2023年高一年級下冊數(shù)學(xué)必修二《柱體、錐體、臺體的表面積與體積》測試試卷及答案解析

2023年高一下數(shù)學(xué)必修二《柱體、錐體、臺體的表面積與體積》

測試試卷

一.選擇題（共21小題）

1.一個圓錐的底面半徑為1,高為則圓錐的側(cè)面積是（）

A.B.ITC.2nD.4TT

3

2.正四棱柱的側(cè)棱長為5,它的對角線的長為屈，則這個棱柱的側(cè)面積是（）

A.1572B.60C.78D.6072

3.如圖所示，直三棱柱N8C-481cl的各側(cè)棱和底面的邊長均為“，點P,。分別在側(cè)棱

441和CG上，AP=CiQ,則四棱錐8-ZPQC的體積為（）

4.正三棱錐的底面周長為6,側(cè)面都是直角三角形，則此棱錐的體積為（）

A.B.V2C.2血.D.返

333

5.已知長方體的對角線長為4,過同一頂點的兩條棱與此對角線成角均為60°,則長方體

的體積是（）

A.16V3B,873C.隊歷D.473

6.如圖，在矩形/BCD中，AB=6,BC=4,E是8的中點，沿NE將△/￡>￡折起，使二

面角O-4E-8為60°,則四棱錐。-48CE的體積是（）

第1頁共18頁

A.當(dāng)仃B..舊c.D.

7.己知一個正三棱柱的底面邊長為行，且側(cè)棱長為底面邊長的2倍，則該正三棱柱的體積

為（）

A.B.工C.D.2

2222

8.在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，若

四棱錐S-/8CD為陽馬，側(cè)棱S4J_底面/8CD,且S/l=8C=/8=2,則該陽馬的表面

積為（）

A.6+4&B.2+4&C.4+4&D.8+4近

9.如圖，一圓錐形物體的母線長為4,其側(cè)面積為4m則這個圓錐的體積為（）

10.若圓錐的高擴大為原來的3倍，底面半徑縮短為原來的工，則圓錐的體積（

2

A.縮小為原來的3B.縮小為原來的2

43

C.擴大為原來的2倍D.不變

11.某三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，高為6,則該三棱柱的體積為（

12.若圓錐的高等于底面直徑，側(cè)面積為遙兀，則該圓錐的體積為$（

A.—TTB.全

3

13.已知底面半徑為1,體積為相兀的圓柱，內(nèi)接于一個高為2行圓錐（如圖）,線段Z8

第2頁共18頁

為圓錐底面的一條直徑，則從點/繞圓錐的側(cè)面到點8的最短距離為（)

A.8B.473C.4近D.4

14.如圖，圓錐的主視圖是等邊三角形，圓錐的底面半徑為2cm.假若點5有一只螞蟻只能

沿圓錐的表面爬行，它要想吃到母線/C的中點P處的食物，那么它爬行的最短路程是

（）

15.已知一個圓柱的高是底面圓半徑的2倍，則該圓柱的側(cè)面積與表面積的比值為（）

A.1.B.1.C.2D.A

4235

16.已知一個正四棱錐的底面邊長為2,高為愿，則該正四棱錐的全面積為（）

A.8B.12C.16D.20

17.已知一個正三棱臺的兩個底面的邊長分別為4和16,側(cè)棱長為10,則該棱臺的側(cè)面積

為（）

A.80B.240C.320D.640

18.已知一個圓柱的軸截面是面積為36的正方形，則這個圓柱的側(cè)面積為（）

A.36nB.27iiC.18KD.12IT

19.已知圓錐的母線長為6,母線與軸的夾角為30°,則此圓錐的體積為（）

A.27TTB.9我ITC.9TTD.3我兀

20.已知長方體全部棱長的和為36,表面積為52,則其體對角線的長為（）

A.4B.V29C.2723D.4^/17

第3頁共18頁

21.棱長和底面邊長均為1的正四棱錐的體積為（)

A.?B.返C.返D.

264

二.填空題（共2小題）

22.若一個圓柱的母線長為3,底面半徑為2,則此圓柱的軸截面的面積為.

23.一個正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，底面邊長是0,則它的表面積是.

三.解答題（共2小題）

24.如圖，一個三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱CCi_L8C,CCi=3,有一蟲子

從/沿三個側(cè)面爬到小，求蟲子爬行的最短距離.

25.如圖所示，已知在圓錐SO中，底面半徑r=l,母線長/=4,M為母線S4上的一個點,

且SW=x,從點"拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點4求：

（1）設(shè)/（x）為繩子最短長度的平方，求/（X）表達式；

（2）繩子最短時，頂點到繩子的最短距離；

（3）/（%）的最大值.

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2023年高一下數(shù)學(xué)必修二《柱體、錐體、臺體的表面積

與體積》測試試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共21小題）

1.一個圓錐的底面半徑為1,高為則圓錐的側(cè)面積是（）

A.2.巧口B.TTC.2nD.4n

3

【分析】利用勾股定理求出圓錐的母線長，再計算它的側(cè)面積.

【解答】解：圓錐的底面半徑為1,高為舊，

則圓鏈的母線長為/={/+（笠）2=2,

?,?圓錐的側(cè)面積為S圜推惻=TU7=2IT.

故選：C.

【點評】本題考查了圓錐的側(cè)面積計算問題，是基礎(chǔ)題.

2.正四棱柱的側(cè)棱長為5,它的對角線的長為泰，則這個棱柱的側(cè)面積是（）

A.15&B.60C.78D.60近

【分析】根據(jù)題意求出正四棱柱的底面邊長，再計算它的側(cè)面積.

【解答】解：如圖所示，

正四棱柱的側(cè)棱長為4由=5,對角線長為在，

（&AB）2+52=43,

解得/8=3,

.?.棱柱的側(cè)面積為5惻而積=4X5X3=60.

故選：B.

【點評】本題考查了正四棱柱的結(jié)構(gòu)特征與側(cè)面積計算問題，是基礎(chǔ)題.

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3.如圖所示，直三棱柱/5C-4181cl的各側(cè)棱和底面的邊長均為0,點P,。分別在側(cè)棱

441和CG上，AP^C\Q,則四棱錐8-4PQC的體積為()

【分析】連結(jié)/1C,設(shè)四棱錐8-/P0C的高為〃，由題意知S梯形〃，從而

加."。。=?S梯形〃登義—/SAACC1xh=VB-ACCrVCrABC=

…,再由棱柱體積公式求解?

3ABC-A/iC]

【解答】解：連結(jié)小C,設(shè)四棱錐B-NPQC的高為九

由題意知S榜彩4P0c=L(.AP+CQ')AC

2

(CiQ+CQ)AC

^kc\C'AC

2

S,

_AACC1

故VB-APQC=LxS稀彩APQcXh

3

=_1_XeXh

SA

3ACC1

-^B-ACCJ

一Vc「ABC

—7VABC-A,B,C,

Q111

=yXyXaX畬aXa=-^a3,

故選：c.

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【點評】本題考查多面體體積的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查等積法，是中檔題.

4.正三棱錐的底面周長為6,側(cè)面都是直角三角形，則此棱錐的體積為（）

A.小區(qū)B.&C.2調(diào).D.返

333

【分析】先求正三棱錐的底面邊長，然后求解側(cè)棱長，然后求出體積.

【解答】解：由題意正三棱錐的底面周長為6,

所以正三棱錐的底面邊長為2,側(cè)面均為直角三角形，

可知：側(cè)棱長為加,三條側(cè)棱兩兩垂直，

所以此三棱錐的體積為lxlxV2XV2X4?^—

323

故選：D.

【點評】本題考查棱錐的體積，考查學(xué)生的空間想象能力，邏輯思維能力，是基礎(chǔ)題.

5.已知長方體的對角線長為4,過同一頂點的兩條棱與此對角線成角均為60°,則長方體

的體積是（）

A.1673B.8A/3c.85/2D.473

【分析】由已知得過同一頂點的這兩條棱的棱長為2,設(shè)另一條棱的棱長為4,則/+22+22

=42,由此能求出長方體的體積.

【解答】解：?.?長方體的對角線長為4,

過同一頂點的兩條棱與此對角線成角均為60°,

二過同一頂點的這兩條棱的棱長為2,

設(shè)另一條棱的棱長為。，

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則/+22+22=42,解得〃=2&,

，長方體的體積K=2X2X27歷=8&.

故選：C.

【點評】本題考查長方體的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維

能力的培養(yǎng).

6.如圖，在矩形中，AB=6,8c=4,E是的中點，沿NE將△/Z）E折起，使二

面角。-/E-8為60°,則四棱錐。-/8CE的體積是（）

D

【分析】作出四棱錐的高，在側(cè)面上的斜高，從而構(gòu)造了二面角O-/E-8,計算

出高和底的面積，再用棱錐的體積公式化求解.

【解答】解：如圖，DFA.AE,。01.平面/88,連結(jié)。尸，

根據(jù)題意，NDFO=60：

在中，f>"=AD-DE==12,

AEV16+95

在△DF。中，DO=DF?sin60°

5

s四邊形ABCE9（AB+CE）?BC=18，

...四棱錐。-/8CE的體積：

—=1訴=3/

可$四邊形ABCE'DOyX18X--------------

故選：B.

臼為C

ABABI

【點評】本題考查四棱錐O-N8CE的體積的求法，考查平面圖形和空間圖形的轉(zhuǎn)化，要

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注意前后的不變量和改變量.

7.已知一個正三棱柱的底面邊長為畬，且側(cè)棱長為底面邊長的2倍，則該正三棱柱的體積

為（）

A.aB.工C.D..1

2222

【分析】與已知求得正三棱柱的底面積與高，再由體積公式求解.

【解答】解：I?正三棱柱的底面邊長為遙，.?.底面面積為5=

yX73xV3xsin60°'

高與側(cè)棱長相等為2如,

,該正三棱柱的體積為憶=3&x2、優(yōu)上.

故選：D.

【點評】本題考查棱柱體積的求法，是基礎(chǔ)的計算題.

8.在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，若

四棱錐S-/8C。為陽馬，側(cè)棱底面N8CD,且S/=5C=48=2,則該陽馬的表面

積為（）

A.6+4&B.2+4&C.4+4&D.8+4近

【分析】由題意知該幾何體是四棱錐，結(jié)合圖形求出它的表面積.

【解答】解：由題意知幾何體的表面積為：

s叫梭鐫=2SAS48+2S/、SBC+S正方形*BCD

=2XSA?AB+2XLBC?SB+4B。BC

22

=2X^X2X2+2X1.X2X2V2+2X2

=8+4近

故選：D.

【點評】本題考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征與表面積計算問題，是基礎(chǔ)題.

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9.如圖，一圓錐形物體的母線長為4,其側(cè)面積為4e則這個圓錐的體積為（)

C.冬兀D.攣兀

B.孚

A?隼33

【分析】利用圓錐的側(cè)面展開圖，扇形的面積，然后轉(zhuǎn)化求解圓錐的體積.

【解答】解：圓錐的展開圖為扇形，半徑夫=4,側(cè)面積為為扇形的面積，

所以扇形的面積Si='aR2=q兀，解得

所以弧長/=。&=2n,所以底面周長為如，

由此可知底面半徑廠=1,所以底面面積為S=ir,

圓錐體的高為〃=任，

故圓錐的體積V=Lsh=S^兀，

33

故選：C.

【點評】本題考查圓錐的體積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

10.若圓錐的高擴大為原來的3倍，底面半徑縮短為原來的工，則圓錐的體積（）

2

A.縮小為原來的WB.縮小為原來的2

43

C.擴大為原來的2倍D.不變

【分析】設(shè)圓錐的高為人底面半徑為小則圓錐的體積為憶=上又兀=2*卜當(dāng)圓錐

3

的高擴大為原來的3倍，底面半徑縮短為原來的工時，圓錐的體積為夕'=

2

|x7T（|）2x3b由此能求出結(jié)果.

32r

【解答】解：設(shè)圓錐的高為人底面半徑為八

則圓錐的體積為V——X71r2xh-

3

當(dāng)圓錐的高擴大為原來的3倍，底面半徑縮短為原來的1寸，

2

圓錐的體積為片=-i-XK4-r）2x3h=-^-x（-^-XTlr2Xh）-

J451O

第10頁共18頁

...圓錐的體積縮小為原來的3.

4

故選：A.

【點評】本題考查命題真假的判斷，考查圓錐的體積等基礎(chǔ)知識，考查運用求解能力，

是中檔題.

11.某三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，高為6,則該三棱柱的體積為（）

A.2MB.4MC.6MD.8A/3

【分析】根據(jù)棱柱的體積公式計算即可.

【解答】解：三棱柱的底面積為S='x2X2Xsin60。

，三棱柱的體積V=S?h=MX6=6我.

故選：C.

【點評】本題考查了棱柱的體積計算，屬于基礎(chǔ)題.

12.若圓錐的高等于底面直徑，側(cè)面積為遙兀，則該圓錐的體積為$（）

A.—nB.—TtC.2nD.ALTT

333

【分析】設(shè)底面半徑為r,則高h=2r,母線長Z=^r2+4r2=V§-?再由s=7TXrXjmr

=通兀，解得r=1，由此能求出該圓錐的體積.

【解答】解：圓錐的高等于底面直徑，側(cè)面積為遙兀，

設(shè)底面半徑為八則高刀=2廠，

22=

.?.母線長/=,\/r+4r'

；.s=兀XrXJ^r=兀，解得廠=1,

該圓錐的體積為y=—KxI2X2=2兀.

33

故選：B.

【點評】本題考查圓錐的體積的求法，考查圓錐的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，

是中檔題.

13.已知底面半徑為1,體積為相兀的圓柱，內(nèi)接于一個高為2畬圓錐（如圖），線段

為圓錐底面的一條直徑，則從點/繞圓錐的側(cè)面到點8的最短距離為（）

第11頁共18頁

A.8B.4A/3C.4&D.4

【分析】由題意畫出圖形，求出圓錐的母線長及側(cè)面展開圖為半圓，則答案可求.

【解答】解：如圖，

,：S0=20：.CD為/\SOB的中位線，

：.OB=2,則氏?)2+22=全

即圓錐的底面半徑為1,母線長為4,

則展開后所得扇形的弧長為4m圓心角為"二兀.

4

從點A繞圓錐的側(cè)面到點B的最短距離為4^2.

故選：C.

【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與數(shù)學(xué)

轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題.

14.如圖，圓錐的主視圖是等邊三角形，圓錐的底面半徑為2c%假若點8有一只螞蟻只能

沿圓錐的表面爬行，它要想吃到母線/C的中點尸處的食物，那么它爬行的最短路程是

()

第12頁共18頁

【分析】由題意畫出圖形，得到展開后扇形為半圓，再由勾股定理求解.

【解答】解：由題意，圓錐底面半徑為2,母線長為4,

則展開后所得扇形的半徑為4,弧長為4m則展開后所得扇形的圓心角為m

*8=4,4尸=2，-=^42+22=2我.

故選:B.

【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)體表面上最短距離的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是基礎(chǔ)題.

15.已知一個圓柱的高是底面圓半徑的2倍，則該圓柱的側(cè)面積與表面積的比值為（）

A.J-B.1.C.ZD.A

4235

【分析】設(shè)圓柱底面半徑為廠，則高〃=2廠，分別求出圓柱的側(cè)面積與表面積，作比得答

案.

【解答】解：設(shè)圓柱底面半徑為八則高刀=2廠，

該圓柱的側(cè)面積為2m-'h—4w2,

表面積為4ii7-2+2n7-2=birr2.

故該圓柱的側(cè)面積與表面積的比值為生

2

67Tr3

故選：C.

【點評】本題考查圓柱的側(cè)面積與表面積的求法，是基礎(chǔ)的計算題.

16.已知一個正四棱錐的底面邊長為2,高為如,則該正四棱錐的全面積為（）

第13頁共18頁

A.8B.12C.16D.20

【分析】由題意畫出圖形，求出正四棱錐的斜高，再由正方形及三角形面積公式求解.

【解答】解：如圖，

四棱錐P-18。為正四棱錐，高OP=M，底面邊長/8=2.

過。作。G，8C,垂足為G,連接尸G,則斜高PG=JTiM=2.

.,.正四棱錐的全面積是S=2X2+4X]X2X2=12-

故選：B.

【點評】本題考查四棱錐側(cè)面積的求法，考查計算能力，是基礎(chǔ)題.

17.已知一個正三棱臺的兩個底面的邊長分別為4和16,側(cè)棱長為10,則該棱臺的側(cè)面積

為（）

A.80B.240C.320D.640

【分析】由已知求得正棱臺的斜高，然后結(jié)合公式可求出此棱臺的側(cè)面積.

【解答】解：作出一個側(cè)面等腰梯形的高，也是棱臺的斜高，

則由等腰梯形的性質(zhì)，可得斜高一=J]02_（1^1）2=/

再用棱臺側(cè)面積公式，得棱臺的側(cè)面積為5惻=工（3X4+3X16）X8=240.

【點評】本題給出正三棱臺棱臺上下底面邊長和側(cè)棱長，求三棱臺的側(cè)面積，著重考查

了正棱臺的側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題.

18.已知一個圓柱的軸截面是面積為36的正方形，則這個圓柱的側(cè)面積為（）

第14頁共18頁

A.36nB.27nC.18nD.12n

【分析】設(shè)出底面半徑，求出底面半徑與高，即可求解圓柱的側(cè)面積.

【解答】解：設(shè)底面圓的半徑為『，則高為2廠，由2r?2廠=36,得戶=9,

所以S側(cè)=2兀r?2r=4?！?=36兀-

故選:A.

【點評】本題考查圓柱體的側(cè)面積的計算，考查空間想象能力和運算求解能力.

19.已知圓錐的母線長為6,母線與軸的夾角為30°,則此圓錐的體積為（）

A.27nB.C.9nD.3娟兀

【分析】根據(jù)勾股定理得出圓錐的底面半徑，代入側(cè)面積公式計算.

【解答】解：???圓錐的母線長為6,母線與軸的夾角為30°,

圓錐的底面半徑為3,高為：訴.

圓錐的體積為：LxnX9X3/1.

3

故選：B.

【點評】本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，圓錐的體積的計算，屬于基礎(chǔ)題.

20.已知長方體全部棱長的和為36,表面積為52,則其體對角線的長為（）

A.4B.A/29C.2A/23D.45/17

【分析】首先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達式，設(shè)出長方體的三條棱的長分別為x,y,z,根據(jù)題意列

出關(guān)系式，通過配方法即可求出對角線的長.

【解答】解：設(shè)長方體的三條棱的長分別為：X,力Z,

nilf2（xy+yz+zx）=52

'14（x+jH-z）=36'

可得對角線的長為"+y2+z2=Y（x+y+z）2-2（xy+yz+zx）=j92-52=V^

故選：B.

【點評】本題主要考查了長方體的特征，考查了配方法的應(yīng)用，屬于中檔題.

21.棱長和底面邊長均為1的正四棱錐的體積為（）

A.V3B.返C.返D.

264

【分析】根據(jù)頂點在底面的射影為底面中心的特點，求出棱錐的高，再計算棱錐的體積.

【解答】解：設(shè)正四棱錐為S-N8C。，S在底面Z88上的射影為。，則。為正方形

ABCD的中心，

第15頁共18頁

22=

連接0/,os,則。/=券，so=7SA-OA

?"會正方形碼呸=界/x^=等

【點評】本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，體積計算，屬于基礎(chǔ)題.

二.填空題（共2小題）

22.若一個圓柱的母線長為3,底面半徑為2,則此圓柱的軸截面的面積為12.

【分析】根據(jù)圓柱的軸截面為矩形，計算矩形的面積即可.

【解答】解：圓柱的母線長為3,底面半徑為2,

則此圓柱的軸截面為矩形，

其面積為3X2X2=12.

故答案為：12.

【點評】本題考查了圓柱的軸截面面積計算問題，是基礎(chǔ)題.

23.一個正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，底面邊長是°,則它的表面積是世氏2.

4

【分析】設(shè)出正三棱錐的側(cè)棱長為6,則由題意求出6與。的關(guān)系，再計算三棱錐的表面