梁的橫向振動課件

★細長桿作垂直于軸線方向的振動時，其主要變形形式是梁的彎曲變形，通常稱為橫向振動或彎曲振動?！镆詙(x，t)表示梁的橫向位移，它是截面位置x和時間t的二元函數(shù)；以f(x,t)表示作用于梁上的單位長度的橫向力?！锵到y(tǒng)的參數(shù)：單位體積質(zhì)量(x)，橫截面積A(x)，彎曲剛度EJ(x)，E為彈性模量，J(x)為橫截面對垂直于x和y軸且通過橫截面形心軸的慣性矩。3.4梁的彎曲振動★細長桿作垂直于軸線方向的振動時，其主要變形形式是梁的彎曲變假設(shè)：梁各截面的中心軸在同一平面內(nèi)，且在此平面內(nèi)作彎曲振動，在振動過程中仍保持為平面；不計轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形的影響；不考慮截面繞中心軸的轉(zhuǎn)動?！锶∥⒍蝑x，如圖所示，用Q(x,t)表示剪切力，M(x,t)表示彎矩?！镌阢U直y方向的運動方程為假設(shè)：梁各截面的中心軸在同一平面內(nèi)，且在此平面內(nèi)作彎曲振動，上式簡化為略去dx的二次項，上式簡化為代入運動微分方程得在整個區(qū)間(0xL)中，都滿足上式關(guān)系。忽略截面轉(zhuǎn)動的影響，微段的轉(zhuǎn)動方程為上式簡化為略去dx的二次項，上式簡化為代入運動微分方程得在整由材料力學知，彎矩和撓度有如下關(guān)系式★梁橫向振動的偏微分方程該方程包含四階空間導數(shù)和二階時間導數(shù)。求解該方程，需要四個邊界條件和兩個初始條件。由材料力學知，彎矩和撓度有如下關(guān)系式★梁橫向振動的偏微分方程若f(x,t)=0，即為梁自由振動的偏微分方程上述方程的解對空間和時間是分離的，令若f(x,t)=0，即為梁自由振動的偏微分方程上述方程的解對★同前面討論的波動方程一樣，可得關(guān)于時間t的微分方程為上述方程的通解為簡諧函數(shù)式中A和B為積分常數(shù)，由兩個初始條件確定?！锿瑯涌梢缘藐P(guān)于空間變量x的微分方程為★通過求解上式，可以得到振型函數(shù)的一般表達式?！镎裥秃瘮?shù)Y(x)必須滿足相應的邊界條件。★同前面討論的波動方程一樣，可得關(guān)于時間t的微分方程為上述方常見的邊界條件(1)固定端：位移和轉(zhuǎn)角等于零，即(2)鉸支端：位移和彎矩等于零，即(x=0或

x=L)

(x=0或x=L)

(3)自由端：彎矩和剪力等于零，即(x=0或x=L)★對位移和轉(zhuǎn)角的限制屬于幾何邊界條件；對剪力和彎矩的限制屬于力的邊界條件。其它邊界條件：如端點有彈簧支承或有集中質(zhì)量等等。用位移二元函數(shù)y(x,t)表示的邊界條件！常見的邊界條件(1)固定端：位移和轉(zhuǎn)角等于零，即(2)鉸支端用振型函數(shù)Y(x)表示的邊界條件！(1)固定端：位移和轉(zhuǎn)角等于零，即(x=0或

x=L)(2)鉸支端：位移和彎矩等于零，即(x=0或

x=L)(3)自由端：彎矩和剪力等于零，即(x=0或

x=L)用振型函數(shù)表示的邊界條件將方程代入上述各邊界條件，則邊界條件可以用振型函數(shù)表示。用振型函數(shù)Y(x)表示的邊界條件！(1)固定端：位移和轉(zhuǎn)角等該方程為四階常系數(shù)線性常微分方程。若單位體積質(zhì)量(x)==常數(shù)，橫截面積A(x)=A=常數(shù)，橫截面對中心主軸的慣性矩J(x)=J=常數(shù)。

代入振型微分方程，得特征方程振型方程可以簡化為設(shè)其解為式中()()0dd444=-xYxxYb振型方程的簡化該方程為四階常系數(shù)線性常微分方程。若單位體積四個特征根為因為將上述解改寫為這就是梁橫向振動的振型函數(shù)，其中C1，C2，C3，C4為積分常數(shù)，可以用四個邊界條件來確定其中三個積分常數(shù)(或四個常數(shù)的相對比值)及導出特征方程，從而確定梁彎曲振動的固有頻率和振型函數(shù)Y(x)。振型微分方程()()0dd444=-xYxxYb的通解四個特征根為因為將上述解改寫為這就是梁橫向振動的振型函數(shù)，其注：常用的雙曲函數(shù)公式有注：常用的雙曲函數(shù)公式有等截面均質(zhì)梁的固有振動為或者寫為式中有C1,C2,C3,C4,和六個待定常數(shù)。因為梁每個端點有兩個邊界條件，共有四個邊界條件，加上兩個振動初始條件恰好可以決定六個未知數(shù)。等截面均質(zhì)梁的固有振動為或者寫為式中有C1,C2,C3,★下面著重討論等截面均質(zhì)梁彎曲振動的固有頻率和固有振型。1、簡支梁簡支梁的邊界條件為將第一組邊界條件代入下式★下面著重討論等截面均質(zhì)梁彎曲振動的固有頻率和固有振型。1、兩式相加，2C3shL=0。因為當L0時，shL0，故得C3=0。將第二組邊界條件代入下式兩式相減，2C1sinL=0。因求振動解，所以C10。特征方程：它的根為由此得特征值為兩式相加，2C3shL=0。因為當L0時，shL0★因為振型只確定系統(tǒng)中各點振幅的相對值，不能唯一地確定幅值的大小，故其表達式無需帶常數(shù)因子，則振型函數(shù)表為固有頻率為因相應的振型函數(shù)為★因為振型只確定系統(tǒng)中各點振幅的相對值，不能唯一地確定幅值的2、固支梁固支梁的邊界條件為將第一組邊界條件代入下式故有C2=-C4，C1=-C3C2+C4=0，C1+C3=02、固支梁固支梁的邊界條件為將第一組邊界條件代入下式故有C2將第二組邊界條件代入下式若上式對C3和C4有非零解，它的系數(shù)行列式必須為零C2=-C4C1=-C3★簡化后得特征方程將第二組邊界條件代入下式若上式對C3和C4有非零解，它的系數(shù)求特征方程的根=0是上式的一個解，對應于系統(tǒng)的靜止狀態(tài)，故舍去。應用數(shù)值解法求得這一超越方程最低幾個特征根為固定梁的前幾個特征根值★對應于r2的各個特征根，特征根可近似地表示為梁的固有頻率為因求特征方程把C1=-C3和C2=-C4代入如下振型函數(shù)振型函數(shù)簡化為★C3/C4由上述所建立的邊界條件求出，即由下式求出把C1=-C3和C2=-C4代入如下振型函數(shù)振型函數(shù)簡化為★整理得振型函數(shù)顯然，常數(shù)C4取不同的值并不影響振動形態(tài)，因此可取C4=1，振型函數(shù)為整理得振型函數(shù)顯然，常數(shù)C4取不同的值并不影響振動形態(tài)，因此振型函數(shù)及其各階導數(shù)3、懸臂梁懸臂梁的邊界條件為將第一組邊界條件代入上式，有C2+C4=0，C1+C3=0C2=-C4，C1=-C3振型函數(shù)及其各階導數(shù)3、懸臂梁懸臂梁的邊界條件為將第一組邊界這是關(guān)于C3和C4的線性代數(shù)方程組，具有非零解的條件為上式經(jīng)展開并化簡后得頻率方程為這就是懸臂梁彎曲振動的特征方程。利用上式結(jié)果，并把第二組邊界條件代入振型函數(shù)的第二階和第三階導數(shù)式，得這是關(guān)于C3和C4的線性代數(shù)方程組，具有非零解的條件為上式經(jīng)★由數(shù)值法求特征方程的根。也可用作圖法求出，將上式改寫成★以L為橫坐標，作出cosL和-1/chL的曲線。曲線的交點即為特征方程的根。懸臂梁前幾個特征根的值當r4時，各個特征方程的根可近似地表示為★由數(shù)值法求特征方程的根。也可用作圖法求出，將上式改寫成★以★根據(jù)特征根，懸臂梁的固有頻率為★求得各個特征根后，由下式確定系數(shù)C3和C4的比值與r相相應的振型函數(shù)為★根據(jù)特征根，懸臂梁的固有頻率為★求得各個特征根后，由下式確★前面討論了等截面均質(zhì)梁彎曲振動的三種典型邊界條件的情形，常見的還有自由梁、固支-鉸支梁和鉸支-自由梁，下面對其作簡要的介紹。4、自由梁兩端自由梁的頻率方程為其特征根如表所示。自由梁的前幾個特征根值★前面討論了等截面均質(zhì)梁彎曲振動的三種典型邊界條件的情形，常表中的特征根可以近似表示為★注意：自由梁與固支梁有相同的彎曲振動固有頻率，但是它們相應的振型函數(shù)卻是不同的。振型函數(shù)為表中的特征根可以近似表示為★注意：自由梁與固支梁有相同的彎曲5．鉸支——固支梁一端鉸支一端固定梁的頻率方程為其特征根如表所示鉸支-固支梁的前幾個特征根值特征根可以近似表示為振型函數(shù)為5．鉸支——固支梁一端鉸支一端固定梁的頻率方程為其特征根如表6、鉸支-自由梁一端鉸支一端自由梁的頻率方程為其特征根如表所示。顯然，=0為梁橫向振動的特征根，對應于定軸轉(zhuǎn)動的剛體振型?！镒⒁?鉸支—自由梁和鉸支—固支梁具有相同的彎曲振動的固有頻率，但其振型函數(shù)卻不相同。鉸支-自由梁的前幾個特征根值特征根近似表示為振型函數(shù)為6、鉸支-自由梁一端鉸支一端自由梁的頻率方程為其特征根如表所★關(guān)于簡支梁、固支梁、懸臂梁、自由梁、鉸支—固支梁、鉸支-自由梁的前三階振型函數(shù)如圖所示?！镪P(guān)于簡支梁、固支梁、懸臂梁、自由梁、鉸支—固支梁、鉸支-自等截面簡支梁第一階振型—第四階振型的動畫演示等截面簡支梁第一階振型—第四階振型的動畫演示等截面固支梁第一階振型—第五階振型的動畫演示等截面固支梁第一階振型—第五階振型的動畫演示等截面懸臂梁第一階振型—第四階振型的動畫演示等截面懸臂梁第一階振型—第四階振型的動畫演示等截面自由梁

第一階振型—第四階振型的動畫演示等截面自由梁第一階振型—第四階振型的動畫演等強度懸臂梁第一階振型—第四階振型的動畫演示等強度懸臂梁第一階振型—第四階振型的動畫演示★雖然從特征方程可得出無窮多個特征值及其振型函數(shù)，但應該指出，由于簡單梁理論的局限性，高階振型愈來愈不正確?！锴懊嬗懻摿肆N不同邊界條件下的等截面均質(zhì)梁彎曲振動的固有頻率和振型函數(shù)。下表對比了這六種情形的固有頻率、振型函數(shù)?！镞@是因為節(jié)點數(shù)隨著振型的增加而增加，所以節(jié)點間的距離相應地就減小，梁單元剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響就愈加不能忽略了?！镫m然從特征方程可得出無窮多個特征值及其振型函數(shù)，但應該指出等截面均質(zhì)梁的彎曲振動

自由梁振型函數(shù)1.8754.6947.8554.7307.85310.996(零頻率除外)

4.7307.85310.996

特征根r

cosch=-1cosch=1cosch=1

特征方程邊界條件懸臂梁固支梁固有頻率通解運動方程y=y(x,t)橫向位移,J截面慣性矩,L梁長,E彈性模量,A橫截面積,單位體積質(zhì)量

物理參數(shù)等截面均質(zhì)梁的彎曲振動自由梁振型函數(shù)1.8754.6注：振型函數(shù)3.9277.06910.210(零頻率除外)3.9277.06910.210特征根r

th=tanth=tansin=0

特征方程邊界條件鉸支-自由梁鉸支-固支梁簡支梁xxrrrrbllbsinsinshsh-等截面均質(zhì)梁的彎曲振動(續(xù))

注：振型函數(shù)3.9277.06910.2103例1等截面均質(zhì)懸臂梁的自由端加橫向彈性支承，其彈簧剛度為k，如圖所示。導出頻率方程。解：取固支端作為坐標系Oxy的原點。振型函數(shù)由左固定端邊界條件可得：C2=-C4，C1=-C3★在彈性支承端，彎矩為零，剪力等于彈性力。考慮到彈性力是恢復力，并且其方向按截面剪力的正負號規(guī)定，那么當Y(L)為正時，彈性力向下，作為剪力應取正號。例1等截面均質(zhì)懸臂梁的自由端加橫向彈性支承，其彈簧剛度為k故彈性支承端的邊界條件為根據(jù)振型函數(shù)及其二、三階導數(shù)C2=-C4，C1=-C3故彈性支承端的邊界條件為根據(jù)振型函數(shù)及其二、三階導數(shù)C2=-上式是關(guān)于C3、C4的線性代數(shù)方程組。該方程組具有非零解的條件為上式是關(guān)于C3、C4的線性代數(shù)方程組。該方程組具有非零解的條化簡后得化簡后得固有頻率方程注意到，當k=0時，上式轉(zhuǎn)化為當k時，頻率方程簡化為懸臂梁的頻率方程。這就是一端固定、一端鉸支梁的彎曲振動頻率方程?；喓蟮没喓蟮霉逃蓄l率方程注意到，當k=0時，上式轉(zhuǎn)化為當例2設(shè)在懸臂梁的自由端附加一集中質(zhì)量M，如圖所示。試求其頻率方程。解：取固支端作為坐標系Oxy的原點。假設(shè)附加質(zhì)量可以視為質(zhì)點。★在梁的x=L截面處彎矩為零，剪力等于質(zhì)量M的慣性力。在L端的剪力向下為正，根據(jù)作用力與反作用力定律，作用在集中質(zhì)量M上的剪力向上為正；截面位移y(x,t)向上為正，根據(jù)牛頓定律，集中質(zhì)量M的運動微分方程為例2設(shè)在懸臂梁的自由端附加一集中質(zhì)量M，如圖所示。試求其梁附加質(zhì)量端的邊界條件用振型函數(shù)表示為梁附加質(zhì)量端的邊界條件為梁附加質(zhì)量端的邊界條件用振型函數(shù)表示為梁附加質(zhì)量端的邊界條件

再考慮到將其代入頻率方程，可得由邊界條件，可求得頻率方程為令M/AL=，的物理意義為附加質(zhì)量與梁質(zhì)量之比。再考慮到將其代入頻率方程，可得由邊界條件，可求得頻率例3如圖示，一長度為L的簡支梁，受強度為w的均布載荷而產(chǎn)生撓曲。如果載荷移去，求梁的響應。解：圖示簡支梁橫向振動的固有頻率與振型函數(shù)為簡支梁橫向自由振動的解表示為式中Ar和Br由初始條件確定。例3如圖示，一長度為L的簡支梁，受強度為w的均布載荷而產(chǎn)生由此得設(shè)在t=0時，初始撓度和初始速度為t=0由此得設(shè)在t=0時，初始撓度和初始速度為t=0根據(jù)本題題意，當t=0時，初始位移為初始速度為由此初始條件得根據(jù)本題題意，當t=0時，初始位移為初始速度為由此初始條件得梁橫向振動的響應為梁橫向振動的響應為假設(shè)：梁各截面的中心軸在同一平面內(nèi)，且在此平面內(nèi)作彎曲振動，在振動過程中仍保持為平面；不計轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形的影響；不考慮截面繞中心軸的轉(zhuǎn)動。微元受力如圖所示。考慮軸力影響時梁的彎曲振動如圖，梁承受平行于軸線的軸向力N的作用；假定軸向力N是常量，大小與方向均不隨時間和位置發(fā)生變化。假設(shè)：梁各截面的中心軸在同一平面內(nèi)，且在此平面內(nèi)作彎曲振動，★微段dx受力：用Q(x,t)表示剪切力，M(x,t)表示彎矩?！镉蓤D看出，軸力對梁的橫向平衡無影響。在鉛直y方向的運動方程仍然為上式簡化為★微段dx受力：用Q(x,t)表示剪切力，M(x,t)表示彎略去dx的二次項，上式簡化為運動微分方程忽略截面轉(zhuǎn)動的影響，微段轉(zhuǎn)動方程為略去dx的二次項，上式簡化為運動微分方程忽略截面轉(zhuǎn)動的影響，由材料力學知，彎矩和撓度有如下關(guān)系式★梁橫向振動的偏微分方程該方程包含四階空間導數(shù)和二階時間導數(shù)。求解該方程，需要四個邊界條件和兩個初始條件。由材料力學知，彎矩和撓度有如下關(guān)系式★梁橫向振動的偏微分方程若f