函數(shù)逼近與曲線擬合

函數(shù)逼近與曲線擬合第1頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.1函數(shù)逼近的基本概念

3.2單變量數(shù)據(jù)擬合及最小二乘法

3.3多變量數(shù)據(jù)擬合

3.4非線性數(shù)據(jù)線性化

3.5正交多項(xiàng)式擬合第2頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

這些都涉及到在區(qū)間上用簡(jiǎn)單函數(shù)逼近已知復(fù)雜函數(shù)的問(wèn)題，這就是函數(shù)逼近問(wèn)題.3.1函數(shù)逼近的基本概念實(shí)際中遇到的問(wèn)題：（1）反映變量之間內(nèi)在規(guī)律的函數(shù)關(guān)系f(x)，往往是通過(guò)實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)得到的一張函數(shù)表，其表達(dá)式未知；（2）函數(shù)存在解析表達(dá)式，但由于形式過(guò)于復(fù)雜而不易使用，不容易計(jì)算函數(shù)值。

插值法就是函數(shù)逼近問(wèn)題的一種.第3頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

記作，

本章討論的函數(shù)逼近，是指“對(duì)函數(shù)類(lèi)中給定的函數(shù)中求函數(shù)，使與的誤差在某種度量要在另一類(lèi)簡(jiǎn)單的便于計(jì)算的函數(shù)類(lèi)意義下最小”.

函數(shù)類(lèi)通常為次多項(xiàng)式，有理函數(shù)或分段低次多項(xiàng)式等.第4頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

代數(shù)插值是根據(jù)給定的數(shù)據(jù)表，按某些條件構(gòu)造一個(gè)代數(shù)多項(xiàng)式近似代替函數(shù)條件:

即要求函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)

由于數(shù)據(jù)表中給定的數(shù)據(jù)是從實(shí)驗(yàn)或測(cè)量中得到的，難免有一些誤差，而且有個(gè)別點(diǎn)的誤差可能比較大。問(wèn)題：如果插值節(jié)點(diǎn)xi及其上的函數(shù)值yi存在誤差，對(duì)插值函數(shù)有什么影響？當(dāng)個(gè)別數(shù)據(jù)的誤差較大時(shí),會(huì)得到理想的插值效果嗎？為什么？第5頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月曲線擬合示意圖

為此,我們希望從給定的數(shù)據(jù)(xi,yi)出發(fā),構(gòu)造一個(gè)近似函數(shù),不要求函數(shù)完全通過(guò)所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，只要求所得的近似曲線能反映數(shù)據(jù)的基本趨勢(shì)，如圖所示。換句話說(shuō):求一條曲線,使數(shù)據(jù)點(diǎn)均在離此曲線的上方或下方不遠(yuǎn)處,所求的曲線稱(chēng)為擬合曲線,它既能反映數(shù)據(jù)的總體分布,又不至于出現(xiàn)局部較大的波動(dòng),更能反映被逼近函數(shù)的特性,使求得的逼近函數(shù)與已知函數(shù)從總體上來(lái)說(shuō)其誤差按某種方法度量達(dá)到最小。這就是曲線擬合問(wèn)題。

第6頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

在對(duì)給出的實(shí)驗(yàn)(或觀測(cè))數(shù)據(jù)作曲線擬合時(shí),怎樣才算擬合得最好呢？

與函數(shù)插值問(wèn)題不同,曲線擬合不要求曲線通過(guò)所有已知點(diǎn),而是要求得到的近似函數(shù)能反映數(shù)據(jù)的基本關(guān)系。在某種意義上,曲線擬合更有實(shí)用價(jià)值。兩種逼近概念:

插值:

在節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值相同.

擬合:

在數(shù)據(jù)點(diǎn)處誤差平方和最小

一般希望各實(shí)驗(yàn)(或觀測(cè))數(shù)據(jù)與擬合曲線的誤差的平方和最小，這就是最小二乘原理。第7頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2單變量數(shù)據(jù)擬合及最小二乘法用幾何描點(diǎn)法或憑經(jīng)驗(yàn)選擇一個(gè)近似函數(shù)

單變量數(shù)據(jù)擬合法的一般過(guò)程是：先根據(jù)給定函數(shù)的數(shù)據(jù)表

通常稱(chēng)為擬合函數(shù)，，以反映數(shù)據(jù)表中數(shù)據(jù)的一般趨勢(shì)，然后使用最小二乘法來(lái)確定其中的未知參數(shù)，從而得到的近似函數(shù)xx1x2…xny1y2…yn

通常稱(chēng)為被擬合函數(shù)。第8頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

不一定要經(jīng)過(guò)點(diǎn)定義3.1

若記

，則稱(chēng)為與在

一般情況下，使用單變量數(shù)據(jù)擬合法能選擇到一個(gè)近似函數(shù)使，使它與的偏差的平方和達(dá)到最小，即使達(dá)到最小。而能使偏差的平方和達(dá)到最小的函數(shù)就是“最好”函數(shù)。

定義3.2

以“偏差的平方和達(dá)到最小”作為原則來(lái)選擇近似函數(shù)的方法稱(chēng)為最小二乘法。處的偏差。等于0是辦不到的，但可以找到一個(gè)函數(shù)什么是“最好”的函數(shù)，“最好”的函數(shù)以什么標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量?第9頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（1）直線擬合設(shè)已知數(shù)據(jù)點(diǎn),分布大致為一條直線。根據(jù)最小二乘原理作擬合直線,該直線不是通過(guò)所有的數(shù)據(jù)點(diǎn),而是使誤差平方和

故和應(yīng)滿足下列條件：為最小。第10頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月即得如下正規(guī)方程組令第11頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

方程組改寫(xiě)為：即按下列公式求a和b

第12頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）多項(xiàng)式擬合有時(shí)所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布并不一定近似地呈一條直線,這時(shí)仍用直線擬合顯然是不合適的,可用多項(xiàng)式擬合。對(duì)于給定的一組數(shù)據(jù)尋求次數(shù)不超過(guò)n(n<m)的多項(xiàng)式來(lái)擬合所給定的數(shù)據(jù)，與線性擬合類(lèi)似，使誤差的平方和為最小。第13頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由于Q可以看作是關(guān)于aj(j=0,1,2,…,n)的多元函數(shù),故上述擬合多項(xiàng)式的構(gòu)造問(wèn)題可歸結(jié)為多元函數(shù)的極值問(wèn)題。令得

這是關(guān)于系數(shù)的線性方程組，通常稱(chēng)為正規(guī)方程組?？梢宰C明，正規(guī)方程組有惟一解。第14頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3-1

已知一組數(shù)據(jù)如下表所示,用單變量數(shù)據(jù)擬合法求其擬合函數(shù).解x-1012345610975430-1先畫(huà)出散點(diǎn)圖.從圖中可以看到，點(diǎn)

在一條直線附近，的近似函數(shù).這些點(diǎn)大體上滿足直線方程。因此，可以選擇線性函數(shù)來(lái)擬合這些數(shù)據(jù)，即可以選取作為和代入正規(guī)方程組得解上方程組得到

于是，求得擬合函數(shù)為

把第15頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3多變量數(shù)據(jù)擬合若假設(shè)這些自變量為和因變量為，則每經(jīng)過(guò)一次，而經(jīng)過(guò)n次實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)或測(cè)量就會(huì)得到一組數(shù)據(jù)或測(cè)量就會(huì)得到n組數(shù)據(jù)，由這n組數(shù)據(jù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)據(jù)表:多變量數(shù)據(jù)擬合法的一般過(guò)程是：先根據(jù)數(shù)據(jù)表選擇變量與變量的一個(gè)近似函數(shù)

，以反映的函數(shù)關(guān)系，然后使用最小二乘法確定近似函數(shù)。中的未知參數(shù)，從而得到通常稱(chēng)為擬合函數(shù)，通常稱(chēng)為被擬合函數(shù)。與變量

第m次實(shí)驗(yàn)或測(cè)量x1x2…xk1x11x12…x1ky12x21x22…x2ky2………………nxn1xn2…xnkyn第16頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月假定數(shù)據(jù)表中的數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，這時(shí)選取線性函數(shù)來(lái)近似表達(dá)與變量的函數(shù)關(guān)系.把代入線性函數(shù)得到從而與在差為而偏差的平方和為

處的偏第17頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月?lián)嘣瘮?shù)求極小值的方法，對(duì)分別求關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)并令其等于0，這樣便得到…第18頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月整理化簡(jiǎn)后聯(lián)立起來(lái)得到方程組K+1個(gè)未知數(shù)的線性代數(shù)方程組，它也稱(chēng)為正規(guī)方程組。第19頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理3.2

給定的數(shù)據(jù)表，若數(shù)據(jù)表與變量的最小二乘擬合函數(shù)，則待定參數(shù)可以證明：當(dāng)時(shí)，正規(guī)方程組有唯一解。表中的數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，這時(shí)選取線性函數(shù)作為是正規(guī)方程組的解。第20頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3-2

已知一組測(cè)量數(shù)據(jù)如表所示，求其線性擬合函數(shù)。據(jù)題意，選擇線性函數(shù)擬合給定數(shù)據(jù)表中的數(shù)據(jù)。解為待定參數(shù)第m次測(cè)量x1x211172129321104221152312第21頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由定理3.2得到正規(guī)方程組

而把它們代入正規(guī)方程組得從方程組解得，，于是，所求的擬合函數(shù)為

第22頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月③解正規(guī)方程組和

求出④輸出多變量線性擬合法算法①輸入數(shù)據(jù)②計(jì)算正規(guī)方程組的系數(shù)第23頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

有些非線性擬合曲線可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q轉(zhuǎn)化為線性曲線，從而用線性擬合進(jìn)行處理，對(duì)于一個(gè)實(shí)際的曲線擬合問(wèn)題，一般先按觀測(cè)值在直角坐標(biāo)平面上描出散點(diǎn)圖，看一看散點(diǎn)的分布同哪類(lèi)曲線圖形接近，然后選用相接近的曲線擬合方程。再通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q轉(zhuǎn)化為線性擬合問(wèn)題，按線性擬合解出后再還原為原變量所表示的曲線擬合方程。下表列舉了幾類(lèi)經(jīng)適當(dāng)變換后化為線性擬合求解的曲線擬合方程及變換關(guān)系

3.4非線性數(shù)據(jù)線性化第24頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

曲線擬合方程變換關(guān)系變換后擬合方程第25頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

圖(a)表示數(shù)據(jù)接近于直線，故宜采用線性函數(shù)擬合；圖(b)數(shù)據(jù)分布接近于拋物線?？刹捎枚味囗?xiàng)式擬合。(a)(b)幾種常見(jiàn)的數(shù)據(jù)擬合情況:第26頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

圖(c)的數(shù)據(jù)分布特點(diǎn)是開(kāi)始曲線上升較快隨后逐漸變慢,宜采用雙曲線型函數(shù)或指數(shù)型函數(shù)

圖(d)的數(shù)據(jù)分布特點(diǎn)是開(kāi)始曲線下降快,隨后逐漸變慢,宜采用或或等進(jìn)行擬合。(c)(d)或第27頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3-3

某煉鋼廠出鋼時(shí)用的鋼包（用來(lái)裝鋼水的容器）是用特殊耐火材料制成的，在使用的過(guò)程中，由于鋼水及爐渣對(duì)包襯耐火材料的侵蝕，使其容量隨著使用次數(shù)的增多而增大。為了找出使用次數(shù)與容量15次測(cè)試，測(cè)試數(shù)據(jù)如表所示，用數(shù)據(jù)擬合法找出使用次數(shù)與容量之間的函數(shù)關(guān)系。i使用次數(shù)

xi容量

yi

i使用次數(shù)

xi容量

yii使用次數(shù)

xi容量

yi126.426710.00111210.60238.20789.93121310.80349.58899.99131410.60459.5091010.49141510.90569.70101110.59151610.76之間的函數(shù)關(guān)系,工程技術(shù)人員做了第28頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解

按照?qǐng)D中散點(diǎn)的趨勢(shì)，憑直觀可以畫(huà)出一條近似曲線，這些點(diǎn)或者在這條曲線上或者在曲線的兩側(cè)，而這條近似曲線大致上像一條雙曲線，因而我們可以把使用次數(shù)與容量之間的關(guān)系近似地看作這樣的關(guān)系：和為待定參數(shù)和和，得到由關(guān)系式和得到，從而得到一個(gè)新數(shù)據(jù)表:先畫(huà)出一個(gè)散點(diǎn)圖。令其中第29頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

126.420.50000.155891010.490.10000.0953238.200.33330.1220101110.590.09090.0944349.580.25000.1044111210.600.08330.0943459.500.20000.1053121310.800.07690.0926569.700.16670.1031131410.600.07140.09436710.000.14290.1000141510.900.06670.0917789.930.12500.1007151610.760.06250.0929899.990.11110.1001第30頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由定理3.1得到正規(guī)方程組而

把它們代入正規(guī)方程組得