勾股定理的逆定理

X勾股定理的逆定理

勾股定理

如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.abcCAB△ABC中，∠C為直角.BC2+AC2=AB2即a2+b2=c2復(fù)習(xí)回顧按照這種做法真能得到一個直角三角形嗎？古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13個等距的結(jié),把一根繩子分成等長的12段,然后以3個結(jié)，4個結(jié)，5個結(jié)的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角。動手畫一畫

下面的三組數(shù)分別是一個三角形的三邊長a，b，c：5，12，13；7，24，25；8，15，17。（1）這三組數(shù)都滿足嗎？（2）它們都是直角三角形嗎？勾股定理的逆命題

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三邊長a、b、c滿足那么這個三角形是直角三角形。a2+b2=c2互逆命題∵∠C1=900∴A1B12=a2+b2∵a2+b2=c2∴A1B12=c2∴A1B1=c∵邊長取正值∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）∴∠C=∠C1(全等三角形對應(yīng)角相等）∴∠C=900BC=a=B1C1CA=b=C1A1AB=c=A1B1abB'C'A'已知:在△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2求證:△ABC是直角三角形證明:畫一個△A1B1C1使∠C1=900，B1C1=a，C1A1=b在△ABC和△A1B1C1中∴△ABC是直角三角形（直角三角形的定義）勾股定理的逆命題勾股定理的逆命題

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三邊長a、b、c滿足那么這個三角形是直角三角形。且邊C年所對的角為直角。a2+b2=c2互逆命題逆定理定理駛向勝利的彼岸定理與逆定理開啟智慧我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些互逆的定理,如:勾股定理及其逆定理,兩直線平行,內(nèi)錯角相等;內(nèi)錯角相等,兩直線平行.想一想:互逆命題與互逆定理有何關(guān)系?如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題,那么它是一個定理,這兩個定理稱為互逆定理,其中一個定理稱另一個定理的逆定理.(1)兩條直線平行，內(nèi)錯角相等．(2)如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方相等．(3)如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等．(4)全等三角形的對應(yīng)角相等．說出下列命題的逆命題．這些命題的逆命題成立嗎?逆命題:內(nèi)錯角相等，兩條直線平行.

成立逆命題:如果兩個實數(shù)的平方相等，那么這兩個實數(shù)相等.

不成立逆命題:如果兩個實數(shù)的絕對值相等，那么這兩個實數(shù)相等.

不成立逆命題:對應(yīng)角相等的兩個三角形是全等三角形.

不成立感悟:

原命題成立時,逆命題有時成立,有時不成立試一試一個命題是真命題,它逆命題卻不一定是真命題.例1：判斷由a、b、c組成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝15,b＝8,

c＝17(2)a＝13,b＝15,

c＝14分析：由勾股定理的逆定理，判斷三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊的平方和是否等于最大邊的平方。解：(1)∵152＋82＝225＋64＝289172＝289∴152＋82＝172∴這個三角形是直角三角形(2)∵132＋142＝169＋196＝365152＝225∴132＋142≠152∴這個三角形不是直角三角形應(yīng)用1：判斷三角形的形狀(3)a=1b=2c=_________;

下面以a,b,c為邊長的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一個角是直角？(1)a=25b=20c=15_________;(2)a=13b=14c=15_________;(4)a:b:c=3:4:5__________;是是不是

是∠A=900∠B=900∠C=900

像25,20,15,能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).某港口位于東西方向的海岸線上，“遠(yuǎn)航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行。“遠(yuǎn)航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里。它們離開港口一個半小時后相距30海里。如果知道“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行，你能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？應(yīng)用1：判斷三角形的形狀解：由題意知：：PQ=16×1.5=24PR=12×1.5=18，QR=30∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2∴∠QPR=90o,∴∠RPS=45o即“海天”號沿西北方向航行練一練如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔截，六分鐘后同時到達C地將其攔截。已知甲巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，航向為北偏西40°，問：甲巡邏艇的航向？∴∠CAB+∠CBA=90°，∵∠CAB=40°∴∠CBA=50°∴航向為北偏東50°。解：由題意知：AC=120×0.1=12BC=50×0.1=5AB=13∵52+122=132，即AC2+BC2=AB2∴∠ACB=90o例2：一個零件的形狀如下圖所示，按規(guī)定這個零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角。工人師傅量得這個零件各邊尺寸如右圖所示，這個零件符合要求嗎？此時四邊形ABCD的面積是多少?13ABCD34512應(yīng)用2：用于求面積解：由題意可知在△ABD中，AB2+AD2=32+42=52=DB2∴△ABD為直角三角形，且∠A=90°在△BCD中，DB2+BC2=52+122=132=DC2∴△BCD為直角三角形，且∠DBC=90°∴這個零件符合要求。∴S四邊形ABCD=SRt△ABD+SRt△BCD已知：如圖，四邊形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD的面積?ABCD中考鏈接解：連結(jié)AC，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=在△ACD中，AC2+CD2=52+122=132=AD2由勾股定理的逆定理得

∠ACD=900∴S四邊形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD開啟智慧如圖，在四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60o，∠B=∠D=90o，求四邊形ABCD的面積。EE解：分別延長AD、BC，延長線交于點E∵∠A=60o,∠B=∠D=90o∴∠E=30o在Rt△ABE中，∵AB=2，∴AE=4∴在Rt△CDE中，∵CD=1，∴CE=2∴∴S四邊形ABCD=SRt△ABE-SRt△CDE

1、在△ABC中，a=15,b=17,c=8,求此三角形的面積?！唷鰽BC為直角三角形，且b邊所對的角為90°∴△ABC的面積為練一練2、等腰三角形底邊上的高是8cm，周長為32cm，它的面積。提示：可設(shè)腰長為xcm，利用方程思想求解。應(yīng)用3：用于求邊長

在△ABC中，D的BC邊上的點，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求DC的長。解：在△ABD中122+52=132即AD2+BD2=AB2，由勾股定理的逆定理知∠ADB=900在Rt△ADC中，DC=應(yīng)用4:用于證垂直

已知正方形ABCD中，AE=EB，AF=AD，求證：CE⊥EF.

分析：證垂直常?？梢酝ㄟ^證直角得到。已知條件只有邊的數(shù)量關(guān)系，故需要把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角度的關(guān)系。證明：連結(jié)FC，設(shè)AF=1，則DF=3.AE=EB=BC=CD=4在RtAEF中，同理得EC2=20CF2=25∴EF2+EC2=CF2由勾股定理的逆定理得∠CEF=900∴CE⊥EF分析：先來判斷a,b,c三邊哪條最長，可以代m,n為滿足條件的特殊值來試，m=5,n=4.則a=9,b=40,c=41,c最大?！唷鰽BC是直角三角形思維訓(xùn)練BA、銳角三角形B、直角三角形C、鈍