(5)2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(新課標(biāo)ⅰ)(含解析版)

B.pq2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷）C.pq數(shù)學(xué)（理）D.(pq)答案：A一、選擇題1.設(shè)2(zz)3(zz)46i，則z(）解析：A.12iB.12iC.1iyye|x|為偶函數(shù)，且x0xR，sinx1，為真命題，而函數(shù)p根據(jù)正弦函數(shù)的值域sinx[1,1]，故時(shí)，ye|x|1，故xR，ye|x|1qpq恒成立.，則也為真命題，所以為真，選A.D.1i答案：C1x，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）4.設(shè)函數(shù)f(x)1xA.f(x1)1B.f(x1)1C.f(x1)1D.f(x1)1答案：解析：設(shè)zabi，則zabi，2(zz)3(zz)4a6bi46i，所以，，所以z1i.b1a12.已知集合S{s|s2n1,nZ}，T{t|t4n1,nZ}，則ST()A.BB.S解析：C.Tf(x)1x21x21，f(x)向右平移一個(gè)單位，向上平移一個(gè)單位得到g(x)為奇函數(shù).1xxD.Z5.在正方體ABCDABCDPBD1111PBAD1中，為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（）11答案：A.2CB.3C.4D.6解析：s2n1，nZ；當(dāng)n2k，kZ時(shí)，S{s|s4k1,kZ}；當(dāng)n2k1，kZ時(shí)，S{s|s4k3,kZ}.所以TS，STT.故選C.3.已知命題p:xR﹐sinx1；命題q:xR,e1，則下列命題中為真命題的是（）|x|A.pqD.sin(2x)12答案：B解析：1逆向：ysin(x)左移3ysin(x)ysin(x).橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?412212答案：D故選B.7解析：1中各隨機(jī)取個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（）(0,1)8.在區(qū)間與(1,2)4如圖，PBCAD所成角的平面角.PB為直線與A.7911易知ABCAC.6P中點(diǎn)，所以PBC為正三角形，又為11B.233211156.將名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰，短道速滑?冰球和冰壺個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到個(gè)41C.91項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配名志愿者，則不同的分配方案共有（）32D.2960A.種B.120種答案：B240C.種D.480種解析：，題目即求xy74答案：由題意記x(0,1)，y(1,2)的概率，繪圖如下所示.C111AMAN1133解析：S23故P2244.陰S11132所求分配方案數(shù)為C2A4240.正ABCD5417.把函數(shù)yf(x)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位23長度，得到函數(shù)ysin(x)的圖像，則f(x)（）4A.sin(x7)212B.sin(x)2127C.sin(2x)9.魏晉時(shí)期劉徽撰的寫《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作.其中第一題是測量海島的高.如圖，點(diǎn)E,H,G在水12DE平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為ACFGEGGC“表距”，“表高”，稱為與EHAB的差稱為“表目距的差”，則海島的高（）EH和都稱為“表目距”.GC表高差A(yù).B.C.D.表目距的表高表距表高xaf(x)a(xa)2(xb)的極大值點(diǎn)，則0，若為函數(shù)10.設(shè)a表目距的差A(yù).ab表高表距表距表目距的差B.ab表高表距表距C.aba2D.aba2答案：D表目距的差解析：若a0，其圖像如圖（1），0ab此時(shí)，；若a0，時(shí)圖像如圖（2），ba0此時(shí)，.答案：A綜上，aba2.解析：連接DF交AB于，M則ABAMBM.MBMB，則tantanMFMDDF.記BDMBFM，)MBGCEHEDMBMBtantan1tantan1GCEH)MB(MB(FGEDFGEDEH而tantan，.所以.GCEDDF表高表距，所以高GCEH表目距的差A(yù)B表高表距表高故MB.表目距的差設(shè)f(x)ln(1x)12x1，則bcf(0.02)，易得xy2211.設(shè)是橢圓：1(ab0)PB2b的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，，則的離BPCCCab221212x(1x).1x212x(1x)12xf(x)心率的取值范圍是（）2A.[,1)2當(dāng)x0時(shí)，，故.f(x)01x(1x)12x2bc，故.1f(x)[0,所以在上單調(diào)遞減，所以)f(0.02)f(0)0B.[,1)2再設(shè)g(x)2ln(1x)14x1，則acg(0.01)，易得2C.(0,]221x214x414x(1x).2g(x)D.(0,1]2(1x)14x14x12xx21x0x2當(dāng)時(shí)，，所以在上.0g(x)[0.2)答案：Cacg(x)[0.2)g(0.01)g(0)0，故.故在上單調(diào)遞增，所以解析：acb綜上，.xyy20，故22b21xa(1)P(x,y)22二、填空題由題意，點(diǎn)，設(shè)，則00B(0,b)00ab202x213.已知雙曲線：y21(m0)的一條漸近線為3xmy0CC，則的焦距為.y2PB2x2(yb)2a2(1)y22byb2y22bya2b2，0bb22000000c2m答案：y[b,b].40解析：byb03c2c2bc(0,]最大，則，b2c2，a2c2c2，，.2由題意，當(dāng)時(shí)，PB2ca223ybxaym0x，則有易知雙曲線漸近線方程為，由題意得am，b21，且一條漸近線方程為2c1.041，則（）ma2ln1.01bln1.0212.設(shè)，，（舍去），，故焦距為2c4.m3A.abcB.bcaC.bacD.cab答案：Bb(3,4)，，若，則.(ab)b14.已知向量a(1,3)答案：35解析：15250，解得.35由題意得(ab)b0，即解析:acb3B60b3ac，則.15.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，面積為，，ABac22答案：22解析：S1acsinBac33ac4，所以，ABC24b由余弦定理，ac2ac3acac2ac8，所以.b2222三、解答題16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視17.某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新圖和俯視圖的編號(hào)依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.10設(shè)備各生產(chǎn)了件產(chǎn)品，得到產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備和新設(shè)備生y產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為x和，樣本方差分別sS己為12和2.2yss21（1）求x，，，：22答案：②⑤或③④解析：s2s2，則認(rèn)為新設(shè)備2均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果yx2（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的110生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否由高度可知，側(cè)視圖只能為②或③.則不認(rèn)為有顯著提高)。，BABC52PAC側(cè)視圖為②，如圖（1），平面平面，ABCAC2，，俯視圖為⑤.PAPC答案：見解析解析：ACAB5PA1PAABC俯視圖為③，如圖（2），平面，，BC2，，俯視圖為④.（1）各項(xiàng)所求值如下所示.x1(9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7)10.010，y1(10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5)10.310，s21[(9.710.0)22(9.810.0)2(9.910.0)22(10.010.0)2(10.110.0)2101tD原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系DxyzBCtA(t,0,0)B(t,1,0)M(,1,0)，P(0,0,1)，所以.設(shè)，，，向，為，2PB(t,1,1)s21[(10.010.3)23(10.110.3)2(10.310.3)22(10.410.3)2AM(t,1,0)，102(10.510.3)2(10.610.3)2]0.0422PBAMt2102PBAM因?yàn)椋?所以，所以2.t2BCs2s1s2s210220.34.顯然yx210yx0.3,2mAP2xz012.所以不認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該（2）由（1）中數(shù)據(jù)得AP(2,0,1)，由于(2)設(shè)平面APM的一個(gè)法向量為m(x,y,z)，則.令.令mAM2xy0項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高。2nCB2x0，則2，的m(2,1,2).設(shè)平面PMB的一個(gè)法向量為n(x,y,z)PD的底面是矩形，底面MPBAM.BC為的中點(diǎn)，且x18.如圖，四棱錐PABCDABCDPDDC1,nPB2xyz0，BC（1）求；mnn(0,1,1)，的.所以cosm,n3314214，所以二面角APMNB的正弦值為y1（2）求二面角APMB的正弦值.7|m||n|7014.212.nn19.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)積，已知Sn{a}nbn{S}nSbnn（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；n{a}（2）求的通項(xiàng)公式.n答案：見解析解析：（1）由已知212SbbS(n2)2b122b22bbb1(n2)，，n1，則nbn1bbn1n12nnnnnnn答案：見解析解析：b3，21n321首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.2故是以為PD（1）因?yàn)槠矫鎥yABCD，且矩形ABCD中，.所以以DA，，DCDP分別為，，z軸正方ADDC∵當(dāng)x0時(shí)，xln(1x)0.當(dāng)0x1時(shí)，xln(1x)0.∴只需證明x(1x)ln(1x)02，則Sn22n22S31n2(n1)（2）由（1）知bnn1，n222nn2n1n1n1n(n1)，n132n2，時(shí)，aSSnS時(shí)，ann111令H(x)x(1x)ln(1x)，且易知.H(0)032,n1a1(1x)ln(1x)故.則H(x)1ln(1x)1n(n1)n,n21x（i）當(dāng)x0時(shí)，易得H(x)0，則∵H(0)0，∴H(x)H(0)0，得證.H(x)在(,0)上單調(diào)遞減，x0f(x)ln(ax)，已知是函數(shù)yxf(x)的極值點(diǎn).20.設(shè)函數(shù)a（1）求；當(dāng)0x1時(shí)，易得H(x)0，則∵H(0)0，∴H(x)H(0)0，得證.綜上證得g(x)1.（ii）H(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.g(x)xf(x)（2）設(shè)函數(shù)，證明：g(x)1.xf(x)答案：見解析解析：x2py(p0)x(y4)21上點(diǎn)的2距離的最小值為.221.已知拋物線：F的焦點(diǎn)為，且與圓：FM4Cp（1）求；h(x)xf(x)xln(ax)（1）令PMPAPB（2）若點(diǎn)在上，，是的ABPAB兩條切線，，是切點(diǎn)，求面積的最大值.Cxax則h(x)ln(ax).答案：見解析解析：∵x0是函數(shù)yxf(x)的極值點(diǎn).∴h(0)0.px(y4)1的最短距離為2p34，所以p2.222a1；（1）焦點(diǎn)F(0,)到解得：1A(x,y)B(x,y)P(x,y)，設(shè)，，，得f(x)ln(1x)由（1）可知：（2）拋物線yx2（2）1122004lPA1x(xx)y1xxx2112g(x)xf(x)xf(x)1，xxy，1：2y241111111f(x)xxy8y15，lPB1yxxy：2，且202001g(x)1，即證f(x)x1111xx22要證0（且x1x0）ln(1x)y1xxyllPAP(x,y)00，都過點(diǎn)，則2101，x(1x)ln(1x)xln(1x)PB0y1xxy20.0202lAB11yxxy，，即2化簡得kk2，1y0故：xxy02||200133yxxyx2xx4y04x16y，0兩邊平方有4k2k1，所以k.2聯(lián)立2x24y，得2，200000x3y340或x3y340化為極坐標(biāo)方程為代入直線方程并化簡得x045所以AB124x216y4x0x24y，cos3sinsin(432)4300006x24y0x24或cos3sin43sin()43.d0，所以6PAB012(x24y)2(y12y15)133f(x)|xa||x3|.23.已知函數(shù)S1ABd21x2