常微分方程課件

第一章典型方程的導出、定解問題及二階方程的分類與化簡第一章典型方程的導出、定解問題及二階方程的分類與化簡1命題1設開集在內(nèi)連續(xù)．如果對于任意的子集，都有則在上命題2設開集在內(nèi)連續(xù)．如果對于任意的，都有則在上命題1設開集在內(nèi)2命題3(Stokes公式)設是一個有界光滑區(qū)域，對于的m維向量值函數(shù)v，下面的積分等式成立：其中n是上的單位外法向量，dS是上的面積元素．當m=1,2,3時，上式就分別是牛頓－萊布尼茲公式，Green公式和奧高公式．命題3(Stokes公式)設3第一節(jié)典型方程的導出本節(jié)用到的兩大物理定律是守恒律（質(zhì)量守恒，能量守恒，動量守恒）和變分原理（最小勢能原理）。所用到的數(shù)學方法是微元法和交換積分次序定理。利用守恒律推導微分方程的基本方法是：守恒律+Stokes公式+交換積分次序定理，得到微分方程．第一節(jié)典型方程的導出本節(jié)用到的兩大物理定律是守41.弦振動方程模型：一根拉緊的柔軟細弦，假定在外力的作用下，弦在平面上作微小橫振動，即振動方向與弦的平衡位置垂直．問題：研究弦的振動規(guī)律．1.弦振動方程模型：一根拉緊的柔軟細弦，假定在外力的作5記---單位長度的質(zhì)量（密度）；

u---位移；f0---在u的正方向,單位長度上的外力密度，T---張力．建立坐標系：以弦的平衡位置為x軸，在弦作振動的平面上取與x軸垂直的方向為u軸，弦的一端為原點，弦長為l.記---單位長度的質(zhì)量（密度）；建立坐標系：以弦6分析：(1)細：橫截面的直徑d<<

l，運動狀態(tài)在同一橫截面上處處相同;(2)拉緊：指的是弦線在彈性范圍內(nèi)，因此Hooke定律成立，張力與弦線的相對伸長成正比；(3)柔軟：弦在每一點處，該點兩端的部分之間有相互作用力．這個力的分量一般來講有切向力和法向力．柔軟是指沒有抗彎曲的張力，張力只是沿切線方向；(4)微小位移：弦的位置只作了微小變化，即|ux|<<1；(5)橫振動：只有沿u方向的位移．分析：(1)細：橫截面的直徑d<<l，運動狀態(tài)在同一橫截7動量守恒律可以寫成：t=t2時的動量t=t1時的動量外力在[t1,t2]內(nèi)的沖量－＝一維弦振動方程動量守恒律可以寫成：t=t2時的動量t=t1時的動量外力在8二維波動方程n維波動方程n維Poisson方程n維Laplace方程二維波動方程n維波動方程n維Poisson方程n維La92.熱傳導方程模型：各向同性的物體，內(nèi)部有熱源，與周圍介質(zhì)有熱交換，求物體內(nèi)部的溫度分布．物理規(guī)律：(1)能量守恒：在物體內(nèi)任取一部分,取任意時段(2)Fourier熱力學定律：熱流量的大小與溫度的梯度成正比。V中增加的熱量流入的熱量內(nèi)部產(chǎn)生的熱量＝＋2.熱傳導方程V中增加的熱量流入的熱量內(nèi)部產(chǎn)生的熱量＝＋10記---物體的密度；u---溫度；c---比熱；f0---熱源強度，q---熱流密度．三維熱傳導方程記---物體的密度；u---溫度；c---比11第二節(jié)偏微分方程的基本概念一、定義含有未知函數(shù)的偏導數(shù)的方程叫偏微分方程．方程中出現(xiàn)的最高階偏導數(shù)的階數(shù)稱為方程的階數(shù)．如果方程中的項關于未知函數(shù)及其各階偏導數(shù)的整體來講是線性的，就稱方程為線性的，否則就稱為非線性的．非線性又分為半線性，擬線性和完全非線性．第二節(jié)偏微分方程的基本概念一、定義12二、定解條件和定解問題給出它的初始狀態(tài)和邊界狀態(tài)，即給出外加的特定條件，這種特定條件稱為定解條件．描述初始時刻物理狀態(tài)的定解條件稱為初值條件或初始條件。描述邊界上物理狀態(tài)的條件稱為邊界條件或邊值條件。一個方程匹配上定解條件就構(gòu)成定解問題．二、定解條件和定解問題131.弦振動方程初值條件是初始時刻(t=0)的位移和速度：1.弦振動方程初值條件是初始時刻(t=0)的位移和速度14邊界條件是弦在兩端點的狀態(tài)，一般有三種：(1)第一類邊界條件(Dirichlet邊界條件)：已知端點x=a處弦的位移：u(a,t)=g(t)．(2)第二類邊界條件(Neumann邊界條件)：已知端點處弦所受的垂直于弦線的外力，即

(3)第三類邊界條件(混合邊界條件或Robin邊界條件)：已知端點處弦的位移和所受的垂直于弦線的外力的和：邊界條件是弦在兩端點的狀態(tài)，一般有三種：(1)第一類邊界條152.熱傳導方程初值條件:已知初始溫度分布邊界條件:根據(jù)邊界上溫度受周圍介質(zhì)的影響情況，可分為三種：第一類邊界條件：已知邊界上的溫度分布第二類邊界條件：已知通過邊界進入內(nèi)部的熱量第三類邊界條件：通過邊界物體與周圍介質(zhì)有熱交換．2.熱傳導方程初值條件:已知初始溫度分布邊界條件:根據(jù)163.Poisson方程或Laplace方程只有邊界條件（同樣有三類），沒有初值條件．對于波動方程和熱傳導方程，如果區(qū)域沒有邊界，當然也沒有邊界條件，只有初值條件．3.Poisson方程或Laplace方程17偏微分方程+初值條件+邊界條件，稱為初邊值問題或混合問題；偏微分方程+初值條件，稱為初值問題，也叫Cauchy問題；偏微分方程+邊界條件，稱為邊值問題．偏微分方程+初值條件+邊界條件，稱為初邊值問題或混合18三、定解問題的適定性1解的存在性：給出的定解問題有解；2解的唯一性：給出的定解問題只有一個解；3解的穩(wěn)定性：當定解條件（初值條件，邊界條件）以及方程中的系數(shù)有微小變動時，相應的解也只有微小變動．解的穩(wěn)定性也稱為解關于參數(shù)的連續(xù)依賴性．解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性，三者合起來稱為解的適定性．三、定解問題的適定性19第三節(jié)二階線性偏微分方程的分類與化簡第三節(jié)二階線性偏微分方程的分類與化簡20二階線性偏微分方程的一般形式是n=2時的一般形式是二階線性偏微分方程的一般形式是n=2時的一般形式是21二次曲線二階方程標準形式雙曲線雙曲型方程橢圓橢圓型方程拋物線拋物型方程二次曲線二階方程標準形式雙曲線雙曲型方程橢圓橢圓型方程22一.2個自變量的2階線性偏微分方程的分類與化簡引入自變量替換如果變換可逆，即一.2個自變量的2階線性偏微分方程的分類與化簡引入自變量23特征方程特征方程24常微分方程課件25結(jié)論：如果在點處則稱方程在該點處是雙曲型的．如果方程在該點的鄰域內(nèi)是雙曲型的，那么在該鄰域內(nèi)方程可以化簡成形如(3)的標準形式．如果方程在每一點處都是雙曲型的，則稱它在中是雙曲型的．結(jié)論：如果在點處則稱方程26常微分方程課件27結(jié)論：如果在點處則稱方程在該點處是拋物型的．如果方程在該點的鄰域內(nèi)是拋物型的，那么在該鄰域內(nèi)方程可以化簡成形如(4)的標準形式．如果方程在每一點處都是拋物型的，則稱它在中是拋物型的．結(jié)論：如果在點處則稱方程28常微分方程課件29結(jié)論：如果在點處