玻色-愛因斯坦凝聚的有關(guān)研究

~玻色-愛因斯坦凝聚的相關(guān)研究TherelatedresearchonBose-Einstein感謝閱讀condensation化學與分子工程學院級應用化學系劉睿摘要本文對玻色-愛因斯坦凝聚中的唯里關(guān)系及分子凝聚進行了研究。在綜述里本文先闡明玻色-愛因斯坦凝聚的基本概念，介紹相關(guān)的實驗進展。在第二章里我們對二維空間渦流狀態(tài)束縛的零溫玻色-愛因斯坦凝聚的GrossPitaevskii方程用唯里能量關(guān)系進行詳細的分析并對其數(shù)值解進行討論。第三章對分子態(tài)的玻色-愛因斯坦凝聚的形成及性質(zhì)開展了探討。精品文檔放心下載AbstractThepurposeofthisdissertationistodeeplyunderstandthevirial-relationshipinBose-Einsteincondensationandthemolecular謝謝閱讀~Bose-Einsteincondensate.AcomprehensivereviewofthebasicconceptsofBose-Einsteincondensation,includingitstheory,experimentsandtechnicalskillsispresented.WetesttheresultoftheGrossPitaevskiiequationofthetrappedzerotemperatureBoseEinsteincondensedatomicgaseswithVirialtheoreminthetwodimensionalspaceofthevortexstate.Thenumericalsolutionofvirialrelationshipofthesystemisanalyzedindetail.WealsodiscusstheformationandpropertiesofMBEC(molecularBose-Einsteincondensation).謝謝閱讀一、 BEC理論和實驗概述（一）、玻色-愛因斯坦凝聚的基本理論形成BEC的條件是（1）其中h/2MkBT是熱波長（chermalwavelength）,它和粒子的德布羅意波長同數(shù)量級，感謝閱讀V是粒子所占體積，N是粒子數(shù)。形成BEC的條件即是粒子的德布羅意波長超過粒子間的間距.理想玻色氣體處于熱平衡狀態(tài)時服從玻色-愛因斯坦統(tǒng)計。如果以n代表熱平衡狀態(tài)時處于能態(tài)的某一量子態(tài)的平均粒子數(shù)，則n可表示為謝謝閱讀i i i[1]~n1e()/kBT1（2）i其中，u為粒子的化學勢，kB為玻耳茲曼常量。系統(tǒng)的總粒子數(shù)為精品文檔放心下載Nn1（3）e(i)/kBT1iii用N0表示處于最低能級（ 0）的粒子數(shù)，用Ni表示處于較高能級中的粒子感謝閱讀0數(shù)，則總粒子數(shù)為N=N0+Ni（4）令dN為能量在d的粒子數(shù)，對只考慮移動的玻色子來說：精品文檔放心下載dN2V(2m)3/21/2d(5)h3e()/kBT1則N2V(2m)3/21/2d(6)h30e()/kBT1當溫度T逐漸降低，0的能級上還沒有粒子時，N應該保持為常數(shù)，即感謝閱讀（6）式保持為常數(shù)。當T變小時，(T)必須變小，（注意是負的），設TT精品文檔放心下載c時，(T)即達到了最小值。即到了T時，溫度若再降低，（6）式就無法滿足cc右邊N是常數(shù)了，T是適用的最低溫度，則cN2V(2m)3/21/2dh30e/kBTc1（7）V(2mkT)3/21Bch3n3/21V(2mkT)3/2c2.612（8）Bh312.612其中n3/21~從式（8）可計算出凝聚溫度TcTh2(N)2/3（9）2mkcB臨界密度NMkT3/2T3/22.612B（10）V2h2cNi=N(T/Tc)3/2（11）N0=N[1-(T/Tc)3/2]（12）當體系的溫度低于臨界溫度Tc時，N0與Ni在數(shù)量上可以比擬。如果T=0，精品文檔放心下載則N0=Ni,這時全部粒子都轉(zhuǎn)移到最低能級，如圖一所示。這個現(xiàn)象就是玻色-愛因斯坦凝聚。謝謝閱讀圖1粒子數(shù)布局與溫度的關(guān)系要實現(xiàn)玻色愛因斯坦凝聚，在粒子密度一定時，就必須降低體系的溫度，謝謝閱讀~使得粒子的德布羅意波長足夠長。玻色-愛因斯坦凝聚是動量空間的凝聚，這里的玻色子是指具有總自旋為整數(shù)倍的粒子，或者是包含的電子、中子和質(zhì)子的總數(shù)目是偶數(shù)的原子。這種復合粒子的分布遵從玻色-愛因斯坦統(tǒng)計分布.粒子本身的復合性質(zhì)體現(xiàn)在內(nèi)部激發(fā),當內(nèi)部激發(fā)能遠大于kT,描述這樣溫度下的謝謝閱讀B熱動力學時,復合粒子內(nèi)部自由度就變的不重要了[2].實驗中的玻色凝聚是在謝謝閱讀稀薄氣體中實現(xiàn)的,這里稀薄氣體的條件na3105~1061保證了kT(TBcc為相變溫度),比符合粒子內(nèi)部激發(fā)能小的多。這里a是原子間s波的散射長度,感謝閱讀用來表征原子間的距離,n是原子密度。由于堿金屬原子價電子軌道角動量和原子核磁矩耦合,當它被磁場捕陷時就會分裂產(chǎn)生幾個超精細基態(tài).在磁阱中,原子通常只被捕獲在其中一個超精細能級上,而對于全光阱,就不存在這樣的問題。能否形成玻色-愛因斯坦凝聚,還與粒子的s波散射性質(zhì)有關(guān)。正散射長度的粒子可以形成穩(wěn)定的玻色-愛因斯精品文檔放心下載坦凝聚,而負散射長度的粒子由于容易發(fā)生三體碰撞而使凝聚體崩解,形成玻色-愛因斯坦凝聚的條件較為苛刻[3]。謝謝閱讀對于4He的理想氣體, 理論計算的T值為3.14K. 4He在2.17K以下成為超感謝閱讀c流體,發(fā)生相變。這個溫度與T很接近,因而超流態(tài)的4He成為進行玻色-愛因斯謝謝閱讀c坦凝聚實驗的首選體系。堿金屬原子的T值在106~107K的量級,激光冷卻與精品文檔放心下載c囚禁原子技術(shù)的發(fā)展,使得實現(xiàn)低溫條件成為可能。原子量大的堿金屬原子除了容易進行激光冷卻與囚禁外,還具有其它一些適于形成玻色-愛因斯坦凝聚的性質(zhì)[4]:通過有選擇的共振激發(fā),可使原子云的密度和能量成為空間和時間的函數(shù),便于獲取樣品的有關(guān)信息;包括氫原子在內(nèi),堿金屬原子之間的相互作用力很弱,可通過選擇自旋態(tài)、密度、同位素類別及外加勢場等手段來改變。因有謝謝閱讀~這些有利因素,玻色-愛因斯坦凝聚的實驗首先在堿金屬原子體系中取得了成感謝閱讀功。當T<T時，理想玻色氣體的熱容量為[1]cC1.926Nk(T

/Tc)3/2

（13）v

BT=0時,

C

0;

T=T

時,

C有最大值1.926Nk

,這個值大于經(jīng)典熱容v

c

v

B量3Nk /2;BT

>T

時,理想玻色氣體的性質(zhì)近似服從玻耳茲曼分布

,

C趨近于c

v3Nk /2。在溫度為T

時,理想玻色氣體發(fā)生相變,如圖2所示。B

c圖2理想玻色氣體熱容曲線理論研究表明[5],處于外場中的玻色體系,其粒子的基態(tài)波函數(shù)的特定形式使得粒子數(shù)密度形成一定的空間分布,因而波函數(shù)的形式也會在坐標空間中宏觀地表現(xiàn)出來。形成凝聚時大部分粒子處于基態(tài),基態(tài)粒子分布最集中的地方就是凝聚顯現(xiàn)的區(qū)域。實驗得到的玻色-愛因斯坦凝聚的照片如圖3所示。精品文檔放心下載~圖3中上面一組是87Rb原子玻色-愛因斯坦凝聚的照片，(a)為87Rb原子謝謝閱讀形成玻色-愛因斯坦凝聚前的吸收成像圖。形成凝聚前，原子布局于各個能態(tài)，精品文檔放心下載速度分布呈各向同性。圖中原子云的對稱形狀，反映了熱平衡狀態(tài)原子的各向精品文檔放心下載同性的速度分布。(b)為87Rb原子剛剛形成玻色-愛因斯坦凝聚的臨界狀態(tài)。形成凝聚時，原子處于最低量子態(tài)，在不對稱勢阱中的速度分布呈各向異性。圖中橢圓形的原子云反映了各向異性的速度分布。(c)為87Rb原子幾乎完全形成玻色-愛因斯坦凝聚時的圖像，速度分布的各向異性更加明顯。下一組是23Na原精品文檔放心下載子的玻色-愛因斯坦凝聚的照片，各階段的圖像與87Rb原子的很類似。感謝閱讀圖3玻色-愛因斯坦凝聚的實驗照片玻色-愛因斯坦凝聚是一個熱力學的動態(tài)平衡過程。凝聚體和非凝聚體之間通過不斷進行著能量交換,凝聚的原子會成為非凝聚原子,非凝聚原子也會變?yōu)槟墼印Ｍ瑫r凝聚原子和背景氣體的碰撞會大大降低凝聚體的壽命,對于堿金屬原子,要得到一分鐘以上的凝聚體,要求阱的真空度達到1011毫巴[6]感謝閱讀~（二）激光冷卻和磁光阱技術(shù)1、多普勒冷卻考慮一種對激光冷卻原子最為重要的情況,即原子共振吸收與其運動方向相對的光子,然后自發(fā)輻射的過程(參見圖4)。精品文檔放心下載圖4多普勒冷卻原理原子靜止時的吸收頻率為0,則由于多普勒效應,當它以速度v相對光波運動時,被共振吸收的光波的頻率應該是0(1v/c)（14）吸收后原子以自發(fā)輻射的方式發(fā)出光子回到基態(tài),然后再吸收光子,再自發(fā)精品文檔放心下載輻射,......每次吸收一個光子, 原子都得到與其運動方向相反的動量,而每次自發(fā)感謝閱讀輻射,發(fā)射光子的方向卻是隨機的(自發(fā)輻射是各向同性的)。因此多次重復下來,吸收時得到的動量隨吸收次數(shù)增加,而自發(fā)輻射損失的動量平均為零,原子因之被減速。平均每次吸收-自發(fā)輻射循環(huán)降低的速度為精品文檔放心下載hv0(15)vmc其中m為原子質(zhì)量。這就是1975年漢斯和肖洛提出激光冷卻原子的主要感謝閱讀思想[7],也是所謂“多普勒冷卻(DopplorCooling)”的基本機制,它是激光冷卻精品文檔放心下載技術(shù)中最重要的原理。更復雜的情況或更細致的分析可采用經(jīng)典的或量子力學的方法來進行。結(jié)論是:主要存在兩類輻射力影響原子的運動,一類被稱之為散射力,或自發(fā)輻射力;另一類被稱之為偶極梯度力,或感應輻射力。計算這兩類輻射力的一種典型謝謝閱讀~方法是:首先求出原子在光場中的感應電偶極矩的期待值d,然后再由經(jīng)典電感謝閱讀動力學求出輻射力,(16)其中E表示光場的電場強度，平均值是對廣場周期求平均。由此得到：F=F1+F2,感謝閱讀F1k1 212II2

Gkv1G( )2G(kv)kv1G( )2

(17)(18)表示光波的波矢,表示原子的自發(fā)輻射感謝閱讀率,G2(dE/)2,2(),I表示光波的光強,I表示光強的梯謝謝閱讀0 0度。自發(fā)輻射力F1具有共振性質(zhì)(共振條件kv),光強強時有飽和現(xiàn)象;偶精品文檔放心下載極梯度力F2不具有飽和現(xiàn)象,它只出現(xiàn)在非均勻的光場中。這兩類力反映了光精品文檔放心下載與原子相互作用的不同側(cè)面,本質(zhì)上都與原子散射光子的反沖相聯(lián)系。謝謝閱讀由式(17)可見,要使F1成為阻礙原子運動的力,光波傳播方向k應與原子運動方向v方向相反,對于給定的光波,F1是v的洛倫茲線型函數(shù)(見圖5)。感謝閱讀~圖5F1的函數(shù)線形在滿足共振條件kv時F1取最大值,此時光波頻率相對靜止原子的躍感謝閱讀遷頻率0“紅移”,移動量滿足式(14)表示的多普勒頻移公式,這就是圖5的情謝謝閱讀況。圖6駐波場中的原子另一個重要的情況是運動的原子處于兩個頻率相同而傳播方向相反的光波場中(見圖6),原子受兩光波的作用力仍可用式(16)分別計算,總的作用力為兩者之和。圖7表示0時的作用力,圖中的虛線分別表示兩光波的作用力,而實線表示總的作用力FOM。顯然,不論原子的速度是負(對著光波1)或正(對著光波2),所受的力都是與其速度方向相反的阻滯力,并且在滿足共振條件kv時,阻滯力FOM最大;在v較小的區(qū)域,阻滯力FOM具有線性特征。在光強較弱的情謝謝閱讀況,很易得到FvOM這里的阻滯系數(shù)為4k22G/（19）12//222~圖7駐波場中的原子受的散射力原子在這樣的光場中就象進入了粘稠的膠狀物一樣被減速,這種情況稱形成了一維的"光學粘膠"(OpticalMolasses)"[8]。在激光冷卻技術(shù)中,當原子運動速度低到一定程度后,常用"光學粘膠"來進一步冷卻。謝謝閱讀2、多普勒冷卻的極限和不同冷卻區(qū)的劃分上述冷卻機制稱之為多普勒冷卻(Dopplercooling)。原則上可以使用這種冷卻方式使原子的熱速度從室溫下的幾百m/s降至很低。但是卻不能無限低下去，存在著一個極限vD。精品文檔放心下載當原子的速度被降低之后，上述共振條件不再能滿足，減速的效果就會弱精品文檔放心下載下去，甚至停止。必須設計一些特殊的技術(shù)來保證共振條件的持續(xù)滿足，以使精品文檔放心下載速度持續(xù)減下去。當速度很低時，共振條件意味著光波的頻率ω非?？拷痈兄x閱讀的躍遷頻率ω0。由于原子的躍遷譜線寬度最窄是原子能級壽命決定的自然寬度，感謝閱讀因之多普勒冷卻方式不能最終移走對應自然半寬度的熱運動能量，即精品文檔放心下載（20）由此得到多普勒冷卻的極限速度（21）~和多普勒冷卻的極限溫度（22）其中kB是玻耳茲曼常量。將原子冷卻至比TD更低的溫度靠的是另外的冷卻機制，其中最重要的是偏謝謝閱讀振梯度冷卻(polarizationgradientcooling)。感謝閱讀下一個有意義的冷卻極限是反沖極限(recoillimit)。這是考慮到原子和光子相互作用時不可避免的單光子反沖。單光子對原子的反沖能感謝閱讀（23）所以（24）由此得反沖極限速度（25）和反沖極限溫度（26）我們可用圖8來表示由兩個極限點劃分開的不同的冷卻區(qū)域。從原子在室溫下的熱運動速度v0→vD為(Ⅰ)區(qū)，vD→vR為(Ⅱ)區(qū)，vR→0為(Ⅲ)區(qū)。不同謝謝閱讀的區(qū)冷卻的機制不同：在(Ⅰ)區(qū)是多普勒冷卻，冷卻到(Ⅱ)區(qū)和(Ⅲ)區(qū)要靠新的精品文檔放心下載冷卻機制。在(Ⅰ)、(Ⅱ)區(qū)原子的德布羅意波長λd小于光波的波長λ，可使用半謝謝閱讀經(jīng)典理論描述，即原子的內(nèi)部運動遵循量子力學，而外部的運動可用經(jīng)典力學精品文檔放心下載表示；但在(Ⅲ)區(qū)，λd>λ，則原子的內(nèi)部和外部的運動都必須用量子力學描述。感謝閱讀~圖8不同冷卻區(qū)的劃分而低于多普勒極限溫度的冷卻，基本都是在形成“光學粘膠”中依靠其它機制實現(xiàn)的。在這些機制中，必須考慮到原子的多能級結(jié)構(gòu)，不再能簡單地看成二能級系統(tǒng)。謝謝閱讀最典型的一種機制是偏振梯度冷卻(polarizationgradientcooling)。在這種機制中，包括激光偏振梯度、光泵和光感應能級位移幾種效應，綜合起來使原子可冷至多普勒極限之下。感謝閱讀其次討論原子能級的光感應位移(light-inducedshift)。以基態(tài)Jg=1/2而激發(fā)態(tài)Je=3/2的躍遷為例。在近共振的激光場作用下，基態(tài)磁量子數(shù)mg不同精品文檔放心下載的能級將產(chǎn)生不同的光感應位移，當激光頻率相對原子躍遷頻率“紅移”(Δ＜0＝時，光感應能級的位移Eg是負的。位移量的大小還取決于激光場的偏振態(tài)。感謝閱讀由于線偏振光只能產(chǎn)生 m=0的躍遷，σ+和σ-偏振的光只能分別產(chǎn)生 m=1謝謝閱讀m=-1的躍遷。因之在偏振梯度存在的不同位置處，基態(tài)的兩個磁能級將有不同的光感應位。謝謝閱讀光泵效應(opticalpumping)。由于σ+和σ-偏振光的選擇激發(fā)，原子會在某個特定能級聚集，這就是光泵效應。感謝閱讀~圖9偏振梯度冷卻最后，我們來看這些效應的綜合怎樣能夠使原子減速。圖9表示在偏振梯度光感謝閱讀場中由于這些效應，不同位置不同基態(tài)磁能級上原子的聚集情況，圓點表示原精品文檔放心下載子聚集。這些原子當然具有一定的速度，會在空間運動，設z=λ/8處，mg=-1/2感謝閱讀態(tài)的原子向正z方向運動，它的能級會逐漸升高，箭頭表示了這一過程。當它感謝閱讀運動到z=3λ/8處時，這里σ+光的光泵作用使它迅速躍遷到mg=1/2態(tài)。由謝謝閱讀于光泵過程中吸收光的能量低于發(fā)射的能量，原子的動能減少了。但只要有足精品文檔放心下載夠動能，原子仍會向正z方向運動，開始第二次“攀登”，當它在z=5λ/8處重感謝閱讀新回到mg=-1/2態(tài)時，它的動能更低了，如此反復的循環(huán)，最終可將原子的速感謝閱讀度降至極低。這種冷卻機制于有反復“攀登”的過程，在西方文獻中常借用希精品文檔放心下載臘神話故事稱之為“Sisyphus”冷卻。圖10用原子束塞曼冷卻技術(shù)進行玻色愛因斯坦凝聚的裝置圖精品文檔放心下載3、原子束塞曼冷卻技術(shù)利用塞曼冷卻(ZeemanCooling)技術(shù)[9]進行玻色-愛因斯坦凝聚的實驗裝謝謝閱讀~置如(圖8)所示。左邊是產(chǎn)生原子束的裝置,沿原子束的行進方向,施加了一個由強到弱的漸變磁場。右邊是由一個特殊磁場和三對光束組成的勢阱。用于冷卻的激光與原子束相對,漸變磁場使塞曼分裂的能級間距隨原子位置而逐漸變化,可以有效地補償多普勒頻移,從而使激光對原子持續(xù)減速。速度接近于零的原子被導入右邊的原子阱進行囚禁。利用蒸發(fā)冷卻技術(shù)進一步降低囚禁原子的溫度,最后形成凝聚。精品文檔放心下載4、 原子阱（1）磁阱四極磁阱是第一個用來成功捕陷中性原子的原子阱)，用“塞曼冷卻器”預冷了的Na原子進入四極磁阱所在區(qū)域，被一束對射的近共振短脈沖激光進一步減速后，立即接通磁場線圈建立磁阱，原子即能被捕陷。被捕陷原子數(shù)可達104，謝謝閱讀捕陷時間0.8s，原子的溫度約17mK。后來發(fā)展的四極磁阱技術(shù)，甚至可將原子捕陷長達20min，捕陷原子數(shù)高達1012。謝謝閱讀（2） 光阱一個特定的非均勻的光場要能成為原子的勢阱，首先要利用近共振作用使感謝閱讀原子產(chǎn)生感應電偶極矩，這樣才能通過這個感應電偶極矩與光場的作用使原子精品文檔放心下載“感受”到勢阱的存在。當近共振激光光場頻率是“紅移”時，力將指向光場謝謝閱讀中光強處；反之，“藍移”時力將指向光場中光弱處。~圖11磁光阱的原理圖，左圖為一維情況，右圖為三維情況謝謝閱讀（3） 磁光阱(Magnetic-OpticalTrap簡稱MOT)精品文檔放心下載磁光阱的原理[10，11]如圖11所示,裝有樣品的真空氣室的三個坐標方向,分別是三對相向的激光束,三對激光束交匯于氣室中心。激光束對是偏振方向相反的和激光。最常使用的形式是四極磁阱(quadrupletrap)[12],它實精品文檔放心下載際是兩個分開一定距離h的反向電流線圈(圖11)。兩線圈中通以方向相反的電流,產(chǎn)生大小與坐標位置有關(guān)的非均勻磁場坐標中心處,磁場為零。設原子處于精品文檔放心下載基態(tài)時自旋s=0,處于激發(fā)態(tài)時自旋s=1。在上述磁場中,激發(fā)態(tài)的能級分裂謝謝閱讀成三個:m=0,1。能級分裂的程度與坐標位置有關(guān)。激光頻率調(diào)諧到略低謝謝閱讀于原子的躍遷頻率。根據(jù)選擇定則,光只對m1的躍遷起作用,光只精品文檔放心下載對m1的躍遷起作用。z<0時,原子更多吸收光,受到指向中心的力;z>0感謝閱讀時,原子更多吸收光,也受到指向中心的力。其它兩個坐標方向的情況與此謝謝閱讀類似。這樣,原子最終被冷卻、囚禁到氣室的中心。5、蒸發(fā)冷卻蒸發(fā)冷卻(EvaporationCooling)[13，14]最初由MIT在氫的捕陷和冷卻感謝閱讀~中實現(xiàn),利用遠諧振激光除去阱中原子團的高溫拖尾,被蒸發(fā)的原子帶走較高的平均動能,這樣意味著阱內(nèi)的溫度也會隨之降低。阱中其余原子通過自由碰撞達到熱平衡,高溫拖尾被激光繼續(xù)除去。為了持續(xù)使原子冷卻,需施加回泵光(RepumpingLaser)以避免光抽運效應。在很多實驗中也使用了暗磁光阱技術(shù)(DarkMOT)[15]它是讓回泵光在阱中心形成空洞,相當于一個暗區(qū),這樣可防止阱中心已被囚禁的原子因散射激光而逸出。謝謝閱讀5．吸收成像技術(shù)實際觀察玻色愛因斯坦凝聚時,可采用吸收成像(AbsortionImage)技術(shù)[16]。實驗中形成的凝聚一般很小(尺度為微米量級),難于直接觀察。為了使觀察結(jié)果較為明顯,可將外場組成的勢阱撤掉,原子在沒有外場約束的情況下會向周圍擴散。一定的時間間隔后,用共振的探測激光照射待觀察區(qū)的原子,原子吸收激光后再發(fā)出熒光,此時用CCD對熒光成像,像的空間分布則反映了原子擴散前的速度分布。從速度分布的狀況可以了解玻色愛因斯坦凝聚形成過程中各階段的不同特征。感謝閱讀7、原子波激射器原子波激射器(atomlaser)是類比光激射器(激光器，laser)取名的。激光器發(fā)射的是相干的光波，而原子波激射器發(fā)射的是相干的物質(zhì)波。因而原子波激射器也可以說是一個相干原子束發(fā)生器(coherentatomicbeamgenerator)，相干性是其基本特征。正是在這一點上原子波激射器較之通常的熱原子束有根本的不同，即它發(fā)射的原子束是高度相干的，束中所有的原子處于同一量子態(tài)(指每個原子質(zhì)心運動的量子態(tài))。這一區(qū)別非常類似普通熱光源和激光器的區(qū)別。同時，原子波激射器發(fā)射的原子具有較長的德布羅意波長，表現(xiàn)出鮮明的波動謝謝閱讀~性。量子性、相干性和波動性是原子波激射器最主要的性質(zhì)。精品文檔放心下載原子波激射器的另一基本特征是高的“光譜高度”(brightness)，束中原子精品文檔放心下載的能譜處于單模，從能量分布的角度來看具有極好的“單色性”。感謝閱讀二、 旋狀態(tài)下的BEC凝聚體性質(zhì)及唯里關(guān)系研究我們用下面的非線性薛頂鍔GPE方程來描述處于均勻磁場零溫穩(wěn)定狀態(tài)下精品文檔放心下載的凝聚體中的中性玻色子：21(r)](r)0（27）2m22222式中(r)是矢徑r處時的凝聚態(tài)波函數(shù)，m為中性玻色子原子的質(zhì)量，12m2r2感謝閱讀表征均勻磁阱勢能，是等效協(xié)振頻率，是束縛系統(tǒng)的化學勢。這里，g是原謝謝閱讀子間相互作用的偶合長度，g42N/m，a為散射長度，N是BEC系統(tǒng)中原感謝閱讀子的個數(shù)。渦旋狀態(tài)下，波函數(shù)的形式可寫為(r)(r)ei，其中(r)是一個與時精品文檔放心下載間無關(guān)的徑向波函數(shù)，我們在下面將主要討論它。1,2,3,etc是轉(zhuǎn)動量子數(shù)，精品文檔放心下載是圍繞Z軸形成的空間角。速率表達式為v( /mr2)，而r2x2y2，沿z的角謝謝閱讀 動量表達為LzN。在方程（27）中代入試探解波函數(shù)，為方便計算，我們只考慮球形對稱的情況，這樣我們得到二維空間中渦旋狀態(tài)下的空間波函數(shù)方精品文檔放心下載程如下：221(r)2](r)0（28）[22222定義xr/ m/，則上式可以化簡成一維非線性方程（28）表示如下精品文檔放心下載1dd2xc(x)2](x)0（29）[x22~化學勢以為單位。在這個方程中，c1表明了在玻色子粒子間相互精品文檔放心下載作用的特征，c1表示排斥作用勢，c1表示吸引作用勢，分別對應于s-波感謝閱讀散射長度的正或負。我們對于渦旋狀態(tài)解的兩個參數(shù)非常感興趣，一個是在渦旋系統(tǒng)中的原子精品文檔放心下載的個數(shù)N，另外一個是均方半徑，它的大小代表了凝聚體本身的大小。這兩個量謝謝閱讀的比值可以給出凝聚體密度的量級大小。利用波函數(shù)它們在一維參數(shù)條件下，謝謝閱讀表示為N2rdr2(r)（30）0r22r2rdr2(r)（31）N0波函數(shù)歸一化以后為nNxdx2(x)（32）0x21x2xdx2(x)（33）n0方程中有決定意義的參數(shù)是化學勢。渦旋系統(tǒng)中的原子總數(shù)與方程（32）感謝閱讀中歸一狀態(tài)下歸一化n相關(guān)，而r由平方根半徑歸一化x2及n決定。謝謝閱讀為從數(shù)值上求解方程（29），我們先研究當x為極小時解的情況。由于此時謝謝閱讀波函數(shù)(x)趨于0，這樣3(x)可以忽略不計，同時包含2(x)/x2比較x2(x)精品文檔放心下載和2(x)可忽略不計，這樣對于趨于0的x，方程可近似寫為感謝閱讀xd2(x)xd(x)2(x)0（34）2這是一個典型的歐拉方程，通解可以表示為(x)CxCx（35）12為了保證解取有限值，所以令C20，這里我們研究1,2,3,etc.，也就是渦旋態(tài)低級激發(fā)態(tài)。于是我們得到當x近似為0時的解。精品文檔放心下載~(0)0（36）d(0)Cx1（37）dx1接下來，我們考慮當x時的方程（29）的無限遠處的漸進解，由波函精品文檔放心下載數(shù)的要求，波函數(shù)(x)在無窮遠應趨于零。這時有關(guān)的項3(x)和2(x)/x2可謝謝閱讀被忽略，對于足夠大的，方程（29）近似的寫為1ddx2](x)0（38）2圖121時的渦旋排斥態(tài) 圖131時的渦旋吸引態(tài)感謝閱讀對于球形對稱狀態(tài)下諧振子勢阱中的量子粒子，上述方程允許解為感謝閱讀1,3,5,etc。然而對于渦旋狀態(tài)，由于由非線性項存在，是連續(xù)可變的。我們將著重研究它的變化給BEC體系帶來的影響。當x足夠大時，方程（38）成立，則物理允許的解的形式精品文檔放心下載如下式給出lim'(x)[x1]（39）x(x)x~我們討論如何在0的情況下得出解。對于1,2,3的情況下，也可以以謝謝閱讀16=0=3=112 =2=2n8=14=0=30-4 -2 0 2 4 6同樣的方法解出。對于給定的，方程（29）存在唯一的數(shù)值解，通過Runge-精品文檔放心下載圖14歸一化原子數(shù)k,k及渦旋態(tài)原子的空間密度在1時的變化趨勢。謝謝閱讀1 2Kutta四階方法和邊界條件方程（36）和（37）我們可以求出這個數(shù)值解。感謝閱讀計算程序中采用計算步長為 x0.0001，利用打靶法試探求解。如果取精品文檔放心下載x0 時的函數(shù)x試探初值C，方程（38）不滿足邊界的條件，我們就選取謝謝閱讀1新的C值，選擇方法可以用牛頓正切方法。例如求解c1，1，3.00的謝謝閱讀1時候，我們用這樣的方法找到的C為2.902688，于是我們就可以得到對應的波感謝閱讀1函數(shù)。~首先，我們得出基態(tài)0和渦旋態(tài)1,2,3在排斥相互作用和吸引相互作謝謝閱讀8765432100 2 4 6 8 10 12r圖15歸一化粒子數(shù)和化學勢的關(guān)系用（表I,II,III,IV和V,VI,VII）時的解。圖12是排斥態(tài)，圖13是吸引態(tài)。精品文檔放心下載在原子間為排斥作用的情況下，即c1，原子的歸一化粒子數(shù)n，隨著化精品文檔放心下載學勢的增加而增加，可以發(fā)現(xiàn)，在同樣有效化學勢下的渦旋狀態(tài)比基態(tài)允許更精品文檔放心下載多的原子存在，渦旋激發(fā)狀態(tài)越高，包含的原子數(shù)目可以越大。這一點可以在感謝閱讀有效化學勢eff上進行比較得到（我們會在后面的部分對此進行討論）。精品文檔放心下載如果我們考慮求渦旋的平方根半徑，比如當吸引勢為1.0，這時歸一化粒子謝謝閱讀數(shù)n是3.2219(見表6)，我們再選擇典型的束縛頻率值 /m10,000A，那么謝謝閱讀均方根半徑將會是22，000A，當0.0001時，原子數(shù)量N為32，000。而且感謝閱讀當原子間為吸引的情況下，會可能存在歸一化粒子數(shù)n的最大值，即粒子數(shù)的最感謝閱讀大值。我們可計算出渦旋的最大粒子數(shù)量。舉例而言，在吸引作用第一激發(fā)態(tài)謝謝閱讀情況下，原子數(shù)的最大值是N77,000，我們也可以計算出2時原子數(shù)量的精品文檔放心下載最大值142，000。~另一方面，從圖14中我們可以發(fā)現(xiàn)在排斥作用情況下不存在這樣的一個最謝謝閱讀大值n，這是因為吸引作用往往導致原子更容易彼此發(fā)生三體碰撞而使 BEC解謝謝閱讀體。在圖15（在BEC系統(tǒng)中）我們表示出與化學勢相關(guān)的歸一化粒子數(shù)的關(guān)系，感謝閱讀并外推到歸一化粒子數(shù)n為0的值。我們發(fā)現(xiàn)在1時，化學勢2是，比基態(tài)精品文檔放心下載，當2時，化學勢是3，這意味著如果我們想把BEC系統(tǒng)從基態(tài)激發(fā)到第一和第二激發(fā)態(tài)，所應該提供的激發(fā)能量分別至少是和2，這就是精品文檔放心下載為什么我們要把定義為有效的化學勢，這是量子規(guī)范在多體問題中的體現(xiàn)。值得注意的是，謝謝閱讀eff在渦旋系統(tǒng)中的總能量被分成了四項，用下式表示dr[1drdn2n1nm2r21gn2]E(n)rdrdrr222（40）EEEEkinpotrotint第一項E 代表分子動能；E 是諧振勢阱能量，E渦旋系統(tǒng)中的旋轉(zhuǎn)能；謝謝閱讀kin pot rot與原子間的相互作用勢。int我們可以用上式來研究單個粒子的能量(EEEE)/N（41）kinpotrotint由于在GPE方程的穩(wěn)定解附近，能量值也是穩(wěn)定的，因此可以采用標度變換而研究其能量分量與總能量的關(guān)系。將(x)(1)1/2((1)x)代入方程（40）。能量項變?yōu)?1)2(E)1(E)(1)2(E)(1)E，穩(wěn)定性kinx(1)2potxrotxint要求能量與無關(guān)，所以一階的展開式里，的展開系數(shù)應為0，于是可得維里謝謝閱讀~關(guān)系為(E)(E)(E)1E0（42）kinxpotxrotx2int這里1(Ekin)xp2/2m，(Epot)x2m2x2和(Erot)x(1/x)22。對于二維情形，分別研究xy軸的維里關(guān)系，我們會發(fā)現(xiàn)相同的結(jié)論。把各分量相謝謝閱讀加并注意到相互作用能量只計算一次，最后我們得到EEE1E0（43）kinpotrot2int維里關(guān)系可以用來檢驗GPE方程的數(shù)值解，這樣我們分別來計算各能量項。精品文檔放心下載Edx[(x)'(x)(x)''(x)/x]（44）kin0Ex2xdx2(x)（45）pot0Edx22(x)/x（46）rot0Edx4(x)（47）int0在表IX~XI中分別給出了原子間排斥作用和吸引作用情形。我們在圖16~23謝謝閱讀中給出了能量圖（E

kin

，E

rot

，E 和Epot int

在k=0,1,2,3,c=1,-1情形下）~8070Eint605040 Epot302010E0

kin-101.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0謝謝閱讀a圖160,c1時的動能，勢能，相互作用能和轉(zhuǎn)動勢能關(guān)系圖。精品文檔放心下載32E28 int26242220Ekin141210864Epot0-2-4 -3 -2 -1 0 1a圖170,c1時的動能，勢能，相互作用能和轉(zhuǎn)動勢能關(guān)系圖。謝謝閱讀~160140 Eint120100 Epot806040E20rot0Ekin-202.02.53.03.54.04.55.05.5a圖181,c1時的動能，勢能，相互作用能和轉(zhuǎn)動勢能關(guān)系圖。謝謝閱讀200Eint150100EkinEkinEpot-6 -4 -2 0 2a圖191,c1時的動能，勢能，相互作用能和轉(zhuǎn)動勢能關(guān)系圖。謝謝閱讀~Eint150100EkinErotEpot-6 -4 -2 0 2a圖202,c1時的動能，勢能，相互作用能和轉(zhuǎn)動勢能關(guān)系圖。精品文檔放心下載180170E160int150140130120110e100l9080si70EA60Yrot50Ekin20Epot-10-3 -2 -1 0 1 2 3XAxisTitle圖212,c1時的動能，勢能，相互作用能和轉(zhuǎn)動勢能關(guān)系圖。謝謝閱讀~70E60pot5040ErotE30Ekin2010Eint04.04.85.05.8a圖223,c1時的動能，勢能，相互作用能和轉(zhuǎn)動勢能關(guān)系圖。精品文檔放心下載320Eint260240220200180160140120E100rotEkin40E0pot-20-3-2-10a1234圖233,c1時的動能，勢能，相互作用能和轉(zhuǎn)動勢能關(guān)系圖。謝謝閱讀我們在排斥和吸引兩種情況下都研究了二維空間中相互作用BEC體系的渦謝謝閱讀旋態(tài)解，并以基態(tài)為參照，比較了低能激發(fā)狀態(tài)下的波函數(shù)，均方根半徑和系精品文檔放心下載統(tǒng)的化學勢，我們還獲得了渦流狀態(tài)的原子數(shù)量的最大值，這個值要比基態(tài)下謝謝閱讀的大得多。我們推知了低密度下的解并獲得了量子機制下的渦旋激發(fā)條件。我精品文檔放心下載)時，即滿足所謂共振~們還研究了在二維的渦旋狀態(tài)BEC中維里關(guān)系，證明了維里關(guān)系是一個除每個謝謝閱讀原子的化學勢之外的另一個有效的檢驗工具。三、 分子態(tài)BEC相較于冷原子，冷分子的產(chǎn)生則是困難重重。原子是激光冷卻高度依賴于所謂二能級的重復躍遷（cyclingtransition）。如此，才能形成光子的多次吸收，因而制冷。由于原子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)遠較于分子單純，極易滿足這一要求。反觀分子，即使是最簡單的雙原子分子，除了電子的能級外還有振動與轉(zhuǎn)動能級。上述重復躍遷的條件極不容易以一或兩個激光光束加以滿足。感謝閱讀如圖24所示。將兩束激光入射到由TOP磁阱（magneticTOPtrap）所囚禁的銣原子玻色凝聚體中，兩束激光的頻率分別為,,相應的波失量分別為感謝閱讀1 2k,k。在凝聚體中，當兩個處于非束縛態(tài)的銣原子依其間的作用位能V(R)而靠感謝閱讀1 2近時，吸引激光場1的一個光子，同時放出一個光子給激光場2。兩個銣原子經(jīng)過此一受激拉曼躍遷而形成一個束縛態(tài)的分子，其束縛能為。由于此分子處于單一的轉(zhuǎn)-振動能級（ro-vibrationlevel）,當(感謝閱讀1 2條件（resonancecondetion）。除此之外，這一過程必須同時滿足動量守恒。由光子作用于分子的反沖動量（recoilmomentum）為(kk)。在此實驗中，精品文檔放心下載1 2該轉(zhuǎn)移值幾乎為零，原因是兩束激光入射方向相同，并且頻差極小所致。由于精品文檔放心下載位于凝聚體內(nèi)的原子幾乎是靜止的，因此，其中形成的分子也可以說幾乎是靜精品文檔放心下載止的，其溫度依據(jù)推算約為100nK。因為當兩束激光的頻差正好滿足共振條件謝謝閱讀時，由拉曼躍遷形成的分子數(shù)達到最大值。因而借助掃描兩束激光的頻率差便精品文檔放心下載可以得到拉曼躍遷的頻譜。~圖24自由態(tài)原子與束縛態(tài)分子間的雙光子拉曼躍遷但當凝聚體的空間密度不同時，拉曼躍遷譜線的中心頻率不僅向一個方向偏移外，其線寬亦隨密度增加而增加。造成此現(xiàn)象的主要原因是由于分之與凝聚體的相互作用所引起。當凝聚體的原子數(shù)足夠多，以致它的動能遠小于其平均場能（mean-fieldenergy）時，凝聚體便進入Thomas-Fermi區(qū)。在此情況下，凝聚體的空間分布為拋物線，其平均場能與大小和位置的關(guān)系隨此曲線變化。同時凝聚體的位能也恰為一拋物線，即是TOP阱的勢能。因此，凝聚體原子在TOP阱內(nèi)的總能量（勢能加平均場能）與位置無關(guān)。而對于分子，雖然它的勢能呈拋物線形狀（也就是原子的兩倍），其平均場能（雖然與位置的關(guān)系也是一個反拋物線）的大小卻未知。因此，分子在TOP阱內(nèi)的總能量與位置有關(guān)。同時，銣分子的轉(zhuǎn)動-振動能態(tài)的壽命短于TOP阱的振動周期。拉曼躍遷譜線位移直接反映出分子的空間分布以及分子與凝聚體原子的作用。而拉曼譜線的加寬，部分原因是由于分子與凝聚體原子之間的非彈性碰撞而來。此非彈性感謝閱讀~碰撞一旦發(fā)生，將改變原子或分子的內(nèi)部能級，并將其內(nèi)能轉(zhuǎn)為動能，使其逃感謝閱讀離TOP阱的束縛。拉曼譜線的加寬，顯示銣分子的轉(zhuǎn)動-振動能級的壽命的縮短。謝謝閱讀由此可見，凝聚體的密度越高，拉曼譜線的線寬越寬。受激的拉曼躍遷過程具有相干性（coherent），因此用這一方式將原子凝謝謝閱讀聚體激發(fā)成分子態(tài)凝聚體，原則上是可行的。可預見的限制主要來自分子能級感謝閱讀的弛豫（relaxation）。相關(guān)的研究更表明，因非彈性碰撞所導致的分子能級的精品文檔放心下載弛豫會因分子的束縛能的增加而大幅度降低。類似Feshbach共振用磁場調(diào)制方精品文檔放心下載式相干產(chǎn)生分子態(tài)凝聚體的想法也被提出。然而，以此方式合成分子的同時，謝謝閱讀也將伴隨極大的分子振動能級的弛豫，因此造成嚴重的原子三體結(jié)合，使凝聚謝謝閱讀體崩潰。文章附表表1：GPE方程（3）在排斥相互作用基態(tài)0時的數(shù)值解。謝謝閱讀1.201.602.002.402.803.203.604.00n0.43521.52752.93024.65146.69479.063711.74914.757x21.05021.14981.24671.33991.42911.51511.59621.6740表2：GPE方程（3）在排斥相互作用1時的數(shù)值解。謝謝閱讀2.202.402.602.803.003.203.403.60n0.83391.73722.71193.76004.88286.08217.35888.7136x21.44961.48511.52041.55571.59081.62581.66061.69500.80291.61302.43203.26144.10244.95615.82316.7040~表3：GPE方程（3）在排斥相互作用2時的數(shù)值解。感謝閱讀3.203.403.603.804.004.204.404.60n1.10242.27643.52774.85456.25957.74419.309210.955x21.76101.78961.81921.84841.87751.90671.93581.96482.15764.36406.62568.940411.31113.73816.22218.763表4：GPE方程（3）在排斥相互作用3時的數(shù)值解。4.204.404.604.805.005.205.405.60n1.31812.71383.98525.74587.38539.108810.71712.811x22.02512.05032.05132.10112.12672.15222.17782.20343.89507.902411.30316.26620.62625.10529.70534.423表5：GPE方程（3）在吸引相互作用基態(tài)0時的數(shù)值解。謝謝閱讀0.800.400.00-0.40-0.80-1.20-1.60-2.00n0.36630.91481.26551.47981.60881.68761.73721.7695x20.95030.90130.72620.68970.62510.57140.52700.4899表6：GPE方程（3）在吸引相互作用1時的數(shù)值解。精品文檔放心下載1.801.601.401.000.600.200.00-1.00n0.76691.46962.11093.22194.12694.85405.15976.2405x21.37891.34381.30901.24041.17401.11031.07970.94130.79781.59262.38693.98405.60917.28098.139212.699表7：GPE方程（3）在吸引相互作用2時的數(shù)值解。感謝閱讀~2.802.401.601.200.400.00-0.40-1.20n1.03182.89425.89657.08688.96909.705210.33111.313x21.70331.64631.53581.48281.38191.33431.28871.203782.11026.201913.98617.74925.19428.93432.71840.477表8：GPE方程（3）在吸引相互作用3時的數(shù)值解。感謝閱讀3.803.202.401.600.800.00-0.80-1.60n1.24274.54568.071310.78312.86914.48215.73916.723x21.97511.90171.80761.71851.63451.5581.48211.41343.786514.54527.72539.98751.75463.35575.02286.904表9：GPE方程（3）在排斥相互作用1時的能量分配。感謝閱讀2.202.402.602.803.003.203.403.603.80E0.781.542.272.983.674.355.015.666.30kinE0.801.612.433.264.104.965.826.707.60rotE1.753.836.279.1012.416.120.325.030.3potE0.321.353.135.719.1613.518.925.332.9int表10：GPE方程（3）在排斥相互作用 2時的能量分配。精品文檔放心下載3.203.403.503.603.804.004.204.404.60E1.042.042.523.003.924.815.676.517.33kinE2.164.365.496.638.9411.313.716.218.7rotE3.427.309.4211.716.642.3potE0.4361.782.824.107.4511.917.524.332.4int表11：GPE方程（3）在排斥相互作用0時的能量分配。精品文檔放心下載~1.201.401.601.802.002.202.402.602.80E0.3950.7841.171.551.942.332.733.133.54kinE0.4801.142.023.154.556.288.3510.813.7potE0.1690.7161.70911.215.320.3int表12：GPE方程（3）在吸引相互作用1時的能量分配。感謝閱讀1.801.601.401.101.000.600.00-1.00-2.00E0.8161.672.553.964.446.509.9116.423.6kinE0.7981.592.393.583.985.618.1412.717.7rotE1.462.653.624.694.965.696.022.534.69potE0.3111.212.655.706.9412.6int表13：GPE方程（3）在吸引相互作用2時的能量分配。2.802.001.601.200.800.400.00-0.40-0.80E1.096.038.8711.015.419.022.927.031.3kinE2.1110.214.017.821.525.228.932.736.6rotE2.9911.413.915.616.617.117.317.116.8potE0.429.5517.928.