內(nèi)積外積混和積課件

向量的內(nèi)積、外積、混和積

17/31/20231向量的內(nèi)積、外積、混和積17/26/20231向量的內(nèi)積

向量是一個具有很強的物理背景的概念，尤其在流體力學(xué)、電磁場理論等中有很多的應(yīng)用，要利用向量及其運算來反映諸多物理現(xiàn)象中量的關(guān)系，僅僅只有向量的線性運算就遠遠不夠了，還要不斷充實向量的運算。這一節(jié)先引入向量的一種乘法。27/31/20232向量的內(nèi)積向量是一個具有很強的物理背景的概例:物體放在光滑水平面上，設(shè)力F以與水平線成θ角的方向作用于物體上，物體產(chǎn)生位移S，求力F所作的功。于是功W為:

W=|F|cosθ|S|=|F||S|cosθ

為反映這一類物理現(xiàn)象，引入向量的內(nèi)積。FS

解:

根據(jù)物理知識，F(xiàn)可以分解成水平方向分力和垂直方向分力。其中只有與位移平行的分力作功，而不作功。

37/31/20233例:物體放在光滑水平面上，設(shè)力F以與水平線成θ角的方向作用根據(jù)內(nèi)積的定義，上例中的功可寫作：內(nèi)積及其運算規(guī)律

定義

兩個向量α與β的內(nèi)積是一個數(shù)，它等于這兩個向量的長度與它們夾角θ=(α，β)余弦的乘積，記為，即有47/31/20234根據(jù)內(nèi)積的定義，上例中的功可寫作：內(nèi)積及其運算規(guī)律定義(1)向量的內(nèi)積又稱為點積或數(shù)量積(3)(2)(4)(5)

注：向量內(nèi)積不滿足結(jié)合律具有以下性質(zhì)：57/31/20235(1)向量的內(nèi)積又稱為點積或數(shù)量積(3)(2)(4)(5)例：用向量證明余弦定理ACB證明：67/31/20236例：用向量證明余弦定理ACB證明：67/26/20236例：證明：直徑所對應(yīng)的圓周角為直角.ABCO證明：因此所以77/31/20237例：證明：直徑所對應(yīng)的圓周角為直角.ABCO證明：因此所以7例：證明：87/31/20238例：證明：87/26/20238內(nèi)積的坐標(biāo)表示對任意向量(1)證：97/31/20239內(nèi)積的坐標(biāo)表示對任意向量(1)證：97/26/20239(2)(3)107/31/202310(2)(3)107/26/202310向量的外積

上一節(jié)討論了向量的一種乘法：兩個向量的內(nèi)積，其運算結(jié)果是一個數(shù)。為了反映另一物理現(xiàn)象，本節(jié)引入了兩個向量的另一種乘法，叫做外積，它的運算結(jié)果是一個向量。117/31/202311向量的外積上一節(jié)討論了向量的一種乘法：兩個定義

兩個向量α與β的外積α×β是一個向量1.外積及其運算規(guī)律α×β的方向與α，β均垂直，且使α，β，α×β成右手系(2)(1)α×β的模是以α，β為邊的平行四邊形的面積，滿足注：即：127/31/202312定義兩個向量α與β的外積α×β是一個向量1.外積及外積又叫叉積或向量積，具有以下性質(zhì)：（反交換律）137/31/202313外積又叫叉積或向量積，具有以下性質(zhì)：（反交換律）137/262.外積的應(yīng)用

(1)用向量積來求平行四邊形及三角形面積(2)

用向量積來求點到直線的距離(3)用向量積來求證兩個向量共線147/31/2023142.外積的應(yīng)用(1)用向量積來求平行四邊形及三角例:已知α，β不共線，當(dāng)k取何值時，向量kα+9β與4α+kβ共線。解：又α×α＝β×β＝０，α×β＝－β×α因為α，β不平行，故有，據(jù)題設(shè)（kα+9β）×（4α+kβ）＝０kα×4α＋kα×kβ＋9β×4α+9β×kβ＝０即因而所以α×β≠０即k=±6．

157/31/202315例:已知α，β不共線，當(dāng)k取何值時，向量kα+9β與4α+例：證明：所以，167/31/202316例：證明：所以，167/26/202316例：解：且177/31/202317例：解：且177/26/202317外積的坐標(biāo)表示由定義直接可以得到:187/31/202318外積的坐標(biāo)表示由定義直接可以得到:187/26/202318因此:（自己算）197/31/202319因此:（自己算）197/26/202319例：解法一：解法二：207/31/202320例：解法一：解法二：207/26/202320解：構(gòu)造向量，以AB，AC為邊的平行四邊形面積所以三角形ABC的面積是

例:

求以，， 為頂點的三角形ABC的面積.那么217/31/202321解：構(gòu)造向量例：求與垂直的單位向量。解：設(shè)

，可見δ是與γ同方向的單位向量，因此，與α及β都垂直的單位向量是設(shè)γ=α×β，則γ與α及β都垂直，則有而227/31/202322例：求與向量的混合積

混合積的定義定義

三個向量α，β，γ的混合積是一個數(shù)，它等于向量α，β先作向量積，然后再與γ作數(shù)量積，記作(α，β，γ)即(α，β，γ)=(α×β)·γ237/31/202323向量的混合積混合積的定義定義三個向量α，β，γ的混合混合積的幾何意義注：

247/31/202324混合積的幾何意義注：247/26/202324混合積的性質(zhì)注：257/31/202325混合積的性質(zhì)注：257/26/202325定理：

三個向量α，β，γ共面的充要條件是(α×β)·γ=0.證:當(dāng)α∥β時,α×β=,當(dāng)α不平行β時，必要性如若α，β，γ共面自然有(α×β)·γ=0α×β垂直于α，β所在的平面，因而α×β⊥γ，仍有(α×β)γ=0。267/31/202326定理：三個向量α，β，γ共面的充要條件是證:當(dāng)α∥β時充分性當(dāng)α×β=0時，有α×β⊥γ，如若(α×β)·γ=0有α∥β，故α，β，γ共面；當(dāng)α×β≠0時，從而α，β，γ共面。又因α×β亦垂直于α及β，277/31/202327充分性當(dāng)α×β=0時，有α×β⊥γ，如若(α×β)·γ=例：證明：287/31/202328例：證明：287/26/202328例：解：297/31/202329例：解：297/26/202329例：證明：307/31/202330例：證明：307/26/202330混合積的坐標(biāo)表示注：設(shè)317/31/202331混合積的坐標(biāo)表示注：設(shè)317/26/202331分析:所以，D-ABC的體積可用混合積求出。例:

求以，為頂點的四面體的體積。，，以AB，AC，AD為棱的平行六面體的體積是以三角形ABC為底面，AD為棱的三棱柱體積的2倍，而四面體的體積是三棱柱體積的三分之一。327/31/202332分析:所以，D-ABC的體積所以解：構(gòu)造向量以AB，AC，AD為棱的平行六面體的體積為337/31/2023