概率論第七章分布擬合檢驗

分布擬合檢驗c

2檢驗法的定義c

2檢驗法的基本思想皮爾遜定理4.小結(jié)說明(1)在這里備擇假設(shè)H1可以不必寫出.1.

c

2檢驗法的定義這是在總體的分布未知的情況下,

根據(jù)樣本

X1

,

X

2

,,

Xn來檢驗關(guān)于總體分布的假設(shè)H0

:總體X

的分布函數(shù)為F

(x),H1

:總體X

的分布函數(shù)不是F

(x),的一種方法.(2)若總體X

為離散型:則上述假設(shè)相當(dāng)于H0

:總體X

的分布律為P{X

=xi}=pi,i

=1,2,.(3)

若總體

X

為連續(xù)型

:

則上述假設(shè)相當(dāng)于H0

:總體X

的概率密度為f

(x).數(shù)值未知,需要先用最大似然估計法估計參數(shù),然后作檢驗.形式已知,但其參(4)

在使用c

2檢驗法檢驗假設(shè)

H

時,

若

F

(

x)的0但一般來說,若H0

為真,且試驗次數(shù)又多時,這種差異不應(yīng)很大.nf在n

次試驗中,事件A

出現(xiàn)的頻率與pi

(或p?

i

)往往有差異,iik假設(shè)

H0

下,

我們可以計算

pi

=

P(

Ai

)

(或

p?

i

=

P?

(

Ai

)),

i

=

1,

2,,

k.2.

c

2檢驗法的基本思想將隨機(jī)試驗可能結(jié)果的全體W

分為k

個互不相容的事件A1

,A2

,,An

(

Ai

=W

,Ai

Aj

=?

,i

?j,i,j

=1,2,,k

).于是在i

=1

ki

i

ki

i

i-

nnp-

pp

nn

fi

=1f

22i

=12

c

2

=

或c

=3.皮爾遜定理設(shè)檢驗假設(shè)H0

的統(tǒng)計量為定理分布),

上統(tǒng)計量總是近似地服從自由度為

k

-

r

-

1的

c

2

分布,其中,

r是被估計的參數(shù)

的個數(shù).若n

充分大(?50),

則當(dāng)H0

為真時(不論H0

中的分布屬什么0于是,

如果在假設(shè)

H

下,22ki

=1npi(

f

-

np

)2i

i?

c

(k

-

r

-1),c

=

則在顯著性水平a

下拒絕H0

,否則就接受H0

.注意在使用c

2檢驗法時,n要足夠大,np

不太小.i根據(jù)實踐,

一般n

?

50,

或每一個npi

?

5.解例1把一顆骰子重復(fù)拋擲300

次,結(jié)果如下:出現(xiàn)的點數(shù)

1

2

3

4

5

6出現(xiàn)的頻數(shù)

40

70

48

60

52

30試檢驗這顆骰子的六個面是否勻稱?

(取a

=

0.05

)根據(jù)題意需要檢驗假設(shè)H0:這顆骰子的六個面是勻稱的.60(或

H

:

P{

X

=

i}

=

1

(i

=

1,2,,6))其中X

表示拋擲這骰子一次所出現(xiàn)的點數(shù)(可能值只有6

個),(i

=1,2,,6)為取W

i

=

{

i

},

(

i

=

1,

2,,6

)則事件Ai

={X

?

W

i

}={X

=i}互不相容事件.06在

H

為真的前提下,

p

=

P(

A

)

=

1

,(i

=

1,

2,,6)knpi(

f

-

np

)2i

ic

2

=

i

=1+=i16i(40

-

300

·300

·

1)2+300

·

161(70

-

300

·

)2++6300

·611(48

-

300

·)2+6300

·611

6(60

-

300

·)2+6300

·611

6(52

-

300

·)2,66300

·

1(30

-

300

·

1)2c

2

=

20.16,自由度為6

-1

=5,0.05查c

2

(5)表得c

2

=

11.07,c

2

=

20.16

>

11.07,所以拒絕

H0,

認(rèn)為這顆骰子的六個面不是勻稱的.i0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

?

12fi1

5

16

17

26

11

9

9

2

1

2

1

0AiA0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A11

A12,

i

=

0,1,2,,i!考慮

X

應(yīng)服從泊松分布

P{X

=

i}=其中fi

是觀察到有i

個a

粒子的次數(shù).從理論上e-lli是否符合實際?(a

=0.05)i!問P{X

=

i}=e-lli例2

在一試驗中,每隔一定時間觀察一次由某種鈾所放射的到達(dá)計數(shù)器上的 粒子數(shù),

共觀察了100次,

得結(jié)果如下表:解所求問題為:在水平0.05

下檢驗假設(shè)H0

:總體X

服從泊松分布,

i

=

0,1,

2,,i!P{X

=

i}=e-lli由于在H0中參數(shù)l

未具體給出,故先估計l.由最大似然估計法得l

=x

=4.2,根據(jù)題目中已知表格,

P{

X

=

i}有估計0如

p?

=

P?{X

=

0}=

e-4.2

=

0.015,3!?{=

0.185,e-4.2

4.23p?3

=

P

X

=

3}=11p?12

=

P?{X

?

12}=

1

-

p?i

=

0.002,i

=1具體計算結(jié)果見下頁表,?{,

i

=

0,1,

2,,i!e-4.2

4.2ip?i

=

P

X

=

i}=Aifip?inp?if

2

/

np?i

iA0A11

}650.015

}0.0780.0631.56.34.615A2A3A41617260.1320.1850.19413.218.519.419.39415.62234.845A5110.16316.37.423A690.11411.47.105A790.0696.911.739A820.0363.6A9A1012

60.0170.007

0.0651.70.75.538A1110.0030.3

=106.281A1200.0020.2例2的c

2

擬合檢驗計算表(6)

=

12.592

>

6.2815,c

2

(k

-

r-1)

=

c

2a

0.05故接受H0,認(rèn)為樣本來自泊松分布總體.其中有些

np?

i

<

5的組予以合并,

使得每組均有npi

?5,如表中第3列花括號所示.并組后k

=8,故c

2

的自由度為8

-1

-1

=6,統(tǒng)計如下:(X

表示相繼兩次地震間隔天數(shù),Y

表示出現(xiàn)的頻數(shù))X0

-

45

-

910

-1415

-1920

-

2425

-

2930

-

3435

-

39?40Y50312617108668試檢驗相繼兩次地震間隔天數(shù)X

服從指數(shù)分布.(a

=

0.05)解所求問題為:在水平0.05下檢驗假設(shè)例3

自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中,全世界記錄到里氏震級4級和4級以上地震共162次,0H

:

X

的概率密度

0,

1f

(

x)

=

-

xe

q

,

x

>

0,x

￡

0.q由于在H0

中參數(shù)q

未具體給出,故先估計q.162由最大似然估計法得q?

=x

=2231

=13.77,的子區(qū)間[ai

,ai

+1

),i

=1,2,,9.X

為連續(xù)型隨機(jī)變量,將X

可能取值區(qū)間[0,+￥

)分為k

=9

個互不重疊(見下頁表)Aifip?inp?if

2

/

np?i

iA1

:

0

￡

x

￡

4.5500.278845.165655.3519A2

:

4.5

<

x

￡

9.5310.219635.575227.0132A3

:

9.5

<

x

￡14.5260.152724.737427.3270A4

:14.5

<

x

￡19.5170.106217.204416.7980A5

:19.5

<

x

￡

24.5100.073911.97188.3530A6

:

24.5

<

x

￡

29.580.05148.32687.6860A7

:

29.5

￡

x

￡

34.560.03585.79966.2073A8

:

34.5

<

x

￡

39.5A9

:

39.5

<

x

<

￥6

}80.0248

}0.05684.0176}13.21929.201614.8269

=163.5633例3的

c

2

擬合檢驗計算表在H0

為真的前提下,-0,13.77

,x

>

0,x

￡

0.X

的分布函數(shù)的估計為F?

(x)=1

-ex概率

pi

=

P(

Ai

)有估計p?i

=

P?

(

Ai

)=

P?{ai

￡

X

<

ai

+1

}=

F?

(ai

+1

)

-

F?

(ai

),如p?

2

=P?

(A2

)=P?{4.5

￡

X

<0.5}=

0.2196,8i

=1p?9

=

F?

(

A9

)

=

1

-

F?

(

Ai

)

=

0.0568,=

F?

(9.5)

-

F?

(4.5)(6)

=

12.592

>

1.5633,c

2

(k

-

r

-

1)

=

c

2a

0.05故在水平0.05

下接受H0

,認(rèn)為樣本服從指數(shù)分布.2c

=

163.5633

-162

=

1.5633,k

=

8,

r

=

1,下面列出了84個依特拉斯坎人男子的頭顱的最大寬度(mm),

試驗證這些數(shù)據(jù)是否來自正態(tài)總體?(a

=

0.1)141148132138154142150146155158150140147148144150149145149158143141144144126140144142141140145135147146141136140146142137148154137139143140131143141149148135148152143144141143147146150132142142143153149146149138142149142137134144146147140142140137152145例4解所求問題為檢驗假設(shè)01-e

,-￥

<

x

<

￥

.H

:

X

的概率密度f

(x)=2s

2(

x-m

)22πs2

2由于在H0

中參數(shù)m,s

未具體給出,故先估計m,s

.s?

2

=

6.02

,由最大似然估計法得m?

=143.8,將X

可能取值區(qū)間(-￥

,￥

)分為7個小區(qū)間,(見下頁表)在H0

為真的前提下,X

的概率密度的估計為Aifip?inp?if

2

/

np?i

iA1

:

x

￡129.5A2

:129.5

<

x

￡134.51}41033249}30.0087}0.05190.17520.31200.28110.1336}0.03750.73}5.094.3614.7226.2123.6111.22}14.373.154.91A3

:134.5

<

x

￡

139.56.79A4

:139.5

<

x

￡144.541.55A5

:144.5

<

x

￡149.524.40A6

:149.5

<

x

￡154.510.02A7

:154.5

<

x

<

￥=87.67例4的c

2

擬合檢驗計算表12π

·

62·62-e ,

-

￥

<

x

<

+￥

.f?

(

x)

=(

x-143.8)2概率

pi

=

P(

Ai

)有估計如p?

2

=P?

(A2

)=P?{129.5

￡

x

<134.5}

6

6=F

134.5

-

143.8

-F

129.5

-

143.8

=F

(-1.55)

-F

(-2.38)

=

0.0519

.c

2

(k

-

r

-1)

=

c

2

(5

-

2

-1)

=

c

2

(2)

=

4.605