2022年遼寧省大連市長(zhǎng)?？h第二高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

2022年遼寧省大連市長(zhǎng)?？h第二高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（

）A．126

B．105

C．91

D．66參考答案：B略2.某單位有840名職工,現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法,抽取42人做問卷調(diào)查,將840人按1,2,…840隨機(jī)編號(hào),則抽取的42人中,編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù) ()A．11 B．12 C．13 D．14參考答案：B略3.設(shè)F1、F2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過橢圓中心任作一條直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形PF1QF2面積最大時(shí)，的值等于

（

）

A．0

B．1

C．2

D．4參考答案：答案:C4.若集合，，則=（）A． B． C． D．參考答案：C略5.已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)，則(

)A．是的極小值點(diǎn) B．是的極小值點(diǎn)C．是的極大值點(diǎn) D．是的極大值點(diǎn)參考答案：6.在等差數(shù)列的值等于

A．—2011

B．—2012

C．—2010

D．—2013參考答案：B略7.設(shè)a，b∈R，則“（a﹣b）a2≥0”是“a≥b”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)充分必要條件的定義結(jié)合不等式問題求出答案即可．【解答】解：由（a﹣b）a2≥0，解得：a≥b，故“（a﹣b）a2≥0”是“a≥b”的充要條件，故選：C．8.下列說法正確的個(gè)數(shù)為（

）①函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為；②在中，，，是的中點(diǎn)，則；③在中，是的充要條件；④定義，已知，則的最大值為.A．1

B．2

C.

3

D．4參考答案：D9.已知向量

A．—3

B．—2

C．l

D．－l參考答案：A因?yàn)榇怪?，所以有，即，所以，解得，選A.10.若關(guān)于x的方程有五個(gè)互不相等的實(shí)根，則k的取值范圍是A.

B.

C.

D.

參考答案：D令，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖像，如圖，結(jié)合圖像要使它們有五個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍為。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：.試題分析：因?yàn)?，所以由基本不等式知，，?dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立.問題恒成立轉(zhuǎn)化為，即，由一元二次不等式解法知，.考點(diǎn)：一元二次不等式及其解法；均值不等式的應(yīng)用.12.曲線和曲線圍成的圖形的面積是________.參考答案：13.如圖，以為直徑的圓與的兩邊分別交于兩點(diǎn)，，則

．參考答案：214.由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，其平均數(shù)和中位數(shù)都是2，且標(biāo)準(zhǔn)差等于l，則這組數(shù)據(jù)為___

。參考答案：15.設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和，且，為常數(shù)列，則

.參考答案：考點(diǎn)：1.數(shù)列遞推式；2.裂項(xiàng)相消求和．【方法點(diǎn)睛】裂項(xiàng)相消在使用過程中有一個(gè)很重要得特征，就是能把一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)裂為兩項(xiàng)的差，其本質(zhì)就是兩大類型類型一:型，通過拼湊法裂解成；類型二：通過有理化、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、階乘和組合數(shù)公式直接裂項(xiàng)型；該類型的特點(diǎn)是需要熟悉無理型的特征，對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和階乘和組合數(shù)公式。無理型的特征是，分母為等差數(shù)列的連續(xù)兩項(xiàng)的開方和，形如型，常見的有①；②對(duì)數(shù)運(yùn)算本身可以裂解；③階乘和組合數(shù)公式型要重點(diǎn)掌握和.16.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：17.若f（x）=2sinωx（0＜ω＜1在區(qū)間［0，］上的最大值是，則ω＝

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn，an，成等差數(shù)列．（1）證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列；（2）若bn=log2an+3，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【分析】（1）由題意得2an=Sn+，易求，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=2an﹣，Sn﹣1=2an﹣1﹣，兩式相減得an=2an﹣2an﹣1（n≥2），由遞推式可得結(jié)論；（2）由（1）可求=2n﹣2，從而可得bn，進(jìn)而有=，利用裂項(xiàng)相消法可得Tn；【解答】解：（1）證明：由Sn，an，成等差數(shù)列，知2an=Sn+，當(dāng)n=1時(shí)，有，∴，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=2an﹣，Sn﹣1=2an﹣1﹣，兩式相減得an=2an﹣2an﹣1（n≥2），即an=2an﹣1，由于{an}為正項(xiàng)數(shù)列，∴an﹣1≠0，于是有=2（n≥2），∴數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)之比都是同一個(gè)常數(shù)2，∴數(shù)列{an}是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．（2）解：由（1）知==2n﹣2，∴bn=log2an+3==n+1，∴==，∴Tn=（）+（）+…+（）==．19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC⊥平面BDE．（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的大?。畢⒖即鸢福骸究键c(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）證明PA⊥BD．PC⊥BD．然后證明BD⊥平面PAC．（2）解法一：設(shè)AC，BD的交點(diǎn)為O，過點(diǎn)O作OF⊥PC于點(diǎn)F，連BF，說明∠BFO為二面角B﹣PC﹣A的平面角，在Rt△BFO中，即可求解二面角B﹣PC﹣A的大?。夥ǘ悍謩e以射線AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面PBC的一個(gè)法向量，平面PAC的一個(gè)法向量．利用向量的數(shù)量積求解二面角B﹣PC﹣A的大?。窘獯稹孔C明：（1）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD∴PA⊥BD．同理由PC⊥平面BDE，可證得PC⊥BD．又PA∩PC=P，∴BD⊥平面PAC．

…6分解：（2）解法一：設(shè)AC，BD的交點(diǎn)為O，過點(diǎn)O作OF⊥PC于點(diǎn)F，連BF，易證∠BFO為二面角B﹣PC﹣A的平面角

…9分由（1）知BO⊥AC∴ABCD為正方形∴AB=2，在Rt△BFO中，，∴tan∠BFO=3，cos∠BFO===∴二面角B﹣PC﹣A的大小為arccos…14分解法二：分別以射線AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．由（1）知BD⊥平面PAC，又AC?平面PAC，∴BD⊥AC．故矩形ABCD為正方形，∴AB=BC=CD=AD=2．∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，1），∴．設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，則，即，∴，取x=1，得．∵BD⊥平面PAC，∴為平面PAC的一個(gè)法向量．所以．設(shè)二面角B﹣PC﹣A的平面角為α，由圖知，則，∴二面角B﹣PC﹣A的大小為…14分．20.（本小題滿分13分）已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)。（Ⅰ）求圓的方程；(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)的直線被橢圓和圓所截得的弦長(zhǎng)分別為，。當(dāng)最大時(shí)，求直線的方程。參考答案：（Ⅰ）

（Ⅱ）(Ⅰ)先求圓C關(guān)于直線x+y–2=0對(duì)稱的圓D，由題知圓D的直徑為直線對(duì)稱.

（Ⅱ）由(Ⅰ)知(2,0),,據(jù)題可設(shè)直線方程為:x=my+2,m∈R.這時(shí)直線可被圓和橢圓截得2條弦，符合題意.圓C:到直線的距離。.由橢圓的焦半徑公式得：.所以當(dāng)21.2015年7月9日21時(shí)15分，臺(tái)風(fēng)“蓮花”在我國(guó)廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登陸，造成165.17萬人受災(zāi)，5.6萬人緊急轉(zhuǎn)移安置，288間房屋倒塌，46.5千公頃農(nóng)田受災(zāi)，直接經(jīng)濟(jì)損失12.99億元．距離陸豐市222千米的梅州也受到了臺(tái)風(fēng)的影響，適逢暑假，小明調(diào)查了梅州某小區(qū)的50戶居民由于臺(tái)風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失，將收集的數(shù)據(jù)分成，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五組，并作出如下頻率分布直方圖（如圖）：（I）小明向班級(jí)同學(xué)發(fā)出倡議，為該小區(qū)居民捐款．現(xiàn)從損失超過6000元的居民中隨機(jī)抽出2戶進(jìn)行捐款援助，求這兩戶在同一分組的概率；（Ⅱ）臺(tái)風(fēng)后區(qū)委會(huì)號(hào)召小區(qū)居民為臺(tái)風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款，小明調(diào)查的50戶居民捐款情況如下表，在表格空白處填寫正確數(shù)字，并說明是否有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān)？

經(jīng)濟(jì)損失不超過4000元經(jīng)濟(jì)損失超過4000元合計(jì)捐款超過500元30939捐款不超過500元5611合計(jì)351550

P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：臨界值表參考公式：K2=，n=a+b+c+d．參考答案：【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用；頻率分布直方圖．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（Ⅰ）由頻率分布直方圖可得，損失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50=6戶，損失為6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50=3戶，損失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3戶，即可求這兩戶在同一分組的概率；（Ⅱ）求出K2，與臨界值比較，即可得出結(jié)論．【解答】解：（I）由頻率分布直方圖可得，損失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50=6戶，損失為6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50=3戶，損失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3戶，…（3分）因此，這兩戶在同一分組的概率為P==

…（6分）（II）如表：

經(jīng)濟(jì)損失不超過4000元經(jīng)濟(jì)損失超過4000元合計(jì)捐款超過500元30939捐款不超過500元5611合計(jì)351550…（7分）K2=…（8分）==4.046＞3.841…（10分）所以有9