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第八章重積分習(xí)題課定義幾何意義性質(zhì)計(jì)算法二重積分一、主要內(nèi)容1、二重積分的定義２、二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積．當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值．性質(zhì)１當(dāng)為常數(shù)時(shí)，性質(zhì)２３、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)３對(duì)區(qū)域具有可加性性質(zhì)４若為D的面積性質(zhì)５若在D上，特殊地性質(zhì)６性質(zhì)７（二重積分中值定理）４、二重積分的計(jì)算［X－型］

X-型區(qū)域的特點(diǎn)：

穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).（１）直角坐標(biāo)系下

Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).［Y－型］（２）極坐標(biāo)系下5、二重積分的幾何應(yīng)用（１）計(jì)算平面圖形的面積（2）計(jì)算曲頂柱體的體積或可分解為兩個(gè)或多個(gè)曲頂柱體的體積的之差或之和的空間體的體積二、典型例題例1解例2解先去掉絕對(duì)值符號(hào)，如圖例3解例4解例5解法一法二例6解例7解例8

證例9

思路例9

證例.計(jì)算二重積分其中D為圓周所圍成的閉區(qū)域.提示:

利用極坐標(biāo)原式例.

則提示:如圖,由對(duì)稱性知在上是關(guān)于y的奇函數(shù)在上是關(guān)于

x

的偶函數(shù)A證明:提示:

左端積分區(qū)域如圖,交換積分順序即可證得.例1.

計(jì)算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直線解:(1)

利用對(duì)稱性.圍成.(2)

積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對(duì)稱性,得例2.計(jì)算二重積分其中D是由曲所圍成的平面域.解:其形心坐標(biāo)為:面積為:積分區(qū)域線形心坐標(biāo)例3.計(jì)算二重積分在第一象限部分.解:(1)兩部分,則其中D為圓域把D分成作輔助線(2)提示:兩部分說(shuō)明:若不用對(duì)稱性,需分塊積分以去掉絕對(duì)值符號(hào).作輔助線將D分成例4.求拋物線所圍區(qū)域

D的面積A.解:如圖所示注:則也可利用上述方法簡(jiǎn)化計(jì)算.上可積,

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