質(zhì)心在力學(xué)中的地位和作用

內(nèi)蒙古科技大學(xué)本科畢業(yè)論文題目：質(zhì)心在力學(xué)中的地位和作用號：0809320062學(xué)生姓名：xxxxx院：物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院業(yè)：物理學(xué)二o一二年四月簡述質(zhì)心的基本概念，質(zhì)心運(yùn)動定理以及定理的應(yīng)用，并且引出了質(zhì)心參考系中的動力學(xué)特征及規(guī)律，表明質(zhì)心系的特殊地位及利用質(zhì)心系研究動力學(xué)問題的優(yōu)越性。研究質(zhì)心系中的角動量定理以及動能定理。關(guān)健詞：質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)心參照系角動量動能定理AbstractThecenterofmassofthebasicconceptsandapplicationsofthetheoremtheoremofmotionofcenterofmassandleadstothereferenceframeofdynamicfeaturesandtherulethatthecenterofmasssystemspecialstatusandutilizationofcenter-of-massframetostudythekineticsofsuperiorityofthe.ResearchCenterofmasssystemofangularmomentumtheoremandthetheoremofkineticenergy.Keyword:CenterofmassTheoremofmotionofcenterofmassCenterofmassframeofreferenceAngularmomentumTheoremofkineticenergy摘要TOC\o"1-5"\h\z引言 1質(zhì)心 2\o"CurrentDocument"質(zhì)心的定義 2\o"CurrentDocument"質(zhì)心運(yùn)動定理 2質(zhì)心參照系 3\o"CurrentDocument"2.1質(zhì)心參考系中的動力學(xué)特征及規(guī)律 3\o"CurrentDocument"2.2質(zhì)點(diǎn)系對質(zhì)心的角動量定理和守恒定律 32.2.1質(zhì)心系中的角動量定理 32.2.2質(zhì)點(diǎn)系對質(zhì)心的角動量守恒 4\o"CurrentDocument"質(zhì)心的動能定理 4\o"CurrentDocument"質(zhì)心運(yùn)動定理以及參照系的應(yīng)用 .6\o"CurrentDocument"結(jié)束語 9參考文獻(xiàn) .10引言我們對質(zhì)點(diǎn)組運(yùn)用動力學(xué)基本定理時(shí)，我們能找到一個(gè)特殊點(diǎn) 質(zhì)心，此后以這個(gè)特殊點(diǎn)作為參考點(diǎn)，我們又能簡化動力學(xué)中許多問題，不僅如此我們還能找到一種叫質(zhì)心參考系的參考系從而簡化了力學(xué)中的三個(gè)基本定理。質(zhì)心是質(zhì)點(diǎn)組中以質(zhì)量為權(quán)的質(zhì)量分布的加權(quán)平均位置，是質(zhì)點(diǎn)組中的一個(gè)特殊點(diǎn).由于質(zhì)心的運(yùn)動反映了質(zhì)點(diǎn)組整體運(yùn)動的特征，而質(zhì)心系中的動力學(xué)現(xiàn)象和規(guī)律又具有一系列特殊而重要的性質(zhì)，使得質(zhì)心參考系在研究動力學(xué)問題中占有特殊的地位，一般來說，質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動量的大小和方向是各不相同的，難以詳盡研究.然而，無論質(zhì)點(diǎn)組的動量多么復(fù)雜，均可由質(zhì)心動量來代表.這就是為什么質(zhì)心運(yùn)動能代表質(zhì)點(diǎn)組整體運(yùn)動特征的實(shí)質(zhì).質(zhì)點(diǎn)組對質(zhì)心系的自旋角動量與坐標(biāo)系選擇無關(guān)，屬質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)部運(yùn)動。質(zhì)點(diǎn)組對定點(diǎn)的角動量可分解為質(zhì)點(diǎn)組對質(zhì)心系的角量（自旋角動量）與質(zhì)心對定點(diǎn)的角動量（軌道角動量）之和.質(zhì)點(diǎn)組的動能為諸質(zhì)點(diǎn)相對于質(zhì)心系的動能與質(zhì)心動能之和（科尼希定理）.前者來源于自旋運(yùn)動，而質(zhì)心動能來源于質(zhì)心在軌道上的運(yùn)動.將質(zhì)點(diǎn)組的物理量劃分為質(zhì)心物理量與諸質(zhì)點(diǎn)相對于質(zhì)心系的物理量兩部分，給分析質(zhì)點(diǎn)組的運(yùn)動特征帶來很大的方便.是表征質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布的一個(gè)幾何點(diǎn)。它同作用于質(zhì)設(shè)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，其各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為m是表征質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布的一個(gè)幾何點(diǎn)。它同作用于質(zhì)設(shè)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，其各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為m1，r2，…r分別表示質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)相對某固定點(diǎn)的矢徑，￡mr^---，式中m=￡m為質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量，jp汕

Lg°式中P為密度，它可以是體密度、面密度或線密度；dT為相當(dāng)于質(zhì)心1.1質(zhì)心的定義質(zhì)心也稱質(zhì)量中心，點(diǎn)系上的力系無關(guān)。\。若用r1則有r則有r=c￡mr稱為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量對于坐標(biāo)原點(diǎn)O的靜矩，它們描述了質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)量分布。質(zhì)心C的位置決定于質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量以及質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量分布，而同作用于質(zhì)點(diǎn)系上的力系無關(guān)。當(dāng)物體具有連續(xù)分布的質(zhì)量時(shí)，質(zhì)心C由積分公式?jīng)Q定P的體元、面元或線元；積分在具有分布密度P的整個(gè)物質(zhì)體、物質(zhì)面或物質(zhì)線上進(jìn)行。質(zhì)心具有許多重要的力學(xué)性質(zhì)，質(zhì)心的概念在質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)，特別在剛體動力學(xué)中具有特別重要的應(yīng)用。1.2質(zhì)心運(yùn)動定理我們在討論若干個(gè)有相互聯(lián)系的物體的運(yùn)動時(shí)，往往可將這些物體看成是一個(gè)整體統(tǒng)，在系統(tǒng)內(nèi)部，物體和物體之間的作用里內(nèi)力可以相抵消，而不影響整個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的變化.人們將這種方法稱作整體分析法，或系統(tǒng)分析法，應(yīng)用這種方法，我們需要找出系統(tǒng)的質(zhì)量中心，質(zhì)心和重心是不同的概念，但是地面物體的質(zhì)心和重心的位置是重合的，因此我們可以用尋找重心的方法來尋求物體或物體系統(tǒng)的質(zhì)心。設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，以m、表示各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，以?;表示各質(zhì)￡mr點(diǎn)對某一坐標(biāo)原點(diǎn)的位矢，則質(zhì)量中心（簡稱質(zhì)心）的位矢為=，''，個(gè)大的連續(xù)物體，可以認(rèn)為是由許多質(zhì)點(diǎn)組成的.此物體的質(zhì)心位矢可以用積分jprdc法求得rjjP--。可以證明質(zhì)心的位置相對質(zhì)點(diǎn)系本身是固定不變的.力學(xué)中常應(yīng)用重心的概念，對尺寸不十分大的物體，它的質(zhì)心和重心是重合的.vdr￡m—i? .一drid將位rc矢對時(shí)間求導(dǎo)：乒二，mt質(zhì)點(diǎn)系的總動量:P=mu質(zhì)點(diǎn)系的總動量:P=mui質(zhì)點(diǎn)系所受合外力:F=也=m空c=ma這一公式叫做質(zhì)心運(yùn)動定理。dtdtc“質(zhì)心的運(yùn)動與一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動相同.該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等于物體系統(tǒng)的總質(zhì)量，作用于該點(diǎn)的力等于作用于整個(gè)系統(tǒng)所有外力的總和.”這就是質(zhì)心運(yùn)動定理，這個(gè)定理告訴我們.若整個(gè)系統(tǒng)所受之合力為零，則不管系統(tǒng)內(nèi)各物體運(yùn)動狀態(tài)如何改變.質(zhì)心的運(yùn)動狀態(tài)始終不變.若系統(tǒng)在某一個(gè)方向所受合力為零，那么質(zhì)心在這個(gè)方向的運(yùn)動狀態(tài)不變.質(zhì)心參照系2.1質(zhì)心參考系中的動力學(xué)特征及規(guī)律質(zhì)點(diǎn)組對質(zhì)心參考系的動量恒為零.質(zhì)點(diǎn)組對質(zhì)心系的動量/=0為,^y一^y一—d[^"讓

p-Jmu-萬IM——m 其中「M*I為質(zhì)心系中質(zhì)心位置矢量，顯然為零，故pC=0，因此，質(zhì)心系又稱零動量系，由此可見質(zhì)心的特殊性和重要性.質(zhì)點(diǎn)組對基本參考系的動量等于質(zhì)心動最.質(zhì)點(diǎn)組對基本參考系的動量為諸質(zhì)點(diǎn)動量的矢量和，它分解為質(zhì)點(diǎn)組對質(zhì)心系的動量Pc與質(zhì)心對基本參考系的動量Mu'之和，即ymUymUiic=p+Mup=0，cymU=Muiic c一般來說，質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動量的大小和方向是各不相同的，難以詳盡研究.然而，無論質(zhì)點(diǎn)組的動量多么復(fù)雜，均可由質(zhì)心動量來代表.這就是為什么質(zhì)心運(yùn)動能代表質(zhì)點(diǎn)組整體運(yùn)動特征的實(shí)質(zhì).2.2質(zhì)點(diǎn)系對質(zhì)心的角動量定理和守恒定律2.2.1質(zhì)心系中的角動量定理

角動量定理和角動量守恒定律只在慣性系中成立。以質(zhì)心C為參考點(diǎn)，建質(zhì)心坐標(biāo)系，各坐標(biāo)軸與基本參考系平行。由于質(zhì)心具有加速度，所以要記入相應(yīng)的慣性力力矩。dZ

dtdZ

dt￡七是慣性力對質(zhì)心的力矩。而慣性力的力矩￡町二￡aX-￡七是慣性力對質(zhì)心的力矩。而慣性力的力矩￡町二￡aX-m、\aicj-a -a -axa=-rxmavd-質(zhì)點(diǎn)系對質(zhì)心的角動量定理因而￡M=——質(zhì)點(diǎn)系對質(zhì)心的角動量定理外dt質(zhì)心系對質(zhì)心的角動量的時(shí)間變化率等于外力相對質(zhì)心的力矩的矢量和。2.2.2質(zhì)點(diǎn)系對質(zhì)心的角動量守恒當(dāng)￡財(cái)外二。時(shí)，△恒矢量如跳水運(yùn)動員等在空中翻筋斗。當(dāng)￡〃外二。，成常量質(zhì)心的動能定理質(zhì)點(diǎn)組相對質(zhì)心平動參考系的動能變化定理就稱為對質(zhì)心的動能定理。質(zhì)心平動參考系一般說不是慣性系，但是可以證明相對質(zhì)心的動能定理在形式上和慣性系中的動能定理一樣。現(xiàn)在我們先來找出質(zhì)點(diǎn)組對質(zhì)心的動能和相對定點(diǎn)的動能之間的關(guān)系，這個(gè)兩者之間的關(guān)心就是柯尼希定理。1.柯尼希定理：如圖所示0-x.y是固定坐標(biāo)系即慣性系，c-礦y,z'是質(zhì)心平動坐標(biāo)系（他不一定是慣性系若作加速運(yùn)動就是非慣性系）質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)任一■■.,質(zhì)點(diǎn)m,相對兩個(gè)不同的坐標(biāo)系的未矢的關(guān)系是：r=rc+r

將此關(guān)系式兩邊對t求一次導(dǎo)數(shù)，然后代入指點(diǎn)組對定點(diǎn)0的動能表達(dá)式中去，則有：(-F

rc+r，2yi—2.yi-

=匕」—mr+匕」&(-F

rc+r，=—mrC2+2i=—mrC2+2irii，2+r.ymrcii

i1 2■^mr1 2v1 2■^mrT=—mr2+yi左式右邊中的第一項(xiàng)是質(zhì)點(diǎn)組隨質(zhì)心一起平動時(shí)的動能，也就是質(zhì)點(diǎn)組全部質(zhì)量集中在質(zhì)心而運(yùn)動時(shí)的動能，隨意就稱它是質(zhì)心動能，第二項(xiàng)是質(zhì)點(diǎn)組中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對質(zhì)心運(yùn)動時(shí)的動能，對剛體來說只能是相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動動能，這個(gè)等式表明，質(zhì)點(diǎn)組對慣性系的動能T就等于它的質(zhì)心的動能加上相對質(zhì)心的動能，這個(gè)關(guān)系就是著名的柯尼希定理。質(zhì)點(diǎn)組對定點(diǎn)的動能定理：dT=yF"）.dr.+ZF"）.dr G）和柯尼TOC\o"1-5"\h\zV1 -'2布定理：質(zhì)點(diǎn)組對定點(diǎn)0的動能T二一mr+y-mr。并考慮到質(zhì)點(diǎn)相對固定c2i1，一一.一 一一 一-?—*―..?一一...一一.點(diǎn)的位矢廠與相對質(zhì)心的位矢.，?.之間的關(guān)系r=r+r我們將這兩個(gè)關(guān)系式代到（1）式中就可以得到： ’c'+d(E1+d(E1m"

ki2 *i=EF^dr+EF膈+EF.edr+ii i(1fd1mr2k2cJ=ZfG).d(r「一r+r

kc7yF七driii+E己)iiEFlEFl=0.?.這等式右邊的第一項(xiàng)應(yīng)等于零i又根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理知yFe=mair.\'-e drFdr=乙F.r.\'-e drFdr=乙F.dr=dr.ma=mdr.中ic iccc cdtii「，一 /1-=mr.dr=d—mrk2cjcc2)所以等式右邊的第三項(xiàng)和等式左邊的第一項(xiàng)就可以抵消，于是上面的等式就可］衫m(xù)f以寫成:=E站).dr‘iii+EF(ee.dr'iii*1q)知*1q)知mJ,】i2 7就是質(zhì)點(diǎn)組相對質(zhì)心的動能，如果令它為?的話:E()E()F偵).driidT=￡站).driii此等式表明了質(zhì)點(diǎn)相對質(zhì)心的動能的微分就等于質(zhì)點(diǎn)組相對質(zhì)心位移時(shí)內(nèi)力和外力所作的元功之和。因此它就是質(zhì)點(diǎn)組對質(zhì)心的動能定理，在形式上它與相對固定的動能定理完全相同，但是我們要注意：只有在質(zhì)心這個(gè)特殊的非慣性系中。質(zhì)點(diǎn)組的動能與功的關(guān)系在形式上才和慣性系中的一樣，對于一般的非慣性系是不會有這樣的結(jié)論。對質(zhì)心動能定理它的適用范圍就是質(zhì)心平動參考系，對一般的動點(diǎn)是不適用的。4.質(zhì)心運(yùn)動定理以及參照系的應(yīng)用1.把盛有水的容器放在測力計(jì)的托盤上，用一條細(xì)線把木塊系在容器下部的某位置如圖.當(dāng)線斷開，木塊上浮時(shí)（尚未到達(dá)水面），測力計(jì)的讀數(shù)比原來大還是小?容器上部吊一鐵塊，懸線斷開，鐵塊在水中下沉?xí)r（尚未觸及器底），測力計(jì)讀數(shù)比原來大還是小?不計(jì)水對木塊、鐵塊的阻力解:在阻力可忽略不計(jì)的情況下，木塊向上勻加速運(yùn)動，鐵塊向下勻加速運(yùn)動.用牛頓運(yùn)動定律思考，將研究對象分為三部分:木塊質(zhì)量m，等體積的水質(zhì)量m，mm.其余的水和水杯質(zhì)量共為M.靜止時(shí)，托盤商讀數(shù)為（m+m+MG。2當(dāng)繩斷開時(shí)，木塊加速上升，水m加速下降，兩者加速度的大小相同.M靜止，畫出三者的受力圖如下 2(1)mg一F=ma(2)解得F+F=mg+mg+(m—m)1 2 1 2 1 2a<mg+mg根據(jù)牛頓第三定律F1=F1 F2=F；，N=F+F+Mg<mg+mg+Mg用質(zhì)心運(yùn)動定理思考:木塊向上加速運(yùn)動的時(shí)候，等體積的水向下加速運(yùn)動.水的密度小于木塊的密度.這使得由水、木塊和容器組成的系統(tǒng)質(zhì)心下降，而且是加速下降.系統(tǒng)質(zhì)心加速下降，測力計(jì)向上的支持力必然小于重力.所以測力計(jì)的讀數(shù)小于原來的讀數(shù).兩種方法對比可以看出巧用質(zhì)心運(yùn)動定理解題會簡便許多.同理鐵塊向下加速運(yùn)動時(shí)，也是由水、鐵塊和容器組成的系統(tǒng)的質(zhì)心加速下降.所以測力計(jì)的讀數(shù)，小于原來的讀數(shù)。2.下面我們用質(zhì)心坐標(biāo)系來討論兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的彈性碰撞。用質(zhì)量為m的粒子撞擊質(zhì)量為m2的靜止粒子（他們作彈性碰撞），分析m1 1和m?的散射角。取地球?yàn)閼T性參考系，在該系中，設(shè)碰撞前mi的速度如1散射角加，%在碰撞前后速度分別為零和％，偏轉(zhuǎn)角為W，如圖兩粒子所組成的質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心作等速直線運(yùn)動，速度為V=m1u1在質(zhì)心坐標(biāo)m兩粒子所組成的質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心作等速直線運(yùn)動，速度為V=系中，質(zhì)心的速度為零，故質(zhì)心系的動量為零。設(shè)在質(zhì)心系中兩質(zhì)點(diǎn)碰撞前的.速度分別為u10，則有：'!!.速度分別為u10，則有：和u2，碰撞后分別為V］和v2,m與m^在質(zhì)心系中的偏轉(zhuǎn)角