大學(xué)數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系課件

圖形的對(duì)稱與群數(shù)系的擴(kuò)充同余數(shù)學(xué)證明圖形的對(duì)稱與群圖形的對(duì)稱與群圖形的對(duì)稱與群一.對(duì)稱

1.1.人們身邊充滿了對(duì)稱:

比如:

對(duì)稱與群一.對(duì)稱

1.1.人們身邊充滿了對(duì)稱:

比如:

對(duì)稱與群一.對(duì)稱

1.1.人們身邊充滿了對(duì)稱:

比如:

對(duì)稱與群對(duì)稱與群以上我們看到各種各樣的“對(duì)稱”，得到了感性認(rèn)識(shí)，下面（主要是封閉的平面圖形）要考慮如何把它們當(dāng)中共同的本質(zhì)抽象出來，用數(shù)學(xué)語言理性地描述對(duì)稱。

什么是對(duì)稱的共性？什么是對(duì)稱的本質(zhì)？

下面我們先對(duì)“平面圖形的對(duì)稱”進(jìn)行分析，再對(duì)“元多項(xiàng)式的對(duì)稱”進(jìn)行分析，繼而把它們綜合起來，得到關(guān)于“對(duì)稱”的統(tǒng)一的本質(zhì)。對(duì)稱與群以上我們看到各種各樣的“對(duì)稱”，得到了感性認(rèn)識(shí)，對(duì)稱與群以上我們看到各種各樣的“對(duì)稱”，得到了感性認(rèn)識(shí)，對(duì)稱與群二:平面圖形的對(duì)稱2.1

在運(yùn)動(dòng)中看“對(duì)稱”

正三角形與正方形誰“更”對(duì)稱一些？對(duì)稱與群二:平面圖形的對(duì)稱正三角形與正方形誰“更”對(duì)稱一些？對(duì)稱與群二:平面圖形的對(duì)稱正三角形與正方形誰“更”對(duì)稱一些？正方形繞中心旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°r1如果看顏色它當(dāng)然變了如果只看形狀呢?正方形繞中心旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°r1如果看顏色它當(dāng)然變了正方形繞中心旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°r1如果看顏色它當(dāng)然變了定理1（幾何形式M.Chasles(1793-1880)）平面的運(yùn)動(dòng)有且僅有下列三種：沿任一給定向量的平移；以任意點(diǎn)為中心的旋轉(zhuǎn)；繞某以直線作翻摺后再沿該直線上的一個(gè)向量作一平移（包括作純翻摺）。

定理1（幾何形式M.Chasles(1793-1880)）平定理1（幾何形式M.Chasles(1793-1880)）平對(duì)稱與群

抽象觀點(diǎn)與具體例子的對(duì)照對(duì)稱與群抽象觀點(diǎn)與具體例子的對(duì)照對(duì)稱與群抽象觀點(diǎn)與具體例子的對(duì)照對(duì)稱與群抽象觀點(diǎn)與具體例對(duì)稱與群描述3元多項(xiàng)式對(duì)稱性強(qiáng)弱的一種量化的方法.這就是把所有使3元多項(xiàng)式不變的“3元置換”放在一起,構(gòu)成一個(gè)集合，記為S(f),稱為f的“對(duì)稱集”.S(f)中元素個(gè)數(shù)|S(f)|是對(duì)f的對(duì)稱性的量化描述.對(duì)稱與群描述3元多項(xiàng)式對(duì)稱性強(qiáng)弱的一種量化的方法.這就是把對(duì)稱與群描述3元多項(xiàng)式對(duì)稱性強(qiáng)弱的一種量化的方法.這就是把群的定義（定義4）所謂群，是指一個(gè)特定的集合，該集合上的一種運(yùn)算滿足一定的性質(zhì).具體來說，即：G是一個(gè)群，是指（1）G是一個(gè)集合；（2）存在二元運(yùn)算（記為），它是的一個(gè)映射；（3）關(guān)于二元運(yùn)算滿足群公理（i）結(jié)合性公理對(duì)的任意元素，都有；（ii）單位元素公理在G中存在元素，使得對(duì)G中任何元素，都有（iii）逆元素公理對(duì)G的任何元素，都存在G中的唯一元素，使得.群的定義（定義4）所謂群，是指一個(gè)特定的集合，該集合上的一種群的定義（定義4）所謂群，是指一個(gè)特定的集合，該集合上的一種群在中學(xué)數(shù)學(xué)中的實(shí)例

（1）全體整數(shù)、全體有理數(shù)、全體實(shí)數(shù)、全體復(fù)數(shù)，關(guān)于通常的加法都構(gòu)成群，單位元是0，a的逆元素是-a.正有理數(shù)全體，正實(shí)數(shù)全體，關(guān)于通常的乘法也都構(gòu)成群，單位元都是1，a的逆元素是1/a.（3）由整數(shù)1和－1組成的集合，關(guān)于乘法構(gòu)成群。群在中學(xué)數(shù)學(xué)中的實(shí)例（1）全體整數(shù)、全體有理數(shù)、全體實(shí)數(shù)、群在中學(xué)數(shù)學(xué)中的實(shí)例（1）全體整數(shù)、全體有理數(shù)、全體實(shí)數(shù)、生活中的群

例、四元旋轉(zhuǎn)群.記G={L、R、H、I}，其中L表示向左轉(zhuǎn)，R為向右轉(zhuǎn)，H為向后轉(zhuǎn)，I為不動(dòng).上定義的二元運(yùn)算×為“接著”，如L×R表示先向右轉(zhuǎn)再接著向左轉(zhuǎn)，其余類推.容易驗(yàn)證，G關(guān)于這一運(yùn)算確實(shí)構(gòu)成一個(gè)群生活中的群例、四元旋轉(zhuǎn)群.記G={L、R、H、I}，其生活中的群例、四元旋轉(zhuǎn)群.記G={L、R、H、I}，其正方形繞中心旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°r1如果看顏色它當(dāng)然變了如果只看形狀呢?正方形繞中心旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°r1如果看顏色它當(dāng)然變了正方形繞中心旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°r1如果看顏色它當(dāng)然變了正方形繞中心旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°累積180°r2正方形繞中心旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°累積180°r2正方形繞中心旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°累積180°r2正方形繞中心正方形繞中心旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°累積270°r3正方形繞中心旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°累積270°r3正方形繞中心旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°累積270°r3正方形繞中心正方形繞對(duì)邊中點(diǎn)連線（鉛直）翻摺f1正方形繞對(duì)邊中點(diǎn)連線（鉛直）翻摺f1正方形繞對(duì)邊中點(diǎn)連線（鉛直）翻摺f1正方形繞對(duì)邊中點(diǎn)連線（鉛正方形繞對(duì)邊中點(diǎn)連線（水平）翻摺f2正方形繞對(duì)邊中點(diǎn)連線（水平）翻摺f2正方形繞對(duì)邊中點(diǎn)連線（水平）翻摺f2正方形繞對(duì)邊中點(diǎn)連線（水正方形沿對(duì)角線翻摺f3正方形沿對(duì)角線翻摺f3正方形沿對(duì)角線翻摺f3正方形沿對(duì)角線翻摺f3正方形沿對(duì)角線翻摺f4正方形沿對(duì)角線翻摺f4正方形沿對(duì)角線翻摺f4正方形沿對(duì)角線翻摺f4正方形的對(duì)稱群是由下列平面運(yùn)動(dòng)組成

S（正方形）={I，r1，r2，r3，f1，f2，f3，f4}正方形的對(duì)稱群是由下列平面運(yùn)動(dòng)組成正方形的對(duì)稱群是由下列平面運(yùn)動(dòng)組成正方形的對(duì)稱群是由下列平大學(xué)數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系課件大學(xué)數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系課件對(duì)平面有限圖形對(duì)成群的研究和分類，發(fā)現(xiàn)只可能出現(xiàn)如下6種不同情形對(duì)平面有限圖形對(duì)成群的研究和分類，發(fā)現(xiàn)只可能出現(xiàn)如下6種不同對(duì)平面有限圖形對(duì)成群的研究和分類，發(fā)現(xiàn)只可能出現(xiàn)如下6種不同（1）僅由單位（恒等或不動(dòng)）變換所組成的對(duì)成群K1

。這是任意非對(duì)稱圖形的對(duì)成群。（1）僅由單位（恒等或不動(dòng)）變換所組成的對(duì)成群K1。這是任（1）僅由單位（恒等或不動(dòng)）變換所組成的對(duì)成群K1。這是任（2）由單位變換及關(guān)于某一直線的翻折組成的對(duì)稱群K2

。（2）由單位變換及關(guān)于某一直線的翻折組成的對(duì)稱群K2。（2）由單位變換及關(guān)于某一直線的翻折組成的對(duì)稱群K2。（2（3）只有一些旋轉(zhuǎn)組成的對(duì)成群K3，但其中不含作任意小角度的旋轉(zhuǎn)情況。（3）只有一些旋轉(zhuǎn)組成的對(duì)成群K3，但其中不含作任意小角度的（3）只有一些旋轉(zhuǎn)組成的對(duì)成群K3，但其中不含作任意小角度的（4）只有一些旋轉(zhuǎn)組成的對(duì)成群K4，但它含有作任意小角度的旋轉(zhuǎn)。此時(shí)，作任意角度α的旋轉(zhuǎn)仍屬于群K4。這里的所有的運(yùn)動(dòng)或是圖形本身或是旋轉(zhuǎn)，排除了關(guān)于直線的翻轉(zhuǎn)。這是平面上有方向的圓環(huán)的對(duì)成群。（4）只有一些旋轉(zhuǎn)組成的對(duì)成群K4，但它含有作任意小角度的旋（4）只有一些旋轉(zhuǎn)組成的對(duì)成群K4，但它含有作任意小角度的旋（5）設(shè)在平面上有n條過重心o點(diǎn)的直線，這些直線分平面為2n個(gè)等角。對(duì)稱群K5由關(guān)于這些直線的n種翻轉(zhuǎn)以及繞o旋轉(zhuǎn)的倍角而生成。具有這樣對(duì)稱群的圖形包括正2n邊形。（5）設(shè)在平面上有n條過重心o點(diǎn)的直線，這些直線分平面為2n（5）設(shè)在平面上有n條過重心o點(diǎn)的直線，這些直線分平面為2n（6）由繞o點(diǎn)所有旋轉(zhuǎn)及關(guān)于所有過o點(diǎn)的直線的翻轉(zhuǎn)生成的對(duì)成群K6

。無方向圓及無方向圓環(huán)可作為它的例子。（6）由繞o點(diǎn)所有旋轉(zhuǎn)及關(guān)于所有過o點(diǎn)的直線的翻轉(zhuǎn)生成的對(duì)成（6）由繞o點(diǎn)所有旋轉(zhuǎn)及關(guān)于所有過o點(diǎn)的直線的翻轉(zhuǎn)生成的對(duì)成數(shù)系的擴(kuò)充N→

Z→

Q→R→

C元素運(yùn)算數(shù)系的擴(kuò)充N→Z→Q→R→C數(shù)系的擴(kuò)充N→Z→Q→R→C數(shù)系的擴(kuò)充N→Z→Q→數(shù)系擴(kuò)充的方法：初等數(shù)學(xué)→

添加元素高等數(shù)學(xué)→

構(gòu)造法（目的、造元、嵌入）構(gòu)造：造元、定義運(yùn)算、解決運(yùn)算利用商集造元數(shù)系擴(kuò)充后的得失數(shù)系擴(kuò)充的方法：數(shù)系擴(kuò)充的方法：數(shù)系擴(kuò)充的方法：加法減法乘法除法開方極限N√√Z√√√Q√√√√R√√√√√C√√√√√加法減法乘法除法開方極限N√√Z√√√Q√√√√R√√√√√加法減法乘法除法開方極限N√√Z√√√Q√√√√R√√√√√數(shù)系的擴(kuò)充解決的問題失去的性質(zhì)N→Z減法運(yùn)算封閉最小數(shù)原理Z→

Q除法運(yùn)算封閉離散性Q

→

R極限運(yùn)算封閉可數(shù)性R

→

C

一元n次代數(shù)方程的根的存在順序性（大小序）數(shù)系的擴(kuò)充解決的問題失去的性質(zhì)N→Z減法運(yùn)算封閉最小數(shù)數(shù)系的擴(kuò)充解決的問題失去的性質(zhì)N→Z減法運(yùn)算封閉最小數(shù)自然數(shù)的性質(zhì)整數(shù)的性質(zhì)有理數(shù)的性質(zhì)無理數(shù)的性質(zhì)實(shí)數(shù)的性質(zhì)復(fù)數(shù)的性質(zhì)自然數(shù)的性質(zhì)自然數(shù)的性質(zhì)自然數(shù)的性質(zhì)質(zhì)數(shù)的基本性質(zhì)質(zhì)數(shù)的排列有否規(guī)律

同余概念質(zhì)數(shù)的基本性質(zhì)質(zhì)數(shù)的基本性質(zhì)質(zhì)數(shù)的基本性質(zhì)復(fù)數(shù)不能比較大小序結(jié)構(gòu)（代數(shù)結(jié)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)）大小序復(fù)數(shù)不能比較大小序結(jié)構(gòu)（代數(shù)結(jié)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)）復(fù)數(shù)不能比較大小序結(jié)構(gòu)（代數(shù)結(jié)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)）復(fù)數(shù)不能比較大對(duì)于復(fù)數(shù)集來說，可以按字典順序排成全序，但不能滿足保序性，因此無法比較大小.先證明復(fù)數(shù)集C可按字典順序排成全序任意α,β∈Cα=x1+y1i，β=x2+y2i=規(guī)

定對(duì)于復(fù)數(shù)集來說，可以按字典順序排成全序，但不能滿足保序性，對(duì)于復(fù)數(shù)集來說，可以按字典順序排成全序，但不能滿足保序性，但是乘一切正數(shù)的保序性不滿足。這里一切正數(shù)是指復(fù)數(shù)中按字典順序η=（x，y）＞（0，0），而（x，y）＞（0，0），x>0或x=0，y>0。▲復(fù)數(shù)不能保證乘任何“正數(shù)”保序。反例：i即（0，1），顯然（0，1）＞（0，0）但（0，1）*（0，1）＜（０，0）*（0，0）。（-1，0）＞（0，0）但是乘一切正數(shù)的保序性不滿足。但是乘一切正數(shù)的保序性不滿足。但是乘一切正數(shù)的保序性不滿足。圖形的對(duì)稱與群數(shù)系的擴(kuò)充同余數(shù)學(xué)證明圖形的對(duì)稱與群圖形的對(duì)稱與群圖形的對(duì)稱與群一.對(duì)稱

1.1.人們身邊充滿了對(duì)稱:

比如:

對(duì)稱與群一.對(duì)稱

1.1.人們身邊充滿了對(duì)稱:

比如:

對(duì)稱與群一.對(duì)稱

1.1.人們身邊充滿了對(duì)稱:

比如:

對(duì)稱與群對(duì)稱與群以上我們看到各種各樣的“對(duì)稱”，得到了感性認(rèn)識(shí)，下面（主要是封閉的平面圖形）要考慮如何把它們當(dāng)中共同的本質(zhì)抽象出來，用數(shù)學(xué)語言理性地描述對(duì)稱。

什么是對(duì)稱的共性？什么是對(duì)稱的本質(zhì)？

下面我們先對(duì)“平面圖形的對(duì)稱”進(jìn)行分析，再對(duì)“元多項(xiàng)式的對(duì)稱”進(jìn)行分析，繼而把它們綜合起來，得到關(guān)于“對(duì)稱”的統(tǒng)一的本質(zhì)。對(duì)稱與群以上我們看到各種各樣的“對(duì)稱”，得到了感性認(rèn)識(shí)，對(duì)稱與群以上我們看到各種各樣的“對(duì)稱”，得到了感性認(rèn)識(shí)，對(duì)稱與群二:平面圖形的對(duì)稱2.1

在運(yùn)動(dòng)中看“對(duì)稱”

正三角形與正方形誰“更”對(duì)稱一些？對(duì)稱與群二:平面圖形的對(duì)稱正三角形與正方形誰“更”對(duì)稱一些？對(duì)稱與群二:平面圖形的對(duì)稱正三角形與正方形誰“更”對(duì)稱一些？正方形繞中心旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°r1如果看顏色它當(dāng)然變了如果只看形狀呢?正方形繞中心旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°r1如果看顏色它當(dāng)然變了正方形繞中心旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°r1如果看顏色它當(dāng)然變了定理1（幾何形式M.Chasles(1793-1880)）平面的運(yùn)動(dòng)有且僅有下列三種：沿任一給定向量的平移；以任意點(diǎn)為中心的旋轉(zhuǎn)；繞某以直線作翻摺后再沿該直線上的一個(gè)向量作一平移（包括作純翻摺）。

定理1（幾何形式M.Chasles(1793-1880)）平定理1（幾何形式M.Chasles(1793-1880)）平對(duì)稱與群

抽象觀點(diǎn)與具體例子的對(duì)照對(duì)稱與群抽象觀點(diǎn)與具體例子的對(duì)照對(duì)稱與群抽象觀點(diǎn)與具體例子的對(duì)照對(duì)稱與群抽象觀點(diǎn)與具體例對(duì)稱與群描述3元多項(xiàng)式對(duì)稱性強(qiáng)弱的一種量化的方法.這就是把所有使3元多項(xiàng)式不變的“3元置換”放在一起,構(gòu)成一個(gè)集合，記為S(f),稱為f的“對(duì)稱集”.S(f)中元素個(gè)數(shù)|S(f)|是對(duì)f的對(duì)稱性的量化描述.對(duì)稱與群描述3元多項(xiàng)式對(duì)稱性強(qiáng)弱的一種量化的方法.這就是把對(duì)稱與群描述3元多項(xiàng)式對(duì)稱性強(qiáng)弱的一種量化的方法.這就是把群的定義（定義4）所謂群，是指一個(gè)特定的集合，該集合上的一種運(yùn)算滿足一定的性質(zhì).具體來說，即：G是一個(gè)群，是指（1）G是一個(gè)集合；（2）存在二元運(yùn)算（記為），它是的一個(gè)映射；（3）關(guān)于二元運(yùn)算滿足群公理（i）結(jié)合性公理對(duì)的任意元素，都有；（ii）單位元素公理在G中存在元素，使得對(duì)G中任何元素，都有（iii）逆元素公理對(duì)G的任何元素，都存在G中的唯一元素，使得.群的定義（定義4）所謂群，是指一個(gè)特定的集合，該集合上的一種群的定義（定義4）所謂群，是指一個(gè)特定的集合，該集合上的一種群在中學(xué)數(shù)學(xué)中的實(shí)例

（1）全體整數(shù)、全體有理數(shù)、全體實(shí)數(shù)、全體復(fù)數(shù)，關(guān)于通常的加法都構(gòu)成群，單位元是0，a的逆元素是-a.正有理數(shù)全體，正實(shí)數(shù)全體，關(guān)于通常的乘法也都構(gòu)成群，單位元都是1，a的逆元素是1/a.（3）由整數(shù)1和－1組成的集合，關(guān)于乘法構(gòu)成群。群在中學(xué)數(shù)學(xué)中的實(shí)例（1）全體整數(shù)、全體有理數(shù)、全體實(shí)數(shù)、群在中學(xué)數(shù)學(xué)中的實(shí)例（1）全體整數(shù)、全體有理數(shù)、全體實(shí)數(shù)、生活中的群

例、四元旋轉(zhuǎn)群.記G={L、R、H、I}，其中L表示向左轉(zhuǎn)，R為向右轉(zhuǎn)，H為向后轉(zhuǎn)，I為不動(dòng).上定義的二元運(yùn)算×為“接著”，如L×R表示先向右轉(zhuǎn)再接著向左轉(zhuǎn)，其余類推.容易驗(yàn)證，G關(guān)于這一運(yùn)算確實(shí)構(gòu)成一個(gè)群生活中的群例、四元旋轉(zhuǎn)群.記G={L、R、H、I}，其生活中的群例、四元旋轉(zhuǎn)群.記G={L、R、H、I}，其正方形繞中心旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°r1如果看顏色它當(dāng)然變了如果只看形狀呢?正方形繞中心旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°r1如果看顏色它當(dāng)然變了正方形繞中心旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°r1如果看顏色它當(dāng)然變了正方形繞中心旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°累積180°r2正方形繞中心旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°累積180°r2正方形繞中心旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°累積180°r2正方形繞中心正方形繞中心旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°累積270°r3正方形繞中心旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°累積270°r3正方形繞中心旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°累積270°r3正方形繞中心正方形繞對(duì)邊中點(diǎn)連線（鉛直）翻摺f1正方形繞對(duì)邊中點(diǎn)連線（鉛直）翻摺f1正方形繞對(duì)邊中點(diǎn)連線（鉛直）翻摺f1正方形繞對(duì)邊中點(diǎn)連線（鉛正方形繞對(duì)邊中點(diǎn)連線（水平）翻摺f2正方形繞對(duì)邊中點(diǎn)連線（水平）翻摺f2正方形繞對(duì)邊中點(diǎn)連線（水平）翻摺f2正方形繞對(duì)邊中點(diǎn)連線（水正方形沿對(duì)角線翻摺f3正方形沿對(duì)角線翻摺f3正方形沿對(duì)角線翻摺f3正方形沿對(duì)角線翻摺f3正方形沿對(duì)角線翻摺f4正方形沿對(duì)角線翻摺f4正方形沿對(duì)角線翻摺f4正方形沿對(duì)角線翻摺f4正方形的對(duì)稱群是由下列平面運(yùn)動(dòng)組成

S（正方形）={I，r1，r2，r3，f1，f2，f3，f4}正方形的對(duì)稱群是由下列平面運(yùn)動(dòng)組成正方形的對(duì)稱群是由下列平面運(yùn)動(dòng)組成正方形的對(duì)稱群是由下列平大學(xué)數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系課件大學(xué)數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系課件對(duì)平面有限圖形對(duì)成群的研究和分類，發(fā)現(xiàn)只可能出現(xiàn)如下6種不同情形對(duì)平面有限圖形對(duì)成群的研究和分類，發(fā)現(xiàn)只可能出現(xiàn)如下6種不同對(duì)平面有限圖形對(duì)成群的研究和分類，發(fā)現(xiàn)只可能出現(xiàn)如下6種不同（1）僅由單位（恒等或不動(dòng)）變換所組成的對(duì)成群K1

。這是任意非對(duì)稱圖形的對(duì)成群。（1）僅由單位（恒等或不動(dòng)）變換所組成的對(duì)成群K1。這是任（1）僅由單位（恒等或不動(dòng)）變換所組成的對(duì)成群K1。這是任（2）由單位變換及關(guān)于某一直線的翻折組成的對(duì)稱群K2

。（2）由單位變換及關(guān)于某一直線的翻折組成的對(duì)稱群K2。（2）由單位變換及關(guān)于某一直線的翻折組成的對(duì)稱群K2。（2（3）只有一些旋轉(zhuǎn)組成的對(duì)成群K3，但其中不含作任意小角度的旋轉(zhuǎn)情況。（3）只有一些旋轉(zhuǎn)組成的對(duì)成群K3，但其中不含作任意小角度的（3）只有一些旋轉(zhuǎn)組成的對(duì)成群K3，但其中不含作任意小角度的（4）只有一些旋轉(zhuǎn)組成的對(duì)成群K4，但它含有作任意小角度的旋轉(zhuǎn)。此時(shí)，作任意角度α的旋轉(zhuǎn)仍屬于群K4。這里的所有的運(yùn)動(dòng)或是圖形本身或是旋轉(zhuǎn)，排除了關(guān)于直線的翻轉(zhuǎn)。這是平面上有方向的圓環(huán)的對(duì)成群。（4）只有一些旋轉(zhuǎn)組成的對(duì)成群K4，但它含有作任意小角度的旋（4）只有一些旋轉(zhuǎn)組成的對(duì)成群K4，但它含有作任意小角度的旋（5）設(shè)在平面上有n條過重心o點(diǎn)的直線，這些直線分平面為2n個(gè)等角。對(duì)稱群K5由關(guān)于這些直線的n種翻轉(zhuǎn)以及繞o旋轉(zhuǎn)的倍角而生成。具有這樣對(duì)稱群的圖形包括正2n邊形。（5）設(shè)在平面上有n條過重心o點(diǎn)的直線，這些直線分平面為2n（5）設(shè)在平面上有n條過重心o點(diǎn)的直線，這些直線分平面為2n（6）由繞o點(diǎn)所有旋轉(zhuǎn)及關(guān)于所有過o點(diǎn)的直線的翻轉(zhuǎn)生成的對(duì)成群K6

。無方向圓及無方向圓環(huán)可作為它的例子。（6）由繞o點(diǎn)所有旋轉(zhuǎn)及關(guān)于所有過o點(diǎn)的直線的翻轉(zhuǎn)生成的對(duì)成（6）由繞o點(diǎn)所有旋轉(zhuǎn)及關(guān)于所有過o點(diǎn)的直線的翻轉(zhuǎn)生成的對(duì)成數(shù)系的擴(kuò)充N→

Z→

Q→R→

C元素運(yùn)算數(shù)系的擴(kuò)充N→Z→Q→R→C數(shù)系的擴(kuò)充N→Z→Q→R→C數(shù)系的擴(kuò)充N→Z→Q→數(shù)系擴(kuò)充的方法：初等數(shù)學(xué)→

添加元素高等數(shù)學(xué)→

構(gòu)造法（目的、造元、嵌入）構(gòu)造：造元、定義運(yùn)算、解決運(yùn)算利用商集造元數(shù)系擴(kuò)充后的得失數(shù)系擴(kuò)充的方法：數(shù)系擴(kuò)充的方法：數(shù)系擴(kuò)充的方法：加法減法乘法除法開方極限N√√Z√√√Q√√√