常用求極限方法的探索與總結

知識創(chuàng)造未來知識創(chuàng)造未來/知識創(chuàng)造未來常用求極限方法的探索與總結在高等數(shù)學的學習過程中，求極限的方法是一個重要的研究內容。對于求極限的方法，有些是經(jīng)典的，有些則是現(xiàn)代數(shù)學的研究成果，本文將探索和總結常用的求極限方法。極限的定義極限是高等數(shù)學的重要知識點之一，它的定義是：設f(x)是定義在某一區(qū)間上的函數(shù)，x0是該區(qū)間內一點或區(qū)間端點，如果對于任意給定的正數(shù)$\\epsilon$，都存在正數(shù)$\\delta$，使得當$0<|x-x_0|<\\delta$時，$|f(x)-A|<\\epsilon$成立，則稱A是當x趨向x0時f下面將介紹幾種常用的求極限方法。聚合定理極限運算的合法性在討論聚合定理之前，有一個問題是需要注意的：在計算極限時，常常會用到一些基本的運算，例如加減乘除，求冪次方等。這些運算是否是合法的呢？事實上，如果要進行極限運算，必須先證明這些運算在極限下是合法的。下面給出一個最基本的定理：連續(xù)性定理：若$\\lim_{x\\tox_0}f(x)=A$，$\\lim_{x\\tox_0}g(x)=B$，則有：$\\lim_{x\\tox_0}(f+g)(x)=A+B$$\\lim_{x\\tox_0}(f-g)(x)=A-B$$\\lim_{x\\tox_0}(fg)(x)=AB$$\\lim_{x\\tox_0}\\frac{f(x)}{g(x)}=\\frac{A}{B}$，其中B?該定理的證明可以使用$\\epsilon-\\delta$定義或者確界法，這里不再贅述。若一個函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，則當$x\\tox_0$時，f(聚合定理的定義在了解了連續(xù)性定理后，我們可以來看一下聚合定理的定義：若$\\lim_{x\\tox_0}f(x)=A$，$\\lim_{x\\tox_0}g(x)=B$，則有：$\\lim_{x\\tox_0}(f+g)(x)=A+B$$\\lim_{x\\tox_0}(f-g)(x)=A-B$$\\lim_{x\\tox_0}(fg)(x)=AB$$\\lim_{x\\tox_0}\\frac{f(x)}{g(x)}=\\frac{A}{B}$，其中B?聚合定理的證明可以直接用連續(xù)性定理進行推導。例如，要證明$\\lim_{x\\tox_0}(f+g)(x)=A+B$，我們可以將其寫作：$$\\begin{aligned}&\\lim_{x\\tox_0}(f+g)(x)=\\lim_{x\\tox_0}f(x)+\\lim_{x\\tox_0}g(x)\\\\&=\\lim_{x\\tox_0}f(x+g(x))\\quad\\quad\\quad(\\text{連續(xù)性定理})\\\\&=A+B\\end{aligned}$$其他部分的證明也類似。聚合定理是求極限過程中最基本的工具之一，掌握了聚合定理，可以簡化很多復雜的求極限運算。極限的夾逼定理定義夾逼定理（又稱夾逼準則）是求極限中非常重要的一個定理，通過夾逼定理，可以求出一些復雜函數(shù)的極限。其定義如下：若對于x0的某個去心鄰域$U(x_0)\\backslash\\{x_0\\}$，有$f(x)\\leg(x)\\leh(x)$，并且$\\lim_{x\\tox_0}f(x)=\\lim_{x\\tox_0}h(x)=A$$$\\lim_{x\\tox_0}g(x)=A$$例子下面舉一些例子來說明夾逼定理的應用。例子1求$\\lim_{x\\to0}\\frac{\\sinx}{x}$。我們知道，當$x\\to0$時，$\\sinx\\to0$，且$x\\to0$，因此題目所求的極限為：$\\lim_{x\\to0}\\frac{\\sinx}{x}=1$。下面我們使用夾逼定理來進行證明：根據(jù)三角公式，有：$$\\cosx\\le\\frac{\\sinx}{x}\\le1$$當$x\\to0$時，有：$$\\lim_{x\\to0}\\cosx=1=\\lim_{x\\to0}1$$因此，根據(jù)夾逼定理，有：$$\\lim_{x\\to0}\\frac{\\sinx}{x}=1$$例子2求$\\lim_{x\\to0}\\frac{1-\\cosx}{x^2}$。我們可以看到，$\\lim_{x\\to0}1-\\cosx=0$，而x2當$x\\to0$時也趨近于0，因此我們不能直接使用$\\frac{0}{0}$這個時候，夾逼定理就可以發(fā)揮作用了。根據(jù)三角公式，有：$$0\\le\\frac{1-\\cosx}{x^2}\\le\\frac{x^2}{2}$$當$x\\to0$時，有：$$\\lim_{x\\to0}\\frac{x^2}{2}=0$$因此，根據(jù)夾逼定理，有：$$\\lim_{x\\to0}\\frac{1-\\cosx}{x^2}=0$$洛必達（L’Hopital）法則定義洛必達法則是求解不定式極限的一種方法，也是非常常用的求極限的方法之一。它的定義如下：設f(x),g(x)在x0$$\\lim_{x\\tox_0}\\frac{f(x)}{g(x)}=\\lim_{x\\tox_0}\\frac{f'(x)}{g'(x)}$$其中，f′(x)和g′(x)分別表示例子下面舉一個例子來說明洛必達法則的使用。求極限：$\\lim_{x\\to0}\\frac{\\sinx}{x}$。這個問題在夾逼定理的例子中，我們已經(jīng)介紹過了。我們可以使用洛必達法則，再重新求一遍這個極限。根據(jù)洛必達法則，有：$$\\begin{aligned}\\lim_{x\\to0}\\frac{\\sinx}{x}&=\\lim_{x\\to0}\\frac{\\cosx}{1}=1\\end{aligned}$$這里我們用到了$\\lim_{x\\to0}\\cosx=1$的結論，以及$\\lim_{x\\to0}1=1$這條顯然的極限。需要注意的是，由于洛必達法則要求g′(x)泰勒公式定義泰勒公式是高等數(shù)學中非常重要的一個公式，它可以將一個函數(shù)在某一點展成為一個冪級數(shù)，從而為求解函數(shù)在該點的極限提供了一個有效的方法。泰勒公式的定義如下：設f(x)在x0的某鄰域內具有n+$$f(x)=\\sum_{k=0}^n\\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x)$$其中，f(k)(x0)表示f(x)在$$R_n(x)=\\frac{f^{(n+1)}(\\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$其中，$\\xi$在x0和x之間，即存在$\\xi\\in(x,x_0)$或$\\xi\\in(x_0,x)$泰勒公式可以看做是對函數(shù)進行局部近似的一個方法，因此可以處理很多求解極限的問題。例子下面舉一個例子，說明如何使用泰勒公式來求解極限。求$\\lim_{x\\to0}\\frac{e^x-1-x}{x^2}$。首先，我們利用泰勒公式將ex在x0$$e^x=1+x+\\frac{x^2}{2}+\\frac{x^3}{3!}+\\cdots+\\frac{x^n}{n!}+R_n(x)$$此時，我們可以用k=2$$e^x=1+x+\\frac{x^2}{2}+R_2(x)$$帶入原式，有：$$\\begin{aligned}\\lim_{x\\to0}\\frac{e^x-1-x}{x^2}&=\\lim_{x\\to0}\\frac{\\frac{x^2}{2}+R_2(x)}{x^2}\\\\&=\\frac{1}{2}+\\lim_{x\\to0}\\frac{R_2(x)}{x^2}\\end{aligned}$$因為當$x\\to0$時，R2(x)比x2快趨于總結本文介紹了常用的