平面向量的數(shù)量積課件

2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義1平面向量的數(shù)量積學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、掌握平面向量的數(shù)量積的定義及幾何意義2、掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)下面請同學(xué)們看課本并思考如下問題：平面向量的數(shù)量積學(xué)習(xí)目標(biāo)：下面請同學(xué)們看課本并思考如下問題：2已知兩個非零向量a和b，作OA=a，

OB=b，則∠AOB=θ

（0°≤θ≤180°）叫做向量a與b的夾角。OBAθ1、向量的夾角當(dāng)θ＝0°時，a與b同向；OAB當(dāng)θ＝180°時，a與b反向；OABB當(dāng)θ＝90°時，稱a與b垂直，記為a⊥b.OAab已知兩個非零向量a和b，作OA=a，OB=b，則∠AOB=3（1）求兩向量的夾角，應(yīng)保證兩個向量有公共起點(diǎn)，若沒有，須平移使它們有公共起點(diǎn)；（2）范圍0≤〈a，b〉≤π；（3）〈a，b〉=〈b，a〉；（4）〈a，b〉=0時,a、b同向；〈a，b〉=π時，a、b反向；〈a，b〉=90°時，a⊥b.（5）規(guī)定：在討論垂直問題時，零向量與任意向量垂直.（1）求兩向量的夾角，應(yīng)保證兩個向量有公共起點(diǎn)，若沒有，須平4我們學(xué)過功的概念，即一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s（如圖）θFS力F所做的功W可用下式計算

W=|F||S|cosθ其中θ是F與S的夾角功是標(biāo)量，它由力和位移兩個向量確定。思考：能否把“功”看成這兩個向量的一種運(yùn)算我們學(xué)過功的概念，即一個物體在力F的作用下產(chǎn)生5我們將功的運(yùn)算類比到兩個向量的一種運(yùn)算，得到向量“數(shù)量積”的概念。我們將功的運(yùn)算類比到兩個向量的一種運(yùn)算，得到向量“數(shù)62、向量的數(shù)量積的定義已知兩個非零向量

與，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積,點(diǎn)乘），即規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即0．

注:1、兩向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量，符號由夾角決定2、a·b不能寫成a×b，a×b

表示向量的另一種運(yùn)算．符號“·”在向量運(yùn)算中不是乘號，不能省略.2、向量的數(shù)量積的定義已知兩個非零向量與，它們7θOOθO3、向量數(shù)量積的幾何意義θOOθO3、向量數(shù)量積的幾何意義8向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候?yàn)檎?，什么時候?yàn)樨?fù)？思考：a·b=|a||b|cosθ當(dāng)0°≤θ＜

90°時a·b為正；當(dāng)90°＜θ≤180°時a·b為負(fù)。當(dāng)θ=90°時a·b為零。當(dāng)θ=0°，它就等于│b

│

；而當(dāng)θ=180°時，它等于－│b│。向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候?yàn)檎?，?重要性質(zhì):設(shè)是非零向量，方向相同的單位向量，的夾角，則特別地OABθ

abB1求模的方法判斷垂直的又一條件求角重要性質(zhì):設(shè)是非零向量，方向相同的單位向量，的夾角，則特別地10練習(xí)：1．若a=0，則對任一向量b

，有a·b=0．2．若a≠0，則對任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a·b=0，則b=04．若a·b=0，則a·b中至少有一個為0．5．若a≠0，a·b=b·c，則a=c6．若a·b=a·c,則b≠c,當(dāng)且僅當(dāng)a=0時成立．7．對任意向量a有√×××××√8、對任意向量a，b，c都有(a·b)·c＝a·(b·c)；×練習(xí)：1．若a=0，則對任一向量b，有a·b=0．211解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10例1，1、已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角θ=120°，求a·b。解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos1212同向時，48反向時，-48同向時，4813平面向量的數(shù)量積ppt課件14練習(xí).已知|a|＝３，|b|＝６，當(dāng)①a∥b，②a⊥b，③a與b的夾角是60°時，分別求a·b①a∥b時，a·b=±18；②a⊥b時，a·b=0；③a與b的夾角是60°時，a·b=9.練習(xí).已知|a|＝３，|b|＝６，當(dāng)①a∥b，②a⊥b，③15平面向量的數(shù)量積ppt課件16例2.如圖，△ABC為等腰直角三角形，且直角邊AB=1，求解：又例2.如圖，△ABC為等腰直角三角形，且直角邊AB=1，求17例3.已知|a|=3,|b|=5，且a?b=－12，求a在b方向上的正射影的數(shù)量及b在a方向上的正射影的數(shù)量。解：因?yàn)樗詀在b方向上的正射影的數(shù)量是b在a方向上的正射影的數(shù)量是例3.已知|a|=3,|b|=5，且a?b=－12，求a18練一練：練一練：19二、平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：數(shù)量積的運(yùn)算律：其中，是任意三個向量，注：二、平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：數(shù)量積的運(yùn)算律：其中，是任意三20

則(a+b)·c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=a·c+b·c.

ONMa+bbac

向量a、b、a+b在c上的射影的數(shù)量分別是OM、MN、ON,證明運(yùn)算律(3)則ONMa+bbac21說明：向量數(shù)量積不滿足消去律，也就是說：說明：向量數(shù)量積不滿足消去律，也就是說：22例1：求證：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.證明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.例1：求證：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（223例1：求證：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.證明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b＝a·a＋b·a－a·b－b·b＝a2－b2.例1：求證：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（224平面向量的數(shù)量積ppt課件25平面向量的數(shù)量積ppt課件26例4、已知a、b都是非零向量，且a+3b

與7a–5b

垂直，a–4b

與7a–2b垂直，求a與b的夾角。

解：∵（a+3b

）⊥（7a–5b）

（a–4b）⊥（7a–2b）

∴（a+3b

）·（7a–5b）=0且（a–4b）·（7a–2b）=0即7a·a+

16a·b–15b·b=0

7a·a-30a·b+8b·b=0兩式相減得：2a·b=b2，

代入其中任一式中得:a2=b2cosθ=例4、已知a、b都是非零向量，且a+3b與7a–27練習(xí)：432,1||||1kbakbababarrrrrrrr-+^==的值。互相垂直，求也與且、若練習(xí)：432,1||||1kbakbababarrrrrrr282、三角形ABC為正三角形，問：60012002、三角形ABC為正三角形，問：600120029=-3=-34=-5=-3=-34=-530課堂小結(jié)：1、向量的數(shù)量積的定義已知兩個非零向量

與，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量（或內(nèi)積,點(diǎn)乘），即規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即0．2、向量數(shù)量積的幾何意義課堂小結(jié)：1、向量的數(shù)量積的定義已知兩個非零向量與31課堂小結(jié)：3、向量數(shù)量積的性質(zhì)課堂小結(jié)：3、向量數(shù)量積的性質(zhì)324、數(shù)量積運(yùn)算律課堂小結(jié)：（交換律）（數(shù)乘結(jié)合律）（分配律）4、數(shù)量積運(yùn)算律課堂小結(jié)：（交換律）（數(shù)乘結(jié)合律）（分配律）33課時作業(yè)：1、已知|p|＝8，|q|＝6，p和q的夾角是60°，求p?q2、設(shè)|a|＝12，|b|＝9，a?b＝－，求a和b的夾角3、已知中，AB＝a，AC＝b當(dāng)a?b<0時，