2021年高考數(shù)學(xué)文化試題賞析及備考建議

2022年第11期福建中學(xué)數(shù)學(xué)5

（4）求二面角：（幾何法）我一作出二面角難度預(yù)設(shè)，對于中檔學(xué)生來講可想而知是增加了難

平面角一證（定義法證明所做角是二面角平面角）度.本題通過四個問題，將立體幾何解答題中的常

-求（解三角形），關(guān)鍵是在兩平面內(nèi)找到與交線考題型、熱點難點問題和解法技巧進行歸納；在坐

垂直的線和解三角形.（向量法）分別求得二面角標系建立選取問題上，列出兩種坐標系，一種常規(guī)

的兩個半平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式求得法法，一種非常規(guī)法，可以讓學(xué)生充分體會到，不同

向量的夾角；再根據(jù)圖形或法向量的方向確定所求建系帶來不同的計算量.在難點部分，對于不在坐

角為二面角的大小或二面角補角的大小.標平面內(nèi)的點的坐標求法以及動點的表示方法，歸

（5）取值范圍問題：運用基本不等式或?qū)?shù)納曲解法套路，并且根據(jù)具體特點進行分類，使學(xué)

法求解.生可以快速突破卡脖子難點，提升解題速度，從而

本題中，融入更多的平面幾何知識，通過設(shè)置有效提高得分率.

動點，坐標不易求的空間點等，加大空間想象力的

2021年高考數(shù)學(xué)文化試題賞析及備考建議

孔繁晶徐州高等師范學(xué)校（221000）

數(shù)學(xué)不僅是自然科學(xué)的重要基礎(chǔ)，也是人類社（）.

會的文明力量.《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

版）》明確提出：數(shù)學(xué)是運算和推理的工具，是表評析本題圍繞當前學(xué)校家長關(guān)心的青少年身

達和交流的語言，數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類心健康這一突出話題設(shè)計題干，引入五分記錄法和

文明的重要組成部分.因此，在學(xué)科教學(xué)中滲透數(shù)小數(shù)記錄法，考查對數(shù)含義、運算以及方程等思想.

學(xué)文化，引導(dǎo)學(xué)生認識和感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升核心例2（全國乙卷?理6）將5名北京冬奧會志

素養(yǎng)已成為廣大教育工作者的共識.為了進一步彰愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個

顯其人文價值，提高教師和學(xué)生對其的關(guān)注程度，項目進行培訓(xùn)，每名志愿者只能分到1個項目，每

數(shù)學(xué)文化的滲透也成為評價標準之一.《關(guān)于2017個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共

年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》正式提出高有（）.

考命題中要注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化以來，近年來全國各A.60種B.120種

地高考中的數(shù)學(xué)文化試題屢見不鮮.C.240種D.480種

1命題思路分析評析本題以北京冬奧會為背景，引導(dǎo)學(xué)生用

11關(guān)注時事熱點數(shù)學(xué)的眼光看世界，用數(shù)學(xué)的思維想問題，考查排

關(guān)注社會時事熱點是時代賦予青年的要求，亦列組合的理解與應(yīng)用.“每名志愿者只能分到1個

是賦予教育的要求.近年來，數(shù)學(xué)高考命題緊扣時項目，每個項目至少分配1名志愿者”是關(guān)鍵條件，

代脈搏，一方面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識和思想方法，確定“先捆后排”，即可選出答案.

另一方面秉承立德樹人的教育理念，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注1.2重構(gòu)經(jīng)典問題

民生熱點，增強社會責(zé)任感.以數(shù)學(xué)家的故事、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)名著名題作為

例1（全國甲卷?理4）青少年的視力是社會命題背景已成為高考命題中的常態(tài).經(jīng)研究，當代

普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程與數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的過程基本

常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分吻合，而發(fā)展史上的困惑與學(xué)生學(xué)習(xí)中的困惑也基

記錄法的數(shù)據(jù)Z和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)7滿足乙=5+本吻合，因此經(jīng)典問題的重構(gòu)，古為今用的探索，

IgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,有助于引導(dǎo)學(xué)生對話經(jīng)典，親歷知識建構(gòu)的過程，

則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（啊*1.259）搭建自身知識體系，并在大歷史背景下深化其對于

6福建中學(xué)數(shù)學(xué)2022年第11期

數(shù)學(xué)的理解，涵養(yǎng)其數(shù)學(xué)精神.數(shù)學(xué)源于生活，又作用于生活，大到金融、航

例3（浙江卷?11）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦天、公共衛(wèi)生，小到人們?nèi)粘５囊率匙⌒卸茧x不開

圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個全等的直數(shù)學(xué)這一重要工具，同時，數(shù)學(xué)也為其他學(xué)科領(lǐng)域

角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正的研究提供了語言、思維以及方法，成為推動科技

方形（如圖1所示）.若直角三角形直角邊的長分發(fā)展的主要動力之一.隨著應(yīng)用程度的加深，現(xiàn)代

別是3和4,記大正方形的面積為小正方形的數(shù)學(xué)的抽象性、邏輯性也日漸深化.近年來，高考

試題力圖從學(xué)生認知水平出發(fā)，貼近社會生活，真

面積為邑，貝.

實還原現(xiàn)代科技，考查學(xué)生思維水平，并指引學(xué)生

令體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，以此理解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動因，

提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的興趣和能力.

例5（北京卷?8）定義：24小時內(nèi)降水在平

圖1

地上積水厚度（mm）來判斷降水程度.其中小雨

評析趙爽弦圖自2007年在高考試題中作為背

（＜10mm）,中雨（10~25mm）,大雨（25~50mm）,

景材料出現(xiàn)至今，已經(jīng)多次進入人們視野.本次考

暴雨（50~100mm）,小明用一個圓錐形容器接了

查相對簡單，但也由此可見在高考命題中對于經(jīng)典

24小時的雨水，如圖3,則這天降水量屬于哪個等

問題的解讀、重構(gòu)從未停息.

級（）.

例4（全國乙卷?理9）魏晉時期劉徽所著的

?海島算經(jīng)〉〉是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題

是測量海島的高.如圖2,點E,H,G在水平線AC

±,DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量

標桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和

EH都稱為“表目距“，GC與EH的差稱為“表目距

的差”,則海島的高48=（）.

評析本題以綜合實踐為切入口，通過計算圓

錐形容器中降水的體積，轉(zhuǎn)換后判斷降水量級

別.雖難度不大，但傳遞出生活處處離不開數(shù)學(xué)，

圖2并展現(xiàn)了數(shù)學(xué)與自然環(huán)境領(lǐng)域的融合.深挖其題設(shè)

表高X表距表高X表距與《數(shù)書九章》的“天池盆測雨”的背景亦有關(guān)系，

A.（表高B.-表高

表目距的差表目距的差也蘊含了“以史育人”的重要理念.

表高X表距表高X表距例6（全國甲卷?理8）2020年12月8日，中

C.+表距D.-表距

表目距的差表目距的差國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為

評析本題以《海島算經(jīng)》開篇笫一題引出測8848.86（單位：m）,三角高程測量法是珠峰高程

量問題，通過三角形相似，用易測得的去探求不易測量法之一.圖4是三角高程測量法的一個示意圖，

測得的海島高度，不禁讓我們聯(lián)想到“維納斯身現(xiàn)有43,C三點，且A,B,C在同一水平面上的投影

高”，雖然并非高中高頻考點，但追根溯源的探究A',B',C'滿足ZA'C'B'=45°,ZA'B'C=60".由C點

考查了由已知探究未知的能力以及變與不變等數(shù)測得8點的仰角為15。，88'與CC的差為100;由

學(xué)思想，成為由知識本位轉(zhuǎn)向能力本位、真正評測B點測得A點的仰角為45。，則4c兩點到水平面

學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的載體.AEC'的高度差A(yù)A'-CC'約為（gX1.732）（）.

類似這種在“古法”體驗中對話古人智慧的問A.346B.373C.446D.473

題在近年高考中多次出現(xiàn)，如“百雞問題”化不定方

程為二元一次方程組、希波克拉底月牙圖形求幾何

概型的概率等.

1.3突出應(yīng)用價值

圖4

2022年第11期福建中學(xué)數(shù)學(xué)7

評析本題關(guān)注珠峰測量法之一——三角高程難度不大，但部分題目綜合性較強，是學(xué)生失分的

測量法，關(guān)鍵在于將空間轉(zhuǎn)化為平面，利用解三角重災(zāi)區(qū)，且隨著命題研究的深入，數(shù)學(xué)文化試題的

形等相關(guān)知識研究基本圖形的邊角關(guān)系，考查空間素材選擇與基礎(chǔ)知識、基本技能的結(jié)合日趨緊密，

想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).此類問題對于數(shù)學(xué)思想方法的考查也日趨深入，常呈現(xiàn)出多

突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，亦是近年高考命題的寵兒，個核心素養(yǎng)聯(lián)合考查的態(tài)勢.

如2020年全國n卷空氣中PM2.5濃度的監(jiān)測問題、因此，筆者通過分析認為，2021年高考數(shù)學(xué)文

2019年全國II卷嫦娥四號中繼星“鵲橋”的發(fā)射問化試題具有以下特征，并提出相應(yīng)備考建議：

題等.2.1關(guān)注數(shù)學(xué)閱讀，提升信息整合水平

1.4彰顯理性精神2019年問世的《中國高考評價體系》中明確指

數(shù)學(xué)是思維的體操.數(shù)學(xué)的價值與美感在于其出：經(jīng)過素質(zhì)教育的培養(yǎng)，知識獲取能力強的學(xué)習(xí)

縝密的邏輯和高度的抽象，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所獲得的者應(yīng)當能夠閱讀和理解學(xué)科的各種主要文本、基本

邏輯推理、分析解決問題能力及所形成的“求真、符號，能夠客觀全面地獲取相關(guān)信息，能夠從情境

創(chuàng)新”的理性精神是在個人成長與發(fā)展過程中不可中提取有效信息.落實到數(shù)學(xué)學(xué)科，這當然對于發(fā)

或缺的部分.因此，高考命題越來越注重對于學(xué)生展和考查學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力以及信息整合能力具

所掌握的數(shù)學(xué)思想方法、所形成的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、有導(dǎo)向性作用.縱觀近幾年的高考試題，試題從字

所呈現(xiàn)的理性精神的測評.數(shù)上來看有一定量的增加，這說明對于學(xué)生數(shù)學(xué)閱

例7（新高考I卷?16）某校學(xué)生在研究民間讀能力的要求在提升.試題從情境上來看更為多

剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸樣，或依托人文背景，或貼近熱點生活，或與其他

把紙對折.規(guī)格為20dmxl2dm的長方形紙，對折學(xué)科交匯，且從早期套用一個簡單背景，其后解題

1次共可以得到lOdmx12dm,20dmx6dm兩種規(guī)格與題設(shè)情境再無瓜葛，到現(xiàn)在深度融合，于情境中

的圖形，它們的面積之和S、=240dm2,對折2次共創(chuàng)設(shè)問題，切實考查學(xué)生的數(shù)學(xué)理解和應(yīng)用能力，

可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三這說明命題更加注重考查學(xué)生閱讀理解水平和信

種規(guī)格的圖形，它們的面積之和邑=180dm?,以此息整合能力.如文中例4的“表高”“表距”“表目

類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)距”“表目距的差”，例7的折紙規(guī)則等，考生需要

為；如果對折〃次，那么才&=dm2.具備較好的數(shù)學(xué)閱讀能力，首先找出題目中對于關(guān)

k=\鍵概念、關(guān)鍵操作的注解，明確信息之間的聯(lián)系，

評析本題以我國傳統(tǒng)文化剪紙藝術(shù)為情境，完成各類數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換，才能運用已有知識探析

綜合性較強，具有多個創(chuàng)新點.由于背景新穎，要問題解決的路徑，并用適合的語言加以表述.

求學(xué)生在短時間內(nèi)能夠從題目中抽取有效信息，從建議教材是課標的物化成果，教師須深挖教

特殊到一般，大膽猜想，建立數(shù)列模型，并利用錯材，尤其重視引言、旁白、探究、閱讀等內(nèi)容，梳

位相減法解決形如數(shù)列=a」b,（其中??為等差理可供數(shù)學(xué)閱讀的材料；課堂是學(xué)生發(fā)展的主陣

數(shù)列，以為等比數(shù)列）的求和問題.重點測評學(xué)生地，教師須根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)合理情境，進行圈

的數(shù)學(xué)閱讀、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運算能讀、精讀指導(dǎo)，重視數(shù)學(xué)語言的運用和轉(zhuǎn)化，切實

力，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)抽象的過程，感受理性精神.加大課內(nèi)實踐，增加體驗，在日常教學(xué)中提高學(xué)生

2命題特點及備考建議的信息整合水平；課后是教學(xué)活動的延伸，教師可

高考命題對于教學(xué)有著無可取代的指向作用.利用微信平臺、課題探究等線上線下相結(jié)合的形式

結(jié)合全國各地高考中的數(shù)學(xué)文化試題，我們不難發(fā)為學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀提供更多的可能，在潛移默化中提

現(xiàn)：（1）此類試題考點廣泛，從函數(shù)、數(shù)列、解三升學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力，提高其數(shù)學(xué)文化品位.

角形到立體幾何、概率、排列組合等高中數(shù)學(xué)考點2.2借力數(shù)學(xué)史料，重視知識方法重構(gòu)

幾乎均可涉及，有時還會在知識交匯處設(shè)計問題；數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)展過程是數(shù)學(xué)本質(zhì)顯現(xiàn)的最佳

（2）此類試題題型多樣，選擇、填空、解答題均載體.因此，數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)名著、數(shù)學(xué)名

有出現(xiàn)，且卷面分值5~19分不等；（3）此類試題題不但具有史料價值，而且具有教育價值.若按內(nèi)

8福建中學(xué)數(shù)學(xué)2022年第11期

容來分，高考命題中融合數(shù)學(xué)史料大都可以分為以充分彰顯，突出了從知識立意到能力立意，再到學(xué)

上幾類，如文中例3、例4可歸為數(shù)學(xué)名著名題一科素養(yǎng)立意的評價核心，這正是近年高考命題的探

類；若按使用方式來分，又可分為附加式、復(fù)制式、索思路與方向.從2021年考題中我們也可窺見一

順應(yīng)式、重構(gòu)式等.當然，順應(yīng)式、重構(gòu)式難度較斑，如文中例7,命題創(chuàng)設(shè)傳統(tǒng)文化情境，題干自

大，是高考試題所青睞的史料融合的重要類型.然不冗長，符合學(xué)生認知水平，學(xué)生可從"=1,2,3

建議經(jīng)歷多年教育改革，適當?shù)貙?shù)學(xué)史融入手，猜想一般規(guī)律，建立數(shù)列模型，方可針對特

入日常教學(xué)乃至考核評測有助于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的殊數(shù)列利用“錯位相減法”解決求和問題，解題關(guān)鍵

觀點已經(jīng)達成一致.但數(shù)學(xué)發(fā)展史浩瀚漫長且曲就在于數(shù)列模型的建立，體現(xiàn)了對于數(shù)學(xué)思維品

折，數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)故事、數(shù)學(xué)名著名題更如恒河沙質(zhì)、數(shù)學(xué)能力的考查，從命題導(dǎo)向上引導(dǎo)教師和學(xué)

數(shù)，這與高中課程教學(xué)時間空間都有著不可忽視的生真正關(guān)注六大核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

矛盾.因此，“如何適當”就要求教師具備研究的意建議高中數(shù)學(xué)教學(xué)從不缺乏對于知識和技巧

識、揚棄的眼光、重構(gòu)的能力，以科學(xué)加工重組將的關(guān)注，但隨著課改理念的深入推進，數(shù)學(xué)本質(zhì)的

史料資源融入教學(xué)之中，融合試題之中.如在《正探求、理性精神的養(yǎng)成更應(yīng)成為教育者追尋的終極

弦定理〉〉教學(xué)中，教師可以嘗試關(guān)注各種證明方法目標.因此，建議教師在教學(xué)設(shè)計中充分理解數(shù)學(xué)

的演變，重構(gòu)歷史上著名的納綏爾丁等徑法，韋達本質(zhì)，在教學(xué)活動中充分展示數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視具體

外接圓法，直至輔助直徑法，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,知識與技能的生成過程，系統(tǒng)開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)，

使其感受數(shù)學(xué)之美，體會創(chuàng)新精神，并在日常學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生抽象、應(yīng)用、創(chuàng)新等高層次數(shù)學(xué)品質(zhì)，身

中積累分析解決此類問題的經(jīng)驗.體力行數(shù)學(xué)教育改革.

2.3創(chuàng)新建模應(yīng)用，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)考查總之，基于數(shù)學(xué)文化的高考命題，秉承立德樹

數(shù)學(xué)來源于生活，且應(yīng)用于生活.問題層層包人的教育理念，堅持以文化人，以文育人，引導(dǎo)教

裹于現(xiàn)實世界之中，需要借助直觀想象、抽象推理,