基本不等式課件

3.4

基本不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、知道什么是基本不等式及其推導(dǎo)過(guò)程2、會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題錦山蒙中高二數(shù)學(xué)3.4基本不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、知道什么是基本不等式及其推1幾何背景：如圖是在北京召開的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？幾何背景：2結(jié)論：一般的，如果結(jié)論：一般的，如果3證明：、定理：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)）證明：、定理：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)）4二、定理：如果是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）要證要證（3），只要證（

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）≥0當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，（4）中的等號(hào)成立。（1）只要證a+b≥（2）要證（2），只要證a+b-≥0（3）（4）顯然，（4）是成立的。2二、定理：如果是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）要證要證（35證明：∵即：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，∴證明：∵即：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，∴6RR+（1）兩個(gè)不等式的適用范圍不同,

而等號(hào)成立的條件相同（2）稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)

稱為它們的算術(shù)平均數(shù)。RR+（1）兩個(gè)不等式的適用范圍不同,而等號(hào)成立的條件相同7利用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)需要同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：利用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)8（1）函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；（2）函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；（3）函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值。即用均值不等式求某些函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三相等。

（1）函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；9不正不正10不定不等不定不等11×√×××練習(xí)1:不正不正不等×√×××練習(xí)1:不正不正不等12分析：本題的解答忽略了對(duì)基本不等式使用時(shí)必須是正數(shù)這一點(diǎn)注意事項(xiàng)。分析：本題的解答在使用基本不等式時(shí)沒有找到定值條件，只是盲目的套用基本不等式的形式，導(dǎo)致所得結(jié)果并不是最小的值。注意：在使用基本不等式求最值為題時(shí)，式中的積或和必須是定值。大家來(lái)挑錯(cuò)！分析：本題的解答忽略了對(duì)基本不等式使分析：本題的解答在使用基13本題的解答沒有注意本身的限制，使得基本不等式的等號(hào)無(wú)法取得。注意：最值是否存在要考慮基本不等式中的等號(hào)是否能取得，在什么情況下取得。大家來(lái)挑錯(cuò)!本題的解答沒有注意本身的限制，使得基14解答是錯(cuò)誤的，原因是，當(dāng)x＜0時(shí)，就不能運(yùn)用公式.事實(shí)上，當(dāng)x＜0時(shí)，y＜0，故最小值不可能為2.此時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?-∞,-2］∪［2,+∞).大家來(lái)挑錯(cuò)!求函數(shù)y＝x＋的值域解：∵y＝x＋≥2，∴y的最小值為2.所以此函數(shù)的值域?yàn)椋?,+∞).解答是錯(cuò)誤的，原因是，當(dāng)x＜0時(shí)，就不能運(yùn)用公式.大家來(lái)挑錯(cuò)15不等式2：可變形為:推廣：（1）兩個(gè)正數(shù)積為定值，和有最小值。（2）兩個(gè)正數(shù)和為定值，積有最大值。二、利用基本不等式求函數(shù)的最值不等式2：可變形為:推廣：二、利用基本不等式16推廣：（1）兩個(gè)正數(shù)積為定值，和有最小值。（2）兩個(gè)正數(shù)和為定值，積有最大值。和定積最大，積定和最小即2個(gè)正數(shù)的和為定值，則可求其積的最大值

積為定值，則可求其和的最小值推廣：和定積最大，積定和最小即2個(gè)正數(shù)的和為定值，則可求其17例2：已知x>0，求的最小值。歸納：見和想積，乘積為定值，則和有最小值。變式1：若x<0，求的最大值。變式2：若x>2，求的最小值。例2：已知x>0，求的最小值。歸納：見和想積，乘積為定值18例3：歸納：見積想和，和為定值，則乘積有最大值。，求變式2：已知的最大值。變式1：A例3：歸納：見積想和，和為定值，則乘積有最大值。，求變式219例題講解例1

已知x、y都是正數(shù)，求證：（2）（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥8x3y3。例題講解例1已知x、y都是正數(shù)，求證：（2）（x＋y20隨堂練習(xí)1、已知a、b、c都是正數(shù)，求證：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥8abc。變式、已知a、b、c都是正數(shù)，a+b+c=1,求證：（1–a）（1–b）（1–c）≥8abc。隨堂練習(xí)1、已知a、b、c都是正數(shù)，變式、已知a、b、c都212、證明：a2＋b2＋c2≥ab+bc+ca。變式：已知a、b、c都是正數(shù)，證明：2、證明：a2＋b2＋c2≥ab+bc+ca。變221.湊項(xiàng)：使積成為定值的最小值。

2.求451321.湊項(xiàng)：使積成為定值的最小值。2.求45132232.湊系數(shù)：使和成為定值，求練習(xí)2：已知的最大值。2.湊系數(shù)：使和成為定值，求練習(xí)2：已知的最大值。243.分離法9213.分離法921254.關(guān)于“1”的靈活運(yùn)用變式：16164.關(guān)于“1”的靈活運(yùn)用變式：161626例：已知lgx+lgy＝1，的最小值是______.25.基本不等式與對(duì)