第一章 有理數(shù) 單元復(fù)習課件（60張PPT）

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第1章有理數(shù)

單元小結(jié)

第一單元

01

03

04

02

05

舉一反三

知識梳理

易錯考點

高頻考點

章節(jié)框圖

4.用正、負數(shù)表示具有相反意義的量.

一、正數(shù)和負數(shù)

1.像1，2，3，1.8％這樣大于0的數(shù)叫做正數(shù).

2.像-3，-1，-2，-2.7％這樣在正數(shù)前面加上符號“-”（負）的數(shù)叫做負數(shù).

3.0既不是正數(shù)，也不是負數(shù).

5.具有相反意義的量應(yīng)滿足的條件：

①必須是同類量，而且是成對出現(xiàn)的；②只要求意義相反，不要求數(shù)量一定相等.

二、有理數(shù)的分類

注意：①分類的標準不同，結(jié)果也不同；②分類的結(jié)果應(yīng)無遺漏、無重復(fù)；③零是整數(shù)，但零既不是正數(shù)，也不是負數(shù).

三、數(shù)軸

3.數(shù)軸的三要素

1.規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸.

2.任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示.

數(shù)軸的畫法：

1.畫一條水平直線，定原點(如圖)，原點表示0.

0

2.規(guī)定從原點向右為正方向，那么相反的方向(從原點向左)則為負方向.

3.選擇適當?shù)拈L度為單位長度.(單位長度要一致)

0

0

1

2

3

-1

-2

-3

三、數(shù)軸

(1)原點、單位長度和正方向三要素缺一不可；

(2)直線一般畫水平的；

(3)正方向用箭頭表示，一般取從左到右；

(4)取單位長度應(yīng)結(jié)合實際需要，但要做到刻度均勻.

畫數(shù)軸注意事項：

三、數(shù)軸

位置特征：1.分居原點左右；2.到原點距離相等.

a的相反數(shù)是-a;0的相反數(shù)是0

2

5

2

5

像2和-2,5和-5這樣，只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù).

一般地，設(shè)a是一個正數(shù)，數(shù)軸上與原點距離是a的點有兩個，它們分別在原點左右，表示-a和a.我們說這兩點關(guān)于原點對稱.

四、相反數(shù)

五、絕對值

1.定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，用“|a|”表示.

一個正數(shù)的絕對值是它本身，一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0.即

(1)如果a＞0，那么|a|=___；

(2)如果a=0，那么|a|=___；

(3)如果a＜0，那么|a|=___.

a

-a

0

|a|≥0

2.絕對值的性質(zhì)及應(yīng)用

六、有理數(shù)大小的比較

有理數(shù)大小的比較方法2數(shù)的相對大小比較法

一般地，正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，正數(shù)大于負數(shù);兩個負數(shù)，絕對值大的反而小.

有理數(shù)大小的比較方法1數(shù)軸比較法

在數(shù)軸上表示的兩個數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

七、有理數(shù)的運算

有理數(shù)加法運算的基本解題思路：

1.先判斷類型（同號、異號等）；2.再確定和的符號；3.最后進行絕對值的加減運算.

七、有理數(shù)的運算

(a+b)+c=a+(b+c)

a+b=b+a

1.加法交換律：在有理數(shù)加法中，兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變.

2.加法結(jié)合律：在有理數(shù)的加法中，三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變.

用字母表示為：

用字母表示為：

七、有理數(shù)的運算

有理數(shù)的減法法則是一個轉(zhuǎn)化法則，減號轉(zhuǎn)化為加號，同時要注意減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)，這樣就可以用加法來解決減法問題.

七、有理數(shù)的運算

1.有理數(shù)乘法法則:

兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.任何數(shù)同0相乘，都得0.

2.幾個不是零的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)為

奇數(shù)時積為負數(shù)

偶數(shù)時積為正數(shù)

3.幾個數(shù)相乘若有因數(shù)為零則積為零.

4.有理數(shù)乘法的求解步驟：

有理數(shù)相乘，先確定積的符號，再確定積的絕對值.

5.乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù).

七、有理數(shù)的運算

法則二：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.

0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.

法則一：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù).

1.有理數(shù)除法法則:

2.有理數(shù)除法化為有理數(shù)乘法以后，可以利用有理數(shù)乘法的運算律簡化運算.

3.乘除混合運算往往先將除法化為乘法，然后確定積的符號，最后求出結(jié)果（乘除混合運算按從左到右的順序進行計算）

七、有理數(shù)的運算

3.乘方的符號法則：

（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）零的正整數(shù)次冪都是零.

這種求n個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪.

2.組成要素

1.乘方的定義

七、有理數(shù)的運算

(1)看清運算，定運算順序;

(2)根據(jù)特點，巧用運算律;

(3)選對法則，耐心計算.

2.有理數(shù)的加減乘除混合運算三步走:

【運算順序】1.先乘方，再乘除，最后加減；2.同級運算，從左到右進行；3.如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行.

1.有理數(shù)的混合運算

我們可以把大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)(即1≤a＜10)，n是正整數(shù).這種記數(shù)方法叫做科學記數(shù)法.

1．用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)應(yīng)注意以下兩點：

1≤＜10

當大數(shù)是大于10的整數(shù)時，n為整數(shù)位減去1.

2．靈活運用科學記數(shù)法，注意解題技巧，總結(jié)解題規(guī)律.

八、科學記數(shù)法

九、近似數(shù)

1.近似數(shù)：

(1)我們得不到與實際完全相符的數(shù)，而是通過測量、估算得到的數(shù)都是近似數(shù).例如，姚明的身高是2.26米.

(2)有時我們?yōu)榱藬⑹?、書寫方便，通過四舍五入得到的數(shù)也是近似數(shù).例如，2022年全國高考報名人數(shù)1193萬人.

近似數(shù)與準確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示.

2.精確度：

高頻考點一

有理數(shù)的有關(guān)概念與分類

例1.我國是最早使用負數(shù)的國家.在我國著名的數(shù)學專著《九章算術(shù)》中，明確提出了“正負術(shù)”.如果盈利20元記作“+20元”，那么虧損30元記作()

A.-30元B.30元C.50元D.-50元

解析:“盈利與虧損”是具有相反意義的量,依題意知“盈利”記作“+”,則“虧損”應(yīng)記作“-”，故虧損30元記作“-30元”.

A

【1-1】如果+10%表示增加10%，那么-5%表示__________.

【1-2】規(guī)定上午10時記為0，10時以前記為負，10時以后記為正，如果上午11時記為+1，那么上午7時應(yīng)記為______.

【1-3】在體育課的跳遠比賽中，以2.00m為標準，若小東跳出了1.85m，記作-0.15m，那么小明跳了2.23m，可記作_______m；小紅跳了2.00m，可記作_____m.

減少5%

-3

+0.23

0

例2.把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的大括號里:

-6，0，1.32，25%，2000，-1，，-，-.

正數(shù)集合：{}；

負整數(shù)集合：{}；

正分數(shù)集合：{}；

負有理數(shù)集合：{}；

非負整數(shù)集合：{}.

1.32，25%，2000，，…

1.32，25%，，…

-6，-1，…

-6，-1，-0.，-，…

0，2000，…

【2-1】下列說法中正確的有（）

①整數(shù)就是正整數(shù)和負整數(shù);②0是整數(shù),但不是自然數(shù);③分數(shù)包括正分數(shù)、負分數(shù);④正數(shù)和負數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù);⑤一個有理數(shù)，它不是整數(shù)就是分數(shù).

A.1個B.2個C.3個D.4個

B

【2-2】把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號里:

99，1，-1，-2025，-7，0.5，，-，-0.75，0，20%.

整數(shù)集合：{}；

正分數(shù)集合：{}；

負有理數(shù)集合：{}；

非負整數(shù)集合：{}；

非正整數(shù)集合：{}.

0.5，，，…

99，1，-1，-2025,0，…

-1，-2025，-7，-，-0.75，…

99，1，0，…

-1，-2025，0，…

【2-3】將下列各數(shù)填入它屬于的集合的圈內(nèi):

201，-18%，-0.618，，-9，-，0，3.8，-72.

-9

0

-72

-18%

-0.618

-

3.8

高頻考點二

數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值與倒數(shù)

例3.(1)計算|-3|的結(jié)果是()

A.3B.C.-3D.±3

(2)的倒數(shù)是()

A.B.C.-D.

(3)下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是()

A.-32與-23B.-(-5)與|-5|C.-24與(-2)4D.-33與(-3)3

A

A

C

【3-1】-1的相反數(shù)是_____，倒數(shù)是_____，絕對值是_____.

【3-2】若m+1與-2互為相反數(shù)，則m的值為______.

【3-3】|a|=6，|b|=7，且ab＞0，則a-b的值為________;已知|m+3|+(2-n)2=0，則mn的值為_______.

1

-

1

1

1或-1

9

高頻考點三

有理數(shù)的大小比較

例4.有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列選項正確的是()

A.a＞bB.|a|＞|b|C.-a＞bD.a＞-b

【4-1】有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是()

A.a＞bB.|a|＜|b|C.a＞-bD.-a＞b

D

【4-2】a，b是有理數(shù)，它們在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，把a，-a，b，-b按照從小到大的順序排列為()

A.-b＜-a＜a＜bB.-a＜-b＜a＜b

C.-b＜a＜-a＜bD.-b＜b＜-a＜a

C

【4-3】如果，試比較的大?。?/p>

解：因為

所以

因為，

所以，

所以，，

所以．

0

a

b

-b

-a

例5.比較下列各對數(shù)的大小:

(1)3和|-2|；(2)-|-2.7|和-(-3.3)；(3)-和-；(4)-和-1.5.

解:(1)|-|=，因為＞，所以3＞|-2|.

(2)-=，=3.3，

因為-2.7＜3.3，所以-|-2.7|＜-(-3.3).

(3)|-|==，|-|==，

因為＞，即|-|＞|-|，所以-＜-.

例5.比較下列各對數(shù)的大小:

(1)3和|-2|；(2)-|-2.7|和-(-3.3)；(3)-和-；(4)-和-1.5.

解:(4)|-|==，|-|=，

因為＜，即|-|＜|-|，所以-＞-.

例5.比較大小(填“＞”“＜”或“=”)

①1____-7；

②-3.4____-3.5；

③-____-；

④-|-7|____-(+5.3).

＞

＞

＞

＜

【5-1】下列各數(shù)中，比-2小的數(shù)是()

A.0B.-1C.-3D.3

【5-2】某年我國人均水資源相比，上年的增幅是-5.6%，后續(xù)三年各年相比上年的增幅分別是-4.0%，13.0%，-9.6%，這些增幅中最小的是()

A.-5.6%B.-4.0%C.13.0%D.-9.6%

【5-3】比較大小(填“＞”“＜”或“=”)

①1____-7；②-3.4____-3.5；

③-____-；④-|-7|____-(+5.3).

C

D

＞

＞

＞

＜

高頻考點四

有理數(shù)的運算

例6.計算:

(1)-43÷×(-)2-(1-32)×2;(2)-14-(2-1)××[5+(-2)3];

(3)-24÷[1-(-3)2]+(-)×(-15);(4)-32-|(-5)3|×(-)2-18+|-(-3)2|.

解:(1)原式=-64××+8×2

=-64+16

=-48;

(2)原式=-1-××(5-8)

=-1-××(-3)

=-1+

=-;

例6.計算:

(1)-43÷×(-)2-(1-32)×2;(2)-14-(2-1)××[5+(-2)3];

(3)-24÷[1-(-3)2]+(-)×(-15);(4)-32-|(-5)3|×(-)2-18+|-(-3)2|.

(3)原式=-16+(1-9)+(-×15+×15)=-16÷(-8)+(-10+9)

=2-1

=1;

(4)原式=-9-125×-18÷9

=-9-20-2

=-31.

計算:(1)-(-2)2+22-(-1)9×(-)+-8;(2)1×[3×(-)2-1]-÷(-4)2;

(3)(-)×24+÷(-)3+|-22|;(4)|-|×(-)÷(-)2-()2;

(5)-23÷[2×(-1)2]×(-0.25)2;(6)|-1+|÷(-+)-32×(-)3.

解:(1)原式=-4+4+1×(-)-8

=-8;

(2)原式=×(3×-1)-÷16

=×-

=;

(3)原式=24-×24+×(-8)+22

=15-16-2+22

=19;

計算:(1)-(-2)2+22-(-1)9×(-)+-8;(2)1×[3×(-)2-1]-÷(-4)2;

(3)(-)×24+÷(-)3+|-22|;(4)|-|×(-)÷(-)2-()2;

(5)-23÷[2×(-1)2]×(-0.25)2;(6)|-1+|÷(-+)-32×(-)3.

(4)原式=÷-

=×-

=;

(5)原式=-8÷(×)×

=-8××

=-;

計算:(1)-(-2)2+22-(-1)9×(-)+-8;(2)1×[3×(-)2-1]-÷(-4)2;

(3)(-)×24+÷(-)3+|-22|;(4)|-|×(-)÷(-)2-()2;

(5)-23÷[2×(-1)2]×(-0.25)2;(6)|-1+|÷(-+)-32×(-)3.

(6)原式=-32×(-)

=-1+

=12.

高頻考點五

有理數(shù)運算的實際應(yīng)用

例7.劉某蛋糕店在某一時段的銷售情況如下,請分別完成下列問題:

(1)該蛋糕店在某一周的銷售中，盈虧情況如表(盈余為正,虧損為負，單位:元).

表中星期五的盈虧數(shù)被墨水涂污了，請你算出星期五的盈虧數(shù)，并說明星期五是盈還是虧盈虧是多少

(2)該蛋糕店去年1~3月平均每月盈利2萬元，4~6月平均每月虧損1萬元，7~8月平均每月虧損2萬元，9~12月平均每月盈利4萬元，則該蛋糕店去年總的盈虧情況如何

(1)表中星期五的盈虧數(shù)被墨水涂污了，請你算出星期五的盈虧數(shù)，并說明星期五是盈還是虧盈虧是多少

(2)該蛋糕店去年1~3月平均每月盈利2萬元，4~6月平均每月虧損1萬元，7~8月平均每月虧損2萬元，9~12月平均每月盈利4萬元，則該蛋糕店去年總的盈虧情況如何

解:(1)根據(jù)表格可得,

4580-(-228)-(-753)-420-(-120)-2000-1880=1381(元).

因為1381是正數(shù)，所以星期五是盈利，盈利1381元.

(2)記盈利為正，虧損為負，則

2×3+(-1)×3+(-2)×2+4×4=15(萬元).

因為15是正數(shù)，所以該蛋糕店去年總共盈利15萬元.

【7-1】某旅游景點在某天13:00的氣溫是5℃，此后氣溫持續(xù)下降，某時刻測得氣溫已經(jīng)下降到-1℃.如果平均每4h氣溫下降3℃,那么此刻的時間是幾點

解:氣溫從5℃下降到-1℃所用的時間為

[5-(-1)]÷=6×=8(h).

因為13+8=21，

所以氣溫下降到-1℃的時間是21:00.

【7-2】某超市去年由于受物價上漲的影響，第一季度平均每月虧損1.2萬元，第二季度在全體員工的努力下，平均每月盈利2.5萬元，第三季度平均每月盈利2.1萬元，第四季度平均每月虧損0.9萬元.試通過計算說明這個超市去年總的盈虧情況.

解:記盈利為正，虧損為負，依題意得

(-1.2)×3+2.5×3+2.1×3+(-0.9)×3

=(-1.2+2.5+2.1-0.9)×3

=7.5(萬元).

答:這個超市去年盈利7.5萬元.

【7-3】在某次抗險救災(zāi)中，消防官兵的沖鋒舟沿東西方向的河流營救災(zāi)民，早晨從A地出發(fā)，晚上到達B地，約定向東為正方向，當天的航行路程記錄如下(單位:km):+15，-10，+9，-8，+14，-7，+11，-6.

(1)通過計算說明B地在A地的什么方向，與A地相距多遠

(2)救災(zāi)過程中，最遠處離出發(fā)點A_____km;

(3)若沖鋒舟每千米耗油0.6L，油箱原有油量為40L，則途中還需補充多少升油

解:(1)15-10+9-8+14-7+11-6=18(km)，

即B地在A地的東邊18km處.

(3)這一天航行的總路程為|+15|+|-10|+|+9|+|-8|+|+14|+|-7|+|+11|+|-6|

=80(km)，耗油量為80×0.6=48(L)，所以還需補充的油量為48-40=8(L).

答:途中還需補充8L油.

(1)通過計算說明B地在A地的什么方向，與A地相距多遠

(2)救災(zāi)過程中，最遠處離出發(fā)點A_____km;

(3)若沖鋒舟每千米耗油0.6L，油箱原有油量為40L，則途中還需補充多少升油

24

高頻考點六

有理數(shù)的有關(guān)概念與分類

例8.據(jù)相關(guān)研究，經(jīng)過40min完全黑暗后，人眼對光的敏感性達到最高點，比黑暗前增加25000倍，將數(shù)據(jù)25000用科學記數(shù)法表示為()

A.25×103B.2.5×104

C.0.25×105D.0.25×106

B

【8-1】原子鐘是以原子的規(guī)則振動為基礎(chǔ)的各種守時裝置的統(tǒng)稱，其中氫脈澤鐘的精度達到了1700000年誤差不超過1s.數(shù)據(jù)1700000用科學記數(shù)法表示為______________.

【8-2】據(jù)統(tǒng)計，地球上的海洋面積約為361000000km2,該數(shù)用科學記數(shù)法表示為3.61×10n，則n的值為_____.

【8-3】根據(jù)國家統(tǒng)計局開展的“帶動三億人參與冰雪運動”調(diào)查報告數(shù)據(jù)顯示，全國冰雪運動參與人數(shù)達到3.46億人，成功實現(xiàn)了“三億人參與冰雪運動”的宏偉目標.數(shù)3.46億用科學記數(shù)法表示為_____________.

1.7×106

8

3.46×108

例9.(1)用四舍五入法將3.14159精確到千分位的結(jié)果是()

A.3.1B.3.14C.3.142D.3.141

(2)近似數(shù)3.70所表示的準確數(shù)a的取值范圍是_________________.

C

3.695≤a＜3.705

【9-1】用四舍五入法對0.06045取近似值,錯誤的是()

A.0.1(精確到0.1)B.0.06(精確到百分位)

C.0.061(精確到千分位)D.0.0605(精確到0.0001)

【9-2】已知a≈3.50是由四舍五入法得到的近似數(shù),則a的取值范圍是()

A.3.45≤a＜3.55B.3.495≤a＜3.505

C.3.495≤a≤3.505D.3.495＜a＜3.505

【9-3】某種鯨魚的質(zhì)量約為1.36×105kg,關(guān)于這個近似數(shù)，下列說法正確的是()

A.它精確到百位B.它精確到0.01

C.它精確到千分位D.它精確到千位

D

B

C

易錯點一

對有理數(shù)的相關(guān)概念理解有誤而出錯

例1.下列說法正確的是()

A.正數(shù)和負數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)

B.符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)

C.絕對值等于本身的數(shù)只有正數(shù)

D.互為倒數(shù)的兩個數(shù)的乘積等于1

D

易錯點二

有理數(shù)的運算中常見的錯誤

類型1：運算順序不正確而出錯

例2.計算:(-9)÷(-)×3-3.

正解:

原式=(-9)×(-3)×3-3

=81-3

=78.

易錯點二

有理數(shù)的運算中常見的錯誤

類型2：運用分配律時漏乘某項出錯

例3.計算:(--+1)×(-12).