合情推理習題課

合情推理——習題課

由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）.歸納推理部分整體個別一般由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理.(簡稱:類比)類比推理特殊特殊

歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實,經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理.合情推理數(shù)學研究中，得到一個新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論；證明一個數(shù)學結(jié)論之前合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向。

糾正典型錯誤例如：法國數(shù)學家費馬觀察到于是他用歸納推理提出猜想：任何形如的數(shù)都是質(zhì)數(shù)。這就是著名的費馬猜想。半個世紀之后，善于計算的歐拉發(fā)現(xiàn)，第5個費馬數(shù)不是質(zhì)數(shù)又如：試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì)：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=bac=bc;(3)a=ba2=b2;等等。猜想不等式的性質(zhì)：(1)a＞ba+c＞b+c;(2)a＞bac＞bc;(3)a＞ba2＞b2;等等。問：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確？例1.有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.1.每次只能移動一個金屬片;2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.試推測:把n個金屬片從1號針移到3號針,最少需要移動多少次?n=1時,n=2時,n=1時,n=3時,n=2時,n=1時,n=2時,n=1時,n=3時,n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,歸納:例2.在平面上,設(shè)ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上的高.P為三角形內(nèi)任一點,P到相應三邊的距離分別為pa,pb,pc,我們可以得到結(jié)論:試通過類比,寫出在空間中的類似結(jié)論.

平面上

空間中圖形結(jié)論ABCPpapbpcABCDP練習：1、觀察下列數(shù)的特點1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…

中,第100項是()（A）10（B）13（C）14（D）100≤100(n∈)

得,n=14,所以應選（C）解析由規(guī)律可得:數(shù)字相同數(shù)的個數(shù)依次為1,2,3,4,…n-1由2、對于平面幾何中的命題“如果兩個角的兩邊分別對應垂直,那么這兩個角相等或互補”,在立體幾何中,類比上述命題,可以得到:

。解析由類比推理“如果兩個二面角的兩個半平面分別對應垂直，則這兩個二面角相等或互補”。3、依次有下列等式：按此規(guī)律下去，第8個等式為

。由歸納猜想可得8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22=4、觀察以下各等式：

分析上述各式的共同特點，猜想出反映一般規(guī)律的等式，并對等式的正確性作出證明。解析猜想：證明5、在平面幾何中，對于，設(shè)則（1）（2）（3）的外接圓半徑為把上面的結(jié)論類比到空間寫出相類似的結(jié)論。（4）三角形ABC的面積（r是三角形內(nèi)切圓的半徑）（1）設(shè)3個兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為底面面積為S，則

(2)設(shè)3個兩兩垂直的側(cè)面與底面所成的角分別為，則

(3)設(shè)3個兩兩垂直的側(cè)面形成的側(cè)棱長分別為則這個四面體的外接球的半徑為(4)設(shè)四面體的四個面的面積分別為，則四面體的體積為6、已知，由不等式……，啟發(fā)我們得到推廣結(jié)論：，則___________。作業(yè)：已知數(shù)列

，其中是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；是公差為d的等差數(shù)列；是公差為的等差數(shù)列（)（1）若，求d；（2）試寫出關(guān)于d的關(guān)系式，并求的取值范圍；（3）續(xù)寫已知數(shù)列，使得是公差為的等差數(shù)列，……，依次類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列.提出同（2）類似的問題（（2）應當作為特例），并進行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？解：（1）（2）當時，（3）所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列，其中