(第三課時(shí))垂徑定理華東師大版課件

華東師大版《數(shù)學(xué)·九年級(jí)（上）》第28章圓§28.1圓的認(rèn)識(shí)第三課時(shí)垂徑定理華東師大版《數(shù)學(xué)·九年級(jí)（上）》第28章圓§28.1圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形.圓的對(duì)稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的直線,它有無數(shù)條對(duì)稱軸.●O可利用折疊的方法即可解決上述問題.圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形.圓的對(duì)稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的直線③AM=BM,垂徑定理AB是⊙O的一條弦.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?作直徑CD,使CD⊥AB,垂足為M.●O右圖是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是,其對(duì)稱軸是什么?圖中有:ABCDM└由①CD是直徑②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.③AM=BM,垂徑定理AB是⊙O的一條弦.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些垂徑定理如圖,理由是:連接OA,OB,●OABCDM└則OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱.∵⊙O關(guān)于直徑CD對(duì)稱,∴當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí),點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.垂徑定理如圖,理由是:連接OA,OB,●OABCDM└則O垂徑定理三種語言定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所的兩條弧.提醒:垂徑定理是圓中一個(gè)重要的結(jié)論,三種語言要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運(yùn)用自如.●OABCDM└CD⊥AB,如圖∵CD是直徑,∴AM=BM,⌒⌒

AC=BC,⌒⌒

AD=BD.三種語言指：文字語言、圖形語言和幾何語言垂徑定理三種語言定理：垂直于弦的直徑平分弦，提醒:●OABC

2.已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)。你認(rèn)為AC和BD有什么關(guān)系？為什么？證明：過O作OE⊥AB，垂足為E，則AE＝BE，CE＝DE?！郃E－CE＝BE－DE

即AC＝BD.ACDBOE1.在半徑為30㎜的⊙O中，弦AB=36㎜，則O到AB的距離是=

，∠OAB的余弦值=

。

OABP練一練(2)0.624mm注意：解決有關(guān)弦的問題，過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，也是一種常用輔助線的添法．2.已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB命題（1）：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧已知：CD是直徑，AB是弦，并且CD平分AB求證：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒命題（2）：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB，求證：CD是直徑，

AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒命題（3）：平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧已知：CD是直徑，AB是弦，并且AD＝BD（AC＝BC）求證：CD平分AB，AC＝BC（AD＝BD）CD⊥AB⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.OCAEBDC命題（1）：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)推論（1）（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)和的另一條弧垂徑定理的推論

推論（1）（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，垂徑定理的推論

如果圓的兩條弦互相平行，那么這兩條弦所夾的弧相等提示:

這兩條弦在圓中位置有兩種情況:●OABCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)●OABCD2.兩條弦在圓心的兩側(cè)垂徑定理的推論

圓的兩條平行弦所夾的弧相等.推論（2）垂徑定理的推論如果圓的兩條弦互相平行，那么這兩條弦所夾的弧填一填1、判斷：⑴垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.（）⑵平分弦所對(duì)的一條弧的直徑一定平分這條弦所對(duì)的另一條弧.（）⑶經(jīng)過弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦.（ ）⑷圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行.（）⑸弦的垂直平分線一定平分這條弦所對(duì)的弧.（）√√填一填1、判斷：√√畫一畫1、如圖,M為⊙O內(nèi)的一點(diǎn),利用尺規(guī)作一條弦AB,使AB過點(diǎn)M.并且AM=BM.●O●M畫一畫1、如圖,M為⊙O內(nèi)的一點(diǎn),利用尺規(guī)作一條弦AB,使A2、平分弧AB畫法：連結(jié)AB；畫AB的中垂線，交弧AB于點(diǎn)E。點(diǎn)E就是所求的分點(diǎn)。ABECD2、平分弧AB畫法：連結(jié)AB；畫AB的中垂線，交弧AB于點(diǎn)E1．如圖，在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．·OABE練習(xí)解：答：⊙O的半徑為5cm.在Rt△AOE中

1．如圖，在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8cm，圓心O到AB的距離為2．如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證四邊形ADOE是正方形．D·OABCE證明：∴四邊形ADOE為矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四邊形ADOE為正方形.2．如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD例1如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中弧CD,點(diǎn)O是弧CD的圓心),其中CD=600m,E為弧CD上的一點(diǎn),且OE⊥CD垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑.解:連接OC.●OCDEF┗例1如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中弧CD,點(diǎn)O是船能過拱橋嗎例2.如圖,某地有一圓弧形拱橋,橋下水面寬為7.2米,拱頂高出水面2.4米.現(xiàn)有一艘寬3米、船艙頂部為長(zhǎng)方形并高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里,此貨船能順利通過這座拱橋嗎？船能過拱橋嗎例2.如圖,某地有一圓弧形拱橋,橋下水面寬為船能過拱橋嗎解:如圖,用表示橋拱,所在圓的圓心為O,半徑為Rm,經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OD,D為垂足,與相交于點(diǎn)C.根據(jù)垂徑定理,D是AB的中點(diǎn),C是的中點(diǎn),CD就是拱高.由題設(shè)得在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得R≈3.9（m）.在Rt△ONH中，由勾股定理，得∴此貨船能順利通過這座拱橋.船能過拱橋嗎解:如圖,用表示橋拱,所在垂徑定理的逆應(yīng)用在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示.若油面寬AB=600mm，求油的最大深度.BAO600

650DC垂徑定理的逆應(yīng)用在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后歸納1、要把實(shí)際問題轉(zhuǎn)變成一個(gè)數(shù)學(xué)問題來解決.2、熟練地運(yùn)用垂徑定理及其推論、勾股定理，并用方程的思想來解決問題.3、對(duì)于一個(gè)圓中的弦長(zhǎng)a、圓心到弦的距離d、圓半徑r、弓形高h(yuǎn)，這四個(gè)量中，只要已知其中任意兩個(gè)量，就可以求出另外兩個(gè)量，如圖有：⑴d+h=r⑵歸納1、要把實(shí)際問題轉(zhuǎn)變成一個(gè)數(shù)學(xué)問題來解決.2、熟練地運(yùn)用小結(jié)

直徑平分弦直徑垂直于弦=>

直徑平分弦所對(duì)的弧直徑垂直于弦直徑平分弦（不是直徑）直徑平分弦所對(duì)的弧直徑平分弧所對(duì)的弦