此，同當(dāng)邊界L在邊界節(jié)點(diǎn)o處的外法向n與網(wǎng)格線(xiàn)不重合時(shí)，如圖4-5所示，顯然有于是，關(guān)于o點(diǎn)的差分計(jì)算格式是當(dāng)邊界L在邊界節(jié)點(diǎn)o處的外法向第二種情況是在邊界處引入的相應(yīng)節(jié)點(diǎn)不落在邊界L上，這時(shí)如圖4-6所示，可在鄰近邊界的節(jié)點(diǎn)o上仍按上述方法列出差分計(jì)算格式，只是需引入與節(jié)點(diǎn)o相關(guān)的邊界節(jié)點(diǎn)o′，取點(diǎn)o′處的外法向n作為點(diǎn)o處的“外法向n”，且近似地認(rèn)為邊界條件中給定的函數(shù)f1(ro)和f2(ro)均在點(diǎn)o′上取值。這樣，將式（4-14）中的f1(ro)和f2(ro)改記為f1(ro′)和f2(ro′)，即得此種情況下關(guān)于o點(diǎn)的差分計(jì)算格式。第二種情況是在邊界處引入的相應(yīng)節(jié)點(diǎn)不落在邊界應(yīng)當(dāng)指出，從實(shí)際電、磁場(chǎng)問(wèn)題的分析需要出發(fā)，如圖4-7所示，以通量線(xiàn)（如E線(xiàn)）為邊界的第二類(lèi)齊次邊界條件是常見(jiàn)的一種情況。這時(shí)，邊界條件的差分離散化可沿著場(chǎng)域邊界外側(cè)安置一排虛設(shè)的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，顯然，對(duì)于邊界節(jié)點(diǎn)o，由于該處

，故必有u1=u3，因此相應(yīng)于第二類(lèi)齊次邊界條件

的差分計(jì)算格式為應(yīng)當(dāng)指出，從實(shí)際電、磁場(chǎng)問(wèn)題的分析需要出發(fā)，4.3.3不同媒質(zhì)分界面上邊界條件的差分計(jì)算格式當(dāng)給定的邊值問(wèn)題含有多種媒質(zhì)時(shí)，取決于不同媒質(zhì)的電磁特性和不同媒質(zhì)分界面的幾何形狀，將對(duì)應(yīng)有類(lèi)型繁多的差分計(jì)算格式，這里僅選取兩種典型情況進(jìn)行分析。（1）分界面與網(wǎng)格線(xiàn)相重合的情況以二維電場(chǎng)問(wèn)題為例，設(shè)分界面L′與網(wǎng)格線(xiàn)相互重合，如圖4-8所示。且設(shè)在媒質(zhì)εa中位函數(shù)ua滿(mǎn)足泊松方程，而在媒質(zhì)εb中位函數(shù)ub滿(mǎn)足拉普拉斯方程。現(xiàn)若將媒質(zhì)εb換以媒質(zhì)εa，則對(duì)于o點(diǎn)，據(jù)式（4-10）可得同理，若將媒質(zhì)εa換以媒質(zhì)εb，則對(duì)于o點(diǎn)，據(jù)式（4-11）可得4.3.3不同媒質(zhì)分界面上邊界條件的差分計(jì)算格式但實(shí)際上ua1和ub3是虛設(shè)的電位，所以應(yīng)利用分界面上場(chǎng)量遵循的邊界條件［式（1-66）和式（1-69）］，把它們從以上兩式中消去。首先，由式（1-66）得出分界面上電位的連續(xù)性，即其次，假設(shè)在分界面上自由電荷的面密度σ=0，則由式（1-69）有以差分格式表示，即為將εa乘以式（4-16）與εb乘以式（4-17）后相加，代入由式（4-18）和式（4-19）所給定的邊界條件，并令K=εa/εb，便得待求的兩種不同媒質(zhì)分界面上邊界條件的差分計(jì)算格式為但實(shí)際上ua1和ub3是虛設(shè)的電位，所以應(yīng)利用分界面上場(chǎng)（2）分界面對(duì)于網(wǎng)格呈對(duì)角線(xiàn)形態(tài)的情況此時(shí)，差分計(jì)算格式的推導(dǎo)及其處理方法與上類(lèi)同，但為提高差分離散化的逼近度，尚需引入M、N兩個(gè)輔助節(jié)點(diǎn)（M、N二點(diǎn)分別是線(xiàn)段14和23的中點(diǎn)），如圖4-9所示。對(duì)于節(jié)點(diǎn)o，如同前述，當(dāng)媒質(zhì)依次代換時(shí)，相應(yīng)的五點(diǎn)差分格式分別與式（4-16）和式（4-17）相同。依據(jù)分界面上的邊界條件，現(xiàn)應(yīng)有注意到在以上各式中ua1、ua4、uaM、ub2、ub3和ubN都是虛設(shè)電位值，但應(yīng)用線(xiàn)性插值，它們可由以下方程相互關(guān)聯(lián)：因此，由實(shí)際存在的電位值（2）分界面對(duì)于網(wǎng)格呈對(duì)角線(xiàn)形態(tài)的情況此可以消去所有虛設(shè)電位值，得出關(guān)于這類(lèi)邊界條件的差分計(jì)算格式4.3.4對(duì)稱(chēng)線(xiàn)的差分計(jì)算格式在實(shí)際分析電、磁場(chǎng)分布時(shí)，經(jīng)常可觀察到場(chǎng)分布的對(duì)稱(chēng)性，因此，在數(shù)值計(jì)算中計(jì)及場(chǎng)的對(duì)稱(chēng)線(xiàn)條件，即可縮小分析計(jì)算的場(chǎng)域，從而在對(duì)計(jì)算機(jī)存貯容量要求不變的情況下，可獲得更為理想的數(shù)值解。設(shè)如圖4-10所示，AA′線(xiàn)為二維泊松場(chǎng)的對(duì)稱(chēng)線(xiàn)。此時(shí)，對(duì)位于對(duì)稱(chēng)線(xiàn)上的任一節(jié)點(diǎn)o，由式（4-10），并依據(jù)場(chǎng)的對(duì)稱(chēng)性，即有u1=u3，因此相應(yīng)的差分計(jì)算格式為可以消去所有虛設(shè)電位值，得出關(guān)于這類(lèi)邊界條件的差分計(jì)算格式44.4差分方程組的求解綜上所述，對(duì)場(chǎng)域D內(nèi)各個(gè)節(jié)點(diǎn)（包括所有場(chǎng)域內(nèi)節(jié)點(diǎn)和有關(guān)的邊界節(jié)點(diǎn)）逐一列出對(duì)應(yīng)的差分計(jì)算格式，即構(gòu)成以這些離散節(jié)點(diǎn)上的位函數(shù)u為待求量的差分方程組（代數(shù)方程組）。仔細(xì)分析所得的差分方程組，不難看出，該方程組的系數(shù)一般都是有規(guī)律的，且各個(gè)方程都很簡(jiǎn)單，包含的項(xiàng)數(shù)不多（取決于前述對(duì)稱(chēng)或不對(duì)稱(chēng)的所謂星形離散結(jié)構(gòu)，每個(gè)方程待求量的項(xiàng)數(shù)最多不超過(guò)5項(xiàng)）。因此，在第二章所述的眾多代數(shù)解法中，對(duì)于有限差分法，通常都采用迭代法，這是因?yàn)橛糜?jì)算程序來(lái)實(shí)現(xiàn)迭代時(shí)，需要用到哪些系數(shù)就算出哪些系數(shù)，不需用時(shí)不保留，這樣可顯著降低對(duì)計(jì)算機(jī)存貯容量的需求。4.4差分方程組的求解綜上所述，對(duì)場(chǎng)域在迭代法的應(yīng)用中，為加速迭代解的收斂速度，通常采用的是逐次超松弛迭代法。按圖4-11所示的對(duì)稱(chēng)星形離散模式，對(duì)應(yīng)于泊松差分方程（4-10），若采用早期的高斯—賽德?tīng)柕ǎㄒ?guī)定迭代運(yùn)算順序是：從左下角開(kāi)始做起，即i小的先做；對(duì)固定的i，j小的先做。），則關(guān)于節(jié)點(diǎn)o迭代到第（n+1）次時(shí)的近似值，應(yīng)由如下迭代公式算得在迭代法的應(yīng)用中，為加速迭代解的收斂速度，通而為加速迭代解的收斂，構(gòu)成超松弛迭代公式的原則是：并不將由上式所算得的結(jié)果作為u(i，j)的第（n+1）次近似值，而僅把它視為一中間結(jié)果

然后作加權(quán)平均處理，即令式中，ω稱(chēng)為加速收斂的松弛因子。很明顯，上式就是2.5節(jié)中已經(jīng)給出的一般計(jì)算公式（2-14）對(duì)應(yīng)于本方法的具體表達(dá)式。正如前已指出的，超松弛迭代法的ω取值范圍是1<ω<2，當(dāng)ω=1時(shí)，式（4-28）即歸結(jié)為高斯—賽德?tīng)柕ǖ牡剑?-27）；當(dāng)ω≥2時(shí)，迭代過(guò)程將不收斂而發(fā)散。最佳收斂因子的取值隨問(wèn)題和離散化的情況而異。對(duì)于第一類(lèi)邊值問(wèn)題，若一正方形場(chǎng)域由正方形網(wǎng)格剖分（每邊節(jié)點(diǎn)數(shù)為p+1），則最佳收斂因子ωopt可按下式計(jì)算而為加速迭代解的收斂，構(gòu)成超松弛迭代公式的原則是：并不將若一矩形場(chǎng)域由邊長(zhǎng)為h的正方形網(wǎng)格剖分（設(shè)兩邊分別為ph和qh，且p、q通常要大于15），則相應(yīng)的最佳收斂因子為在更一般的情況下，ωopt只能憑經(jīng)驗(yàn)取值。值得指出，在2.5節(jié)中，介紹了加速收斂的松弛因子ω作自適應(yīng)估計(jì)的方法，這為解決一般性的需要提供了優(yōu)化加速收斂因子選擇的數(shù)學(xué)工具，然而，這時(shí)不僅首先必須形成差分方程組所對(duì)應(yīng)的系數(shù)陣，而且相繼需要構(gòu)造系數(shù)矩陣元素的存貯技術(shù)（如2.5.3節(jié)所闡述的非零元素存貯技術(shù)）。換句話(huà)說(shuō)，應(yīng)用數(shù)學(xué)上的高要求導(dǎo)致了求解過(guò)程的復(fù)雜化。應(yīng)當(dāng)注意，在迭代運(yùn)算前，恰當(dāng)?shù)亟o定各內(nèi)點(diǎn)的初值（即所謂零次近似值），也是加速收斂速度的一個(gè)有效途徑。在超松弛迭代法的應(yīng)用中，還必須涉及迭代解收斂程度的檢驗(yàn)問(wèn)題。對(duì)此，通常的處理方法是：以所有內(nèi)點(diǎn)上相鄰兩次迭代解的絕對(duì)誤差或相對(duì)誤差不大于指定的誤差范圍，作為檢查迭代解收斂程度的依據(jù)。若一矩形場(chǎng)域由邊長(zhǎng)為h的正方形網(wǎng)格剖分（設(shè)兩邊分別為4.5場(chǎng)強(qiáng)與電、磁積分量的計(jì)算通過(guò)上述差分方程組的求解，在獲得待求位函數(shù)u(x,y)的數(shù)值解后，往往還需求場(chǎng)中的場(chǎng)強(qiáng)分布，以及其他有關(guān)的積分特性（如磁通量和磁導(dǎo)、電導(dǎo)、電容等磁路及電路參數(shù)等）?，F(xiàn)以二維平行平面場(chǎng)為例導(dǎo)出關(guān)于這些物理量和參數(shù)的差分計(jì)算公式，推導(dǎo)中設(shè)場(chǎng)域由正方形網(wǎng)格予以剖分。4.5.1場(chǎng)強(qiáng)的差分計(jì)算公式基于1.6節(jié)的闡述，在靜態(tài)二維場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度E、磁場(chǎng)強(qiáng)度H或磁感應(yīng)強(qiáng)度B和它們對(duì)應(yīng)的位函數(shù)之間的關(guān)系可用差商分別表示為4.5場(chǎng)強(qiáng)與電、磁積分量的計(jì)算通過(guò)上述式中，Mφ、Mφm和MA

分別為電位、標(biāo)量磁位和向量磁位函數(shù)的標(biāo)度，定義為相應(yīng)位函數(shù)的實(shí)際值與相對(duì)值之比。例如在4.6節(jié)例4-1中，采用了φ1=10的相對(duì)電位值，若φ1的實(shí)際值為150V，則計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度時(shí)引入的電位函數(shù)標(biāo)度應(yīng)該是Mφ=150V/10=15V。但若計(jì)算時(shí)，位函數(shù)直接采用實(shí)際值，則Mφ=1。如需計(jì)算邊界上的場(chǎng)強(qiáng)，由于按式（4-31）～式（4-33）中所取的位函數(shù)值通常是在相距為h而非2h的兩點(diǎn)上的值，因此所得結(jié)果實(shí)際上并不是邊界處的場(chǎng)強(qiáng)，而應(yīng)該是與邊界相鄰的網(wǎng)格邊和邊界的中間點(diǎn)上的場(chǎng)強(qiáng)值。例如，圖4-15d中邊界點(diǎn)S上的電場(chǎng)強(qiáng)度即可表示為顯然，只有當(dāng)網(wǎng)格的步距h足夠小時(shí)，上式計(jì)算結(jié)果才有可能逼近邊界點(diǎn)S上實(shí)際的場(chǎng)強(qiáng)值。式中，Mφ、Mφm和MA分別為電位、標(biāo)量磁位和向量磁4.5.2通量與參數(shù)的差分計(jì)算式無(wú)論是靜電場(chǎng)、恒定電流場(chǎng)或恒定磁場(chǎng)，其通量Φ可一般性地表示為式中，K是相應(yīng)媒質(zhì)的宏觀特征參數(shù)（ε、γ或μ），而a則為上述各類(lèi)電、磁場(chǎng)的相關(guān)場(chǎng)量（即相應(yīng)場(chǎng)強(qiáng)E、Eγ或H）。在求得場(chǎng)中各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的基礎(chǔ)上，這一通量積分值可以近似地表示成式中，n表示被積面積被網(wǎng)格剖分所得小塊面積的總數(shù)；Si

表示其中某一小塊面積；aav(i)表示在Si中所取的場(chǎng)強(qiáng)ai的平均值，并且ai

的方向應(yīng)與小面積Si

的法線(xiàn)方向相一致。這樣，在通量的差分計(jì)算式（4-35）的基礎(chǔ)上，所分析的靜電場(chǎng)中的電容C、恒定電流場(chǎng)中的電導(dǎo)G或恒定磁場(chǎng)中的磁導(dǎo)Λ等電路或磁路參數(shù)P就可按下式計(jì)算：式中，U表示限定分析區(qū)域的邊界面間的電位差或磁位差。

4.5.2通量與參數(shù)的差分計(jì)算式無(wú)論是靜電場(chǎng)、恒定電流場(chǎng)或第4章-有限差分法ppt課件第4章-有限差分法ppt課件第4章-有限差分法ppt課件第4章-有限差分法ppt課件例4-2二維平行平面電流場(chǎng)的計(jì)算。在導(dǎo)電紙模擬的實(shí)驗(yàn)研究中，制備了如圖4-17所示的兩維電流場(chǎng)模型，其中兩種導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率分別為γ1和γ2，它們?cè)趫?chǎng)域的對(duì)角線(xiàn)L′上接合。電極間外施電壓10V。試求該電流場(chǎng)模型中兩維電流場(chǎng)分布。例4-2二維平行平面電流場(chǎng)的計(jì)算。在導(dǎo)電第4章-有限差分法ppt課件第4章-有限差分法ppt課件第4章-有限差分法ppt課件第4章-有限差分法ppt課件4.7等值點(diǎn)的尋求與描繪在電磁場(chǎng)分布的研究中，為了形象化的分析需要，通常需要通過(guò)數(shù)值計(jì)算的后處理，描繪出場(chǎng)分布的可視化圖形，從而可定性乃至定量地討論場(chǎng)分布的規(guī)律性。常見(jiàn)的場(chǎng)分布圖形為電場(chǎng)中的等位面（線(xiàn)）、磁場(chǎng)中的等磁位面（線(xiàn)）以及磁感應(yīng)強(qiáng)度B線(xiàn)的分布等。應(yīng)再次指出，誠(chéng)如3.5節(jié)的討論，在具有平行平面場(chǎng)或軸對(duì)稱(chēng)場(chǎng)特征的前提下，借助于向量磁位A(Az=const.或ρAφ=const.)即可方便地描繪出相應(yīng)磁場(chǎng)的B線(xiàn)分布。這些由相應(yīng)的位函數(shù)數(shù)值相等的點(diǎn)所形成的曲面（線(xiàn)），稱(chēng)為等值面（線(xiàn)），其一般方程為對(duì)少量電磁場(chǎng)問(wèn)題，上式可由解析表達(dá)式給出，利用該表達(dá)式就可以直接繪制場(chǎng)分布圖形。對(duì)大量的工程電磁場(chǎng)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，則必須有賴(lài)于電磁場(chǎng)的數(shù)值解，通過(guò)插值法來(lái)尋求對(duì)應(yīng)于給定位值的等值點(diǎn)。4.7等值點(diǎn)的尋求與描繪在電磁場(chǎng)分布的研究4.7.1等值點(diǎn)的尋求以平行平面電場(chǎng)中等值點(diǎn)的尋求為例，當(dāng)由有限差分法算出各網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的電位值后，可以利用線(xiàn)性插值關(guān)系來(lái)求得指定電位值的等值點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)。具體方法和步驟如下：（1）給出等值線(xiàn)的指定電位值Veq；（2）判斷相應(yīng)的網(wǎng)格線(xiàn)是否與位值等于給定的Veq的等值線(xiàn)相交。如圖4-21所示，設(shè)某個(gè)正方形網(wǎng)格的四頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(i,j)、B(i,j+1)、C(i+1,j+1)和D(i+1，j)，現(xiàn)首先判斷網(wǎng)格線(xiàn)AB是否與指定位值的等值線(xiàn)相交。顯然，若點(diǎn)A和點(diǎn)B的電位值V(i，j)和V(i，j+1)與指定位值之間滿(mǎn)足下列不等式：則指定的等值線(xiàn)必與網(wǎng)格線(xiàn)AB相交，換句話(huà)說(shuō)，在AB線(xiàn)上有相應(yīng)的交點(diǎn)存在。4.7.1等值點(diǎn)的尋求以平行平面電場(chǎng)中等

(3）按線(xiàn)性插值關(guān)系，確定上述所得等值點(diǎn)的坐標(biāo)。在網(wǎng)格線(xiàn)分別沿x，y坐標(biāo)軸取向的前提條件下，按線(xiàn)性插值公式即可求得上述交點(diǎn)（有指定位值的等值點(diǎn)）的坐標(biāo)為（4）同理，繼續(xù)搜索沿x方向網(wǎng)格線(xiàn)AD上是否存在待求的等值點(diǎn)。一旦存在，則其計(jì)算關(guān)系式可類(lèi)同推得為至此，對(duì)各個(gè)網(wǎng)孔分別在相應(yīng)的x和y方向的兩網(wǎng)格線(xiàn)上搜索對(duì)應(yīng)的等值點(diǎn)；為使所得等值點(diǎn)形成有序的排列，這里，還運(yùn)用所謂冒泡法對(duì)選定的某個(gè)坐標(biāo)方向?qū)崿F(xiàn)等值點(diǎn)的排序處理。冒泡法的思路在于將相鄰的兩個(gè)數(shù)值進(jìn)行比較，將數(shù)值小的一個(gè)調(diào)遷到前一位置。(3）按線(xiàn)性插值關(guān)系，確定上述所得等值點(diǎn)的4.7.2等值面（線(xiàn)）的繪制對(duì)應(yīng)于場(chǎng)分布（等值面或等值線(xiàn)）圖形描繪的需求，在尋找出各組等值點(diǎn)的分布后，由所構(gòu)成的數(shù)據(jù)文件，即可借助于各類(lèi)繪圖軟件，例如Math、Tech*Graph*Pad等，以及如常用軟件MATLAB等，完成等值面（線(xiàn)）的繪制。書(shū)在5.4.5節(jié)對(duì)等值線(xiàn)的繪制，基于三角元剖分，進(jìn)行了系統(tǒng)的展述。4.7.2等值面（線(xiàn)）的繪制對(duì)應(yīng)于場(chǎng)分布4.8時(shí)域有限差分法近代技術(shù)的發(fā)展，使復(fù)雜的高頻電磁系統(tǒng)的分析與綜合，以及高頻電磁場(chǎng)與復(fù)雜目標(biāo)相互作用的分析和計(jì)算，成為重要的研究課題。這些研究課題以高頻電磁場(chǎng)的傳輸、輻射、散射、和透入問(wèn)題為主線(xiàn)，反映了現(xiàn)代通信、雷達(dá)、物探、電磁防護(hù)、電磁兼容、醫(yī)療診斷、戰(zhàn)略防御以及工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活等領(lǐng)域多方面的需求。正是在眾多分析任務(wù)與目標(biāo)的推動(dòng)下，時(shí)域有限差分法歷經(jīng)20余年的發(fā)展，以其直接的時(shí)域計(jì)算模式、廣泛的適用性、較經(jīng)濟(jì)的存貯空間和計(jì)算時(shí)間、程序的通用性與簡(jiǎn)明、直觀等特點(diǎn)，從傳統(tǒng)的有限差分法中脫穎而出，成為在上述一系列研究課題中廣泛應(yīng)用的數(shù)值計(jì)算方法。本節(jié)即在于概述時(shí)域有限差分法（FDTD）的基本應(yīng)用原理。4.8時(shí)域有限差分法近代技術(shù)的發(fā)展，使復(fù)1966年KaneS.Yee提出了后被稱(chēng)為Yee氏網(wǎng)格的空間離散方式（見(jiàn)圖4-22）。這一合理的網(wǎng)格體系的特點(diǎn)是，電場(chǎng)和磁場(chǎng)各分量在空間的取值點(diǎn)被交叉地放置，從而在直角坐標(biāo)系下每個(gè)坐標(biāo)平面上相應(yīng)的電場(chǎng)分量的四周由磁場(chǎng)分量環(huán)繞，而相應(yīng)的磁場(chǎng)分量的四周則由電場(chǎng)分量環(huán)繞。這樣的網(wǎng)格空間配置符合法拉第電磁感應(yīng)定律和安培環(huán)路定律的要求。例如對(duì)應(yīng)于圖4-22b中環(huán)繞點(diǎn)o(xo,yo,zo)的環(huán)量4.8.1Yee氏網(wǎng)格1966年KaneS.Yee提出了式中，在相應(yīng)的元路徑Δx或Δy上求積時(shí)，對(duì)應(yīng)場(chǎng)量Ex或Ey被看作為常量，且分別等于元路徑中點(diǎn)處的Ex或Ey值。從而通過(guò)應(yīng)用二元函數(shù)的泰勒公式，并截?cái)嘤谝浑A偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，可得式中，在相應(yīng)的元路徑Δx或Δy上求積時(shí)，對(duì)應(yīng)場(chǎng)量Ex將以上關(guān)于Ex1、Ey2、Ex3和Ey4的近似表達(dá)式代入式（4-39），即有而依據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律應(yīng)有綜合式（4-40）和式（4-41），顯然滿(mǎn)足麥克斯韋方程組中的旋度方程,

即由此可見(jiàn)，Yee氏網(wǎng)格體系反映了實(shí)際物理模型中電場(chǎng)和磁場(chǎng)互為因果的物理本質(zhì)，即滿(mǎn)足麥克斯韋方程組的兩個(gè)旋度方程，因而也就符合電磁波在空間傳播的規(guī)律性。此外，它也滿(mǎn)足不同介質(zhì)分界面上場(chǎng)的切向分量連續(xù)的物理?xiàng)l件。顯然，Yee氏網(wǎng)格為在四維空間中合理地離散六個(gè)未知場(chǎng)量，建立具有高精度的差分計(jì)算格式，奠定了理想的離散化空間的應(yīng)用基礎(chǔ)。將以上關(guān)于Ex1、Ey2、Ex3和Ey4的近似表達(dá)式4.8.2旋度方程的差分格式當(dāng)場(chǎng)域由Yee氏網(wǎng)格離散后，空間步長(zhǎng)分別為Δx、Δy和Δz；時(shí)間步長(zhǎng)記為Δt，以n表示時(shí)間步長(zhǎng)的“個(gè)數(shù)”，并標(biāo)記于右上角，因而場(chǎng)分量F（x，y，z，t）的四維空間離散表示法為在1.4.1節(jié)中，已經(jīng)指出，麥克斯韋方程組中兩旋度方程是基本的，這是電磁場(chǎng)問(wèn)題研究的出發(fā)點(diǎn)。應(yīng)指出，為保證FDTD計(jì)算穩(wěn)定性，時(shí)間離散的步長(zhǎng)與空間離散步長(zhǎng)間應(yīng)滿(mǎn)足一定的關(guān)系。經(jīng)分析表明，時(shí)間步長(zhǎng)可選為電磁波傳播一個(gè)空間步長(zhǎng)所需時(shí)間的一半?，F(xiàn)應(yīng)用中心差商近似替代該場(chǎng)分量對(duì)空間、時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)，即4.8.2旋度方程的差分格式當(dāng)場(chǎng)域由Ye在無(wú)源、均勻且各向同性的線(xiàn)性介質(zhì)中，麥克斯韋方程組的兩旋度方程分別為以上兩式在直角坐標(biāo)系下的展開(kāi)式，分別為應(yīng)用式（4-43）和式（4-4）的差商近似關(guān)系式，式（4-47a）對(duì)應(yīng)的差分計(jì)算格式為在無(wú)源、均勻且各向同性的線(xiàn)性介質(zhì)中，麥克斯韋方程組的兩旋度方同理，在(n+1/2)時(shí)間步，對(duì)(i，j+1/2，k)點(diǎn)的Ey；在(n+1/2)時(shí)間步，對(duì)(i，j，k+1/2)點(diǎn)的Ez，可得與式（4-47b）和式（4-47c）分別對(duì)應(yīng)的完全類(lèi)似的差分格式。對(duì)于相應(yīng)的第二旋度方程中的磁場(chǎng)分量的差分格式，由方程的對(duì)稱(chēng)性，可類(lèi)比求得。應(yīng)注意的是，因在Ex、Ey和Ez差分格式中磁場(chǎng)值取于(n+1/2)時(shí)間步，故下式中磁場(chǎng)取值均應(yīng)取自(n+1/2)時(shí)間步或(n-1/2)時(shí)間步，以保證取值的時(shí)間步差為一個(gè)整時(shí)間步，從而保證下式中電場(chǎng)分量取值時(shí)間與前面的電場(chǎng)分量取值時(shí)間相同。這樣，將為未知量的存貯和計(jì)算帶來(lái)很多方便。因此，對(duì)于式（4-48a）應(yīng)有同理，在n時(shí)間步，對(duì)(i+1/2，j，k+1/2)點(diǎn)的Hy；在n時(shí)間步，對(duì)(i+1/2，j+1/2，k)點(diǎn)的Hz，可得與式（4-48b）和式（4-48c）分別對(duì)應(yīng)的完全類(lèi)似的差分格式。同理，在(n+1/2)時(shí)間步，可以看出，任一網(wǎng)格點(diǎn)上的電場(chǎng)值只與它上一時(shí)間步的電場(chǎng)值及四周環(huán)繞它的磁場(chǎng)值相關(guān)；同樣，任一網(wǎng)格點(diǎn)上的磁場(chǎng)值也只與它上一時(shí)間步的磁場(chǎng)值及四周環(huán)繞它的電場(chǎng)值相關(guān)。此外，媒質(zhì)參數(shù)ε、μ均為空間坐標(biāo)的函數(shù)，故FDTD易于處理非均勻和各向異性媒質(zhì)的問(wèn)題。4.8.3解的數(shù)值穩(wěn)定性在時(shí)域有限差分法中，時(shí)間增量Δt和空間增量Δx、Δy和Δz不是相互獨(dú)立的，它們之間必須滿(mǎn)足一定的關(guān)系，否則，將出現(xiàn)算法上的不穩(wěn)定性?？梢宰C明[10]，在三維情況下，F(xiàn)DTD數(shù)值穩(wěn)定條件為式中，V是電磁波的傳播速度。如果Δx=Δy=Δz=Δl時(shí)，則，一般取若在三個(gè)坐標(biāo)軸方向上的空間步長(zhǎng)是可變的，那么，應(yīng)該先取每一坐標(biāo)方向上的最小步長(zhǎng)，然后三者中再選最小值，即可以看出，任一網(wǎng)格點(diǎn)上的電場(chǎng)值只與它上一時(shí)間4.8.4邊界條件關(guān)于邊界條件包含三種類(lèi)型：有界場(chǎng)域的邊界條件；不同介質(zhì)分界面上的邊界條件和無(wú)界場(chǎng)域截?cái)噙吔缟系奈者吔鐥l件。對(duì)于切向電場(chǎng)或法向磁場(chǎng)為零的邊界，如5.7.2節(jié)所述的波導(dǎo)場(chǎng)問(wèn)題，此時(shí)在波導(dǎo)壁邊界上，只要使切向電場(chǎng)或法向磁場(chǎng)所在的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)落在邊界上，則對(duì)于TM波，應(yīng)令邊界節(jié)點(diǎn)上的Et=0；對(duì)于TE波，由于磁場(chǎng)的法向?qū)?shù)為零，可虛擬與邊界面相距半個(gè)步長(zhǎng)的網(wǎng)格，并令節(jié)點(diǎn)上的值對(duì)于邊界面呈偶對(duì)稱(chēng)分布，其分析方法與4.3.2節(jié)中所表述的邊界條件處理方法類(lèi)似。（1）有界場(chǎng)域的邊界條件（2）不同介質(zhì)分界面上的邊界條件設(shè)典型的兩種理想介質(zhì)分界面如圖4-23所示，其分界面S與坐標(biāo)面XOZ相平行。在兩種介質(zhì)區(qū)域中，式（4-47a）應(yīng)分別為4.8.4邊界條件關(guān)于邊界條件包含三種類(lèi)型在介質(zhì)分界面S上，磁場(chǎng)分量連續(xù)，即Hz1≈Hz2=Hz，Hy1≈Hy2=Hy（理想