《因式分解》獲獎(jiǎng)

因式分解天聞數(shù)媒復(fù)習(xí)回顧口答：天聞數(shù)媒問題：630可以被哪些整數(shù)整除？

解決這個(gè)問題，需要對630進(jìn)行分解質(zhì)因數(shù)630=2×32×5×7類似地，在式的變形中，有時(shí)需要將一個(gè)多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式的乘積的形式以便于更好的解決一些問題新課引入天聞數(shù)媒試試看(將下列多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式的乘積)回憶前面整式的乘法天聞數(shù)媒上面我們把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式。分解因式因式分解因式分解整式乘法因式分解與整式乘法是逆變形天聞數(shù)媒

依照定義，判斷下列變形是不是因式分解（把多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積）天聞數(shù)媒m(a+b+c)=ma+mb+mc下面兩個(gè)式子中哪個(gè)是因式分解？

在式子ma+mb+mc中，m是這個(gè)多項(xiàng)式中每一個(gè)項(xiàng)都含有的因式，叫做。公因式ma+mb+mc=m(a+b+c)天聞數(shù)媒ma+mb+mc=m(a+b+c)

在下面這個(gè)式子的因式分解過程中，先找到這個(gè)多項(xiàng)式的公因式，再將原式除以公因式，得到一個(gè)新多項(xiàng)式，將這個(gè)多項(xiàng)式與公因式相乘即可。這種方法叫做提公因式法。提公因式法一般步驟：

1、找到該多項(xiàng)式的公因式，

2、將原式除以公因式，得到一個(gè)新多項(xiàng)式，

3、把它與公因式相乘。天聞數(shù)媒

如何準(zhǔn)確地找到多項(xiàng)式的公因式呢？1、系數(shù)所有項(xiàng)的系數(shù)的最大公因數(shù)

2、字母應(yīng)提取每一項(xiàng)都有的字母，且字母的指數(shù)取最低的

3、系數(shù)與字母相乘天聞數(shù)媒最大公因數(shù)為3=3a的最低指數(shù)為1ab的最低指數(shù)為1b(3a–5bc)=–4st2(3s2–2t+1)pq(5q+7p+3)=天聞數(shù)媒公式法（中級(jí)篇1）——利用平方差公式進(jìn)行因式分解天聞數(shù)媒復(fù)習(xí)回顧還記得學(xué)過的兩個(gè)最基本的乘法公式嗎？平方差公式：完全平方公式：計(jì)算：天聞數(shù)媒=(999+1)(999–1)此處運(yùn)用了什么公式?新課引入試計(jì)算：9992–112=1000×998=998000平方差公式逆用因式分解:（1）x2–;（2）y2–4252252=(x+2)(x–2)=(y+5)(y–5)

這些計(jì)算過程中都逆用了平方差公式即：天聞數(shù)媒此即運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解用文字表述為：

兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積。

嘗試練習(xí)(對下列各式因式分解)：①a2–9=___________________②49–n2=__________________③5s2–20t2=________________④100x2–9y2=_______________(a+3)(a–3)(7+n)(7–n)5(s+2t)(s–2t)(10x+3y)(10x–3y)天聞數(shù)媒=y2–4x2=(y+2x)(y–2x)=(x2)2–12

=(x2+1)(x2–1)②–4x2+y2③x4–1(x2–1)=–(4x2–y2)=–(2x+y)(2x–y)(x+1)(x–1)將前面②~⑥各式運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解例(2)因式分解一定要分解徹底!天聞數(shù)媒④x2–x6=x2–(x3)2

=(x+x3)(x–x3)=x·(1+x2)·x·(1–x2)

=x2(1+x2)(1+x)(1–x)將前面②~⑥各式運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解例(2)④x2–x6

=

x2(1–x4)

=x2

(1+x2)(1–x2)

=x2(1+x2)(1+x)(1–x)

在我們現(xiàn)學(xué)過的因式分解方法中，先考慮提取公因式，再考慮用公式法。天聞數(shù)媒⑤6x3–54xy2=6x

(x2–9y2)

=6x

(x+3y)(x–3y)⑥

(x+p)2–(x–q)2

=[(x+p)+(x–q)]·[(x+p)–(x–q)]=(2x+p–q)(p+q)將前面②~⑥各式運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解例(2)YXYXYX天聞數(shù)媒公式法（中級(jí)篇2）——利用完全平方公式進(jìn)行因式分解天聞數(shù)媒復(fù)習(xí)回顧還記得前面學(xué)的完全平方公式嗎？計(jì)算：天聞數(shù)媒新課引入試計(jì)算：9992+1998+12×999×1=(999+1)2

=106此處運(yùn)用了什么公式?完全平方公式逆用

就像平方差公式一樣，完全平方公式也可以逆用，從而進(jìn)行一些簡便計(jì)算與因式分解。即：天聞數(shù)媒這個(gè)公式可以用文字表述為：

兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的兩倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方。

牛刀小試(對下列各式因式分解)：①a2+6a+9=_________________②n2–10n+25=_______________③4t2–8t+4=_________________④4x2–12xy+9y2=_____________(a+3)2(n–5)24(t–1)2(2x–3y)2天聞數(shù)媒完全平方式的特點(diǎn)：

1、必須是三項(xiàng)式（或可以看成三項(xiàng)的）

2、有兩個(gè)同號(hào)的平方項(xiàng)

3、有一個(gè)乘積項(xiàng)（等于平方項(xiàng)底數(shù)的±2倍）簡記口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍在中央。天聞數(shù)媒將例(1)中的完全平方式利用完全平方公式進(jìn)行因式分解例(2)①16x2+24x+9②–4x2+4xy–y2④4x2–8xy+4y2=

(4x+3)2=–(4x2–4xy+y2)=–(2x–y)2=

4

(x2–2xy+y2)=4(x–y)2天聞數(shù)媒–2a2+⑥(p+q)2–12(p+q)+36將例(1)中的完全平方式利用完全平方公式進(jìn)行因式分解例(2)a41=

(a2–1)2=(a+1)2(a–1)2=

[(a+1)

(a–1)]2=

(p+q–6)2XXX天聞數(shù)媒因式分解（高級(jí)篇）——因式分解的其他常用方法天聞數(shù)媒知識(shí)結(jié)構(gòu)因式分解常用方法提公因式法公式法十字相乘法分組分解法拆項(xiàng)添項(xiàng)法配方法待定系數(shù)法求根法……天聞數(shù)媒一、提公因式法

只需找到多項(xiàng)式中的公因式，然后用原多項(xiàng)式除以公因式，把所得的商與公因式相乘即可。往往與其他方法結(jié)合起來用。提公因式法隨堂練習(xí)：1）15(m–n)+13(n–m)2）4(x+y)+4(x–3y)天聞數(shù)媒二、公式法

只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，再將符合其形式的公式套進(jìn)去即可完成因式分解，有時(shí)需和別的方法結(jié)合或多種公式結(jié)合。接下來是一些常用的乘法公式，可以逆用進(jìn)行因式分解。天聞數(shù)媒常用公式1、(a+b)(a–b)=a2–b2（平方差公式）2、(a±b)2=a2±2ab+b2（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)及

a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)（立方和、差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推導(dǎo)天聞數(shù)媒這是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推導(dǎo)過程不要與(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆天聞數(shù)媒公式法隨堂練習(xí)：1）(a2–10a+25)(a2–25)2）x3+3x2+3x+1二、公式法

只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，再將符合其形式的公式套進(jìn)去即可完成因式分解，有時(shí)需和別的方法結(jié)合或多種公式結(jié)合。天聞數(shù)媒三、十字相乘法①前面出現(xiàn)了一個(gè)公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我們可以用它進(jìn)行因式分解（適用于二次三項(xiàng)式）例1：因式分解x2+4x+3可以看出常數(shù)項(xiàng)3=1×3而一次項(xiàng)系數(shù)4=

1

+

3∴原式=(x+1)(x+3)暫且稱為p、q型因式分解天聞數(shù)媒例2：因式分解x2–7x+10可以看出常數(shù)項(xiàng)10=(–2)×(–5)而一次項(xiàng)系數(shù)–7=(–2)+(–5)∴原式=(x–2)(x–5)這個(gè)公式簡單的說，就是把常數(shù)項(xiàng)拆成兩個(gè)數(shù)的乘積，而這兩個(gè)數(shù)的和剛好等于一次項(xiàng)系數(shù)十字相乘法①隨堂練習(xí)：1）a2–6a+52）a2–5a+63）x2–(2m+1)x+m2+m–2天聞數(shù)媒三、十字相乘法②試因式分解6x2+7x+2。這里就要用到十字相乘法（適用于二次三項(xiàng)式）。既然是二次式，就可以寫成(ax+b)(cx+d)的形式。(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

所以，需要將二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別拆成兩個(gè)數(shù)的積，而這四個(gè)數(shù)中，兩個(gè)數(shù)的積與另外兩個(gè)數(shù)的積之和剛好等于一次項(xiàng)系數(shù)，那么因式分解就成功了。天聞數(shù)媒=173x2+11x+106x2+7x+223124+3=7∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522+15=1113255+6∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)天聞數(shù)媒=–65x2–6xy–8y2試因式分解5x2–6xy–8y2。這里仍然可以用十字相乘法。15–244–10∴5x2–6xy–8y2=(x–2y)(5x+4y)簡記口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中。十字相乘法②隨堂練習(xí)：1）4a2–9a+22）7a2–19a–63）2(x2+y2)+5xy天聞數(shù)媒四、分組分解法

要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項(xiàng)的位置，添、去括號(hào)等一些變換達(dá)到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd

。解：原式

=(ab–ac)+

(bd–cd)

=a

(b–c)

+d

(b–c)

=

(a+d)(b–c)還有別的解法嗎？天聞數(shù)媒四、分組分解法

要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項(xiàng)的位置，添、去括號(hào)等一些變換達(dá)到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd

。解：原式=(ab+bd)–

(ac+cd)=b

(a+d)

–c

(a+d)=(a+d)

(b–c)天聞數(shù)媒例2：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。解：原式=(x5+x4+x3)+(x2+x+1)

=(x3+1)(x2+x+1)=

(x+1)(x2–x+1)(x2+x+1)立方和公式分組分解法隨堂練習(xí)：1）xy–xz–y2+2yz–z22）a2–b2–c2–2bc–2a+1天聞數(shù)媒回顧例題：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。另解：原式=(x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)=(x+1)(x4+x2+1)=(x+1)(x4+2x2+1–x2)=(x+1)[(x2+1)2–x2]=

(x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)五*、拆項(xiàng)添項(xiàng)法怎么結(jié)果與剛才不一樣呢？因?yàn)樗€可以繼續(xù)因式分解天聞數(shù)媒

拆項(xiàng)添項(xiàng)法對數(shù)學(xué)能力有著更高的要求，需要觀察到多項(xiàng)式中應(yīng)拆哪一項(xiàng)使得接下來可以繼續(xù)因式分解，要對結(jié)果有一定的預(yù)見性，嘗試較多，做題較繁瑣。最好能根據(jù)現(xiàn)有多項(xiàng)式內(nèi)的項(xiàng)猜測可能需要使用的公式，有時(shí)要根據(jù)形式猜測可能的系數(shù)。五*、拆項(xiàng)添項(xiàng)法天聞數(shù)媒因式分解

x4+4解：原式=x4

+4x2

+4–4x2=(x2+2)2–(2x)2=(x2+2x+2)(x2–2x+2)都是平方項(xiàng)猜測使用完全平方公式完全平方公式平方差公式拆項(xiàng)添項(xiàng)法隨堂練習(xí)：1）x4–23x2y2+y42）(m2–1)(n2–1)+4mn天聞數(shù)媒配方法

配方法是一種特殊的拆項(xiàng)添項(xiàng)法，將多項(xiàng)式配成完全平方式，再用平方差公式進(jìn)行分解。因式分解a2–b2+4a+2b+3。解：原式=(a2+4a+4)–(b2–2b+1)=(a+2)2–(b–1)2=(a+b+1)(a–b+3)配方法(拆項(xiàng)添項(xiàng)法)分組分解法完全平方公式平方差公式天聞數(shù)媒二、新課1.我們把叫做x的二次三項(xiàng)式。這個(gè)式子的x的最高次項(xiàng)是2，并有一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，共有三項(xiàng)。2.請同學(xué)說出x的二次三項(xiàng)式和x的一元二次方程形式上有什么不同？答案：二次三項(xiàng)式是代數(shù)式，沒有等號(hào)，方程有等號(hào)。天聞數(shù)媒3.用配方法把分解因式。分析：對再添一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方（注意：因?yàn)橐蚴椒纸馐呛愕茸冃?，所以必須?/p>