中國礦業(yè)大學《高等數(shù)學》課件-第五章

中國礦業(yè)大學（北京）高等數(shù)學第五章定積分積分學不定積分定積分第一節(jié)一、定積分問題舉例二、定積分的定義三、定積分的近似計算定積分的概念及性質

第五章四、定積分的性質一、定積分問題舉例1.曲邊梯形的面積設曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,求其面積A.矩形面積梯形面積解決步驟:1)

大化小.在區(qū)間[a,b]中任意插入

n–1個分點用直線將曲邊梯形分成n

個小曲邊梯形;2)

常代變.在第i

個窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小矩形面積近似代替相應窄曲邊梯形面積得3)近似和.4)取極限.令則曲邊梯形面積2.變速直線運動的路程設某物體作直線運動,且求在運動時間內物體所經(jīng)過的路程s.解決步驟:1)大化小.將它分成在每個小段上物體經(jīng)2)常代變.得已知速度n

個小段過的路程為3)近似和.4)取極限.上述兩個問題的共性:

解決問題的方法步驟相同:“大化小,常代變,近似和,取極限”

所求量極限結構式相同:特殊乘積和式的極限二、定積分定義(P225)任一種分法任取總趨于確定的極限

I,則稱此極限I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時稱

f(x)在[a,b]上可積

.記作積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達式積分變量積分和定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關,而與積分變量用什么字母表示無關,即定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負值各部分面積的代數(shù)和可積的充分條件:取定理1.定理2.且只有有限個間斷點(證明略)例1.

利用定義計算定積分解:將[0,1]n

等分,分點為可積的必要條件:定理3.注注注.當n較大時,此值可作為的近似值[注]

利用得兩端分別相加,得即例2.

用定積分表示下列極限:解:四、定積分的性質(設所列定積分都存在)(k為常數(shù))證:=右端證:

當時,因在上可積,所以在分割區(qū)間時,可以永遠取

c

為分點,于是當a,b,c

的相對位置任意時,例如則有6.

若在[a,b]上則證:推論1.

若在[a,b]上則推論2.證:即7.

設則8.

積分中值定理則至少存在一點使證:則由性質7可得根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,使因此定理成立.性質7說明:

可把故它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣.

積分中值定理對因思考與練習1.

用定積分表示下述極限:二、定積分的分部積分法第三節(jié)不定積分一、定積分的換元法換元積分法分部積分法定積分換元積分法分部積分法定積分的換元法和分部積分法

第五章一、定積分的換元法

定理1.

設函數(shù)單值函數(shù)滿足:1)2)在上則說明:1)當<,即區(qū)間換為定理1仍成立.2)必需注意換元必換限

,原函數(shù)中的變量不必代回.3)換元公式也可反過來使用,即或配元配元不換限例1.

計算解:

令則∴原式=且例2.

計算解:

令則∴原式=且例3.證:(1)若(2)若偶倍奇零例4.

設f(x)在[-a,a]上連續(xù),

證明并計算證明:而是奇函數(shù),是偶函數(shù),1接例4利用公式(1)2接例4(2)證明并計算證明(2):利用公式(2)例5.

計算下列定積分解(1):接例5解(2):例6.

若f(x)在[0,1]上連續(xù),證明證:于是所以例7.

設f(x)是連續(xù)的周期函數(shù),周期為T,證明：解:(1)記并由此計算則即(2)并由此計算周期的周期函數(shù)則有二、定積分的分部積分法

定理2.

則例8.

計算例9.

證明證:令n

為正偶數(shù)n

為大于1的正奇數(shù)則令則由此得遞推公式于是而故所證結論成立.內容小結

基本積分法換元積分法分部積分法換元必換限配元不換限邊積邊代限思考與練習1.提示:

令則2.

設解法1.解法2.對已知等式兩邊求導,思考:若改題為提示:兩邊求導,得得對上式兩邊在[1,e]求積分得：3.

設求解:(分部積分)作業(yè)P2531(4),(10),(16),(24);