導熱微分方程式及單值性條件課件

HeatTransfer

傳熱學BuildingEnergyEfficiencyistheWaveoftheFuture!

建筑工程系HeatTransfer

傳熱學BuildingEne§1

導熱理論基礎

建筑環(huán)境與設備工程專業(yè)主干課程之一

!Chapter1Heatconductiontheory

§1導熱理論基礎建筑環(huán)境與設備工程專業(yè)主干課程之一!CHeatTransfer傅里葉定律：

建立導熱微分方程，可以揭示連續(xù)溫度場隨空間坐標和時間變化的內(nèi)在聯(lián)系。

理論基礎：傅里葉定律+能量守恒方程

定義：根據(jù)能量守恒定律與傅立葉定律，建立導熱物體中的溫度場應滿足的數(shù)學表達式，稱為導熱微分方程。（一）導熱微分方程的推導一、導熱微分方程

§1-2導熱微分方程式及單值性條件HeatTransfer傅里葉定律：建立導熱微分方程，可3HeatTransfer假設：(1)所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)

(2)熱導率、比熱容和密度均為已知

(3)物體內(nèi)具有均勻分布內(nèi)熱源；強度qv

[W/m3];qv

表示單位體積的導熱體在單位時間內(nèi)放出的熱量

導熱體內(nèi)取一微元體，根據(jù)能量守恒定律，單位時間凈導入微元體的熱量加上微元體內(nèi)熱源生成的熱量應等于微元體內(nèi)能的增加量

一、導熱微分方程

HeatTransfer假設：(1)所研究的物體是各向同4HeatTransfer1、導入與導出微元體的凈熱量

d時間內(nèi)、沿x軸方向、經(jīng)x表面導入的熱量：d時間內(nèi)、沿x軸方向、經(jīng)x+dx表面導出的熱量：一、導熱微分方程

HeatTransfer1、導入與導出微元體的凈熱量5HeatTransferd時間內(nèi)、沿x軸方向?qū)肱c導出微元體凈熱量d時間內(nèi)、沿y軸方向?qū)肱c導出微元體凈熱量d時間內(nèi)、沿z軸方向?qū)肱c導出微元體凈熱量d時間內(nèi)、沿z軸方向?qū)肱c導出微元體凈熱量一、導熱微分方程

HeatTransferd時間內(nèi)、沿x軸方向?qū)肱c6HeatTransfer[導入與導出凈熱量]:傅里葉定律：一、導熱微分方程

HeatTransfer[導入與導出凈熱量]:傅里葉定律：7HeatTransfer2、d時間微元體內(nèi)熱源的發(fā)熱量3、微元體在d時間內(nèi)能的增加量

一、導熱微分方程

HeatTransfer2、d時間微元體內(nèi)熱源的發(fā)熱量8HeatTransfer將以上各式代入熱平衡關(guān)系式，并整理得：這是笛卡爾坐標系中三維非穩(wěn)態(tài)導熱微分方程的一般表達式。其物理意義：反映了物體的溫度隨時間和空間的變化關(guān)系。非穩(wěn)態(tài)項源項擴散項一、導熱微分方程

HeatTransfer將以上各式代入熱平衡關(guān)系式，并整理9HeatTransfer1）對上式化簡：

①導熱系數(shù)為常數(shù)

式中，，稱為熱擴散率。②導熱系數(shù)為常數(shù)、無內(nèi)熱源

一、導熱微分方程

HeatTransfer1）對上式化簡：①導熱系數(shù)為常數(shù)10HeatTransfer③導熱系數(shù)為常數(shù)、穩(wěn)態(tài)

④導熱系數(shù)為常數(shù)、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源

一、導熱微分方程

HeatTransfer③導熱系數(shù)為常數(shù)、穩(wěn)態(tài)④導11HeatTransfer綜上說明：

（1）導熱問題仍然服從能量守恒定律；（2）等號左邊是單位時間內(nèi)微元體熱力學能的增量（非穩(wěn)態(tài)項）；（3）等號右邊前三項之和是通過界面的導熱使微分元體在單位時間內(nèi)增加的能量(擴散項)；（4）等號右邊最后項是源項；（5）若某坐標方向上溫度不變，該方向的凈導熱量為零，則相應的擴散項即從導熱微分方程中消失。一、導熱微分方程

HeatTransfer綜上說明：一、導熱微分方程12HeatTransfer（1）熱擴散率的物理意義

由熱擴散率的定義可知：

1）分子是物體的導熱系數(shù)，其數(shù)值越大，在相同溫度梯度下，可以傳導更多的熱量。

2）分母是單位體積的物體溫度升高1℃所需的熱量。其數(shù)值越小，溫度升高1℃所吸收的熱量越少，可以剩下更多的熱量向物體內(nèi)部傳遞，使物體內(nèi)溫度更快的隨界面溫度升高而升高。a反映了導熱過程中材料的導熱能力（）與沿途物質(zhì)儲熱能力（

c）之間的關(guān)系.4、有關(guān)說明一、導熱微分方程

HeatTransfer（1）熱擴散率的物理意義4、有關(guān)13HeatTransfer由此可見ɑ物理意義：①ɑ值大，即值大或

c值小，說明物體的某一部分一旦獲得熱量，該熱量能在整個物體中很快擴散，其內(nèi)部各點溫度扯平的能力越大。②ɑ越大，表示物體中溫度變化傳播的越快。所以，ɑ也是材料傳播溫度變化能力大小的指標，亦稱導溫系數(shù)。熱擴散率表征物體被加熱或冷卻時，物體內(nèi)各部分溫度趨向于均勻一致的能力。

一、導熱微分方程

HeatTransfer由此可見ɑ物理意義：一、導熱微14HeatTransfer（2）導熱微分方程的適用范圍

1）適用于q不很高，而作用時間長。同時傅立葉定律也適用該條件。2）若時間極短，而且熱流密度極大時，則不適用。3）若屬極低溫度（-273℃）時的導熱不適用。一、導熱微分方程

HeatTransfer（2）導熱微分方程的適用范圍一15HeatTransfer二、導熱過程的單值性條件導熱微分方程式的理論基礎：傅里葉定律+能量守恒。它描寫物體的溫度隨時間和空間變化的關(guān)系；沒有涉及具體、特定的導熱過程。通用表達式。單值性條件：確定唯一解的附加補充說明條件，包括四項：幾何、物理、初始、邊界完整數(shù)學描述：導熱微分方程+單值性條件HeatTransfer二、導熱過程的單值性條件導熱微分方16HeatTransfer1、幾何條件：說明導熱體的幾何形狀和大小，如：平壁或圓筒壁；厚度、直徑等2、物理條件：說明導熱體的物理特征如：物性參數(shù)、c和的數(shù)值，是否隨溫度變化；有無內(nèi)熱源、大小和分布；3、初始條件：又稱時間條件，反映導熱系統(tǒng)的初始狀態(tài)

４、邊界條件:反映導熱系統(tǒng)在界面上的特征，也可理解為系統(tǒng)與外界環(huán)境之間的關(guān)系。

二、導熱過程的單值性條件HeatTransfer1、幾何條件：說明導熱體的幾何形狀17HeatTransfer邊界條件常見的有四類

（１）第一類邊界條件:該條件是給定系統(tǒng)邊界上的溫度分布，它可以是時間和空間的函數(shù)，也可以為給定不變的常數(shù)值。

t=f(y,z,τ)

0x1x

（2）第二類邊界條件:該條件是給定系統(tǒng)邊界上的溫度梯度，即相當于給定邊界上的熱流密度，它可以是時間和空間的函數(shù)，也可以為給定不變的常數(shù)值0x1x

４、邊界條件HeatTransfer邊界條件常見的有四類（１）第一類18HeatTransfer（3）第三類邊界條件:該條件是第一類和第二類邊界條件的線性組合，常為給定系統(tǒng)邊界面與流體間的換熱系數(shù)和流體的溫度，這兩個量可以是時間和空間的函數(shù)，也可以為給定不變的常數(shù)值

0x1x

４、邊界條件HeatTransfer（3）第三類邊界條件:該條件是第一19HeatTransfer（4）第四類邊界條件:接觸面邊界條件４、邊界條件導熱微分方程＋單值性條件＋求解方法溫度場